파동 방정식 - 소프트웨어 융합

1. 파동의 정의와 성질

파동은 공간을 통해 전달되는 에너지의 형태로, 매질의 진동을 통해 전파된다. 이러한 파동은 매질 내에서 진행할 때 물리적으로는 에너지의 전달을 의미하지만, 수학적으로는 파동 방정식을 통해 기술된다. 파동은 크게 종파(압축파)와 횡파(전단파)로 나눌 수 있다. 각각은 매질의 변형 방식에 따라 구분되며, 이를 이해하기 위해서는 파동 방정식이 필수적이다.

2. 파동 방정식의 유도

파동 방정식은 물리적 법칙, 특히 뉴턴의 운동 법칙이나 후크의 법칙과 같은 기본 원리에서 유도된다. 1차원 매질에서 진동하는 파동을 생각해보자. 이 경우, 물질의 변위를 나타내는 함수 $u(x,t)$ 는 다음과 같은 형태의 편미분 방정식을 만족한다:

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

여기서:

$u(x,t)$ : 위치 $x$ 와 시간 $t$ 에서 매질의 변위
$v$ : 파동의 전파 속도

이 방정식은 특정 조건을 만족하는 함수 $u(x,t)$ 로 기술되는 파동이 매질을 통해 어떻게 전달되는지를 나타낸다.

2.1 1차원 파동 방정식

1차원 파동 방정식은 매질 내에서 한 방향으로 전파되는 파동의 전파를 기술한다. 이를 확장하면 다음과 같은 편미분 방정식으로 나타낼 수 있다:

$\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}$

여기서 $c$ 는 파동의 속도이며, 이는 매질의 특성에 따라 달라진다. 예를 들어, 줄을 통해 전달되는 파동의 경우, 속도 $c$ 는 줄의 장력과 밀도의 함수로 주어진다:

$c = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$

$T$ : 줄의 장력
$\mu$ : 줄의 단위 길이당 질량

2.2 2차원 및 3차원 파동 방정식

2차원과 3차원에서의 파동 방정식은 유사한 형식을 따른다. 3차원에서 파동의 변위를 나타내는 함수 $u(x,y,z,t)$ 는 다음과 같은 형태를 갖는다:

$\frac{\partial^2 u(x,y,z,t)}{\partial t^2} = v^2 \nabla^2 u(x,y,z,t)$

여기서:

$\nabla^2$ : 라플라스 연산자
$v$ : 파동의 속도

라플라스 연산자 $\nabla^2$ 는 3차원 공간에서의 변위의 공간적 변화율을 나타낸다.

2.3 경계 조건과 초기 조건

파동 방정식은 경계 조건과 초기 조건에 의해 구체적인 해가 결정된다. 경계 조건은 파동이 진행하는 매질의 물리적 특성에 따라 달라지며, 예를 들어 고정된 끝점에서는 변위가 0이 되는 경계 조건이 적용된다. 초기 조건은 시간 $t = 0$ 에서의 변위와 속도를 제공하여 파동이 시간에 따라 어떻게 진화할지를 결정한다.

일반적인 경계 조건은 다음과 같다:

디리클레 경계 조건: 주어진 경계에서 변위가 특정 값에 고정됨. $u(x,t) = 0$ 또는 $u(x,t) = u_0$ .
노이만 경계 조건: 주어진 경계에서 변위의 공간적 미분이 특정 값에 고정됨. $\frac{\partial u(x,t)}{\partial x} = 0$ .

3. 파동 방정식의 해법

파동 방정식의 해는 일반적으로 수학적으로 복잡할 수 있지만, 특수한 경우에는 해석적인 해를 구할 수 있다. 대표적으로 1차원 파동 방정식의 해는 다음과 같은 형태로 나타난다:

$u(x,t) = f(x - vt) + g(x + vt)$

여기서 $f$ 와 $g$ 는 임의의 함수로, 각각 우향과 좌향으로 진행하는 파동을 나타낸다.

3.1 분리 변수법

파동 방정식은 종종 분리 변수법을 통해 해석된다. 이 방법에서는 함수 $u(x,t)$ 를 공간적 부분과 시간적 부분으로 분리하여 각각에 대해 해를 구한다. 예를 들어, 1차원 파동 방정식에 대해 다음과 같이 가정한다:

$u(x,t) = X(x)T(t)$

이 가정을 방정식에 대입하면, 시간과 공간 변수가 분리되어 두 개의 상미분 방정식으로 나눌 수 있다. 이를 각각 풀면 고유치 문제로 이어지고, 경계 조건과 초기 조건을 만족하는 해를 구할 수 있다.

3.2 푸리에 급수와 푸리에 변환

주기적인 경계 조건을 갖는 파동 문제의 경우, 해는 종종 푸리에 급수로 표현될 수 있다. 주어진 구간 내에서 함수 $u(x,t)$ 는 다음과 같이 표현된다:

$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ A_n \cos\left(\frac{n \pi x}{L}\right) + B_n \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \right] e^{i \omega_n t}$

여기서 $A_n$ 과 $B_n$ 는 푸리에 계수이며, 각 모드의 진폭을 나타낸다.

4. 파동 방정식의 물리적 해석

파동 방정식은 물리학의 여러 분야에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 음향학에서는 소리의 전파를 기술하는 방정식으로, 전자기학에서는 전자기파의 전파를 기술하는 방정식으로 사용된다. 이러한 다양한 응용에서 파동 방정식은 에너지의 전달, 반사, 굴절, 회절 등의 현상을 설명하는 중요한 도구이다.

5. 상과 군 속도

파동 방정식의 해석에서 중요한 개념 중 하나는 상속도와 군속도이다. 상속도는 특정 위상의 파동이 얼마나 빠르게 전파되는지를 나타내며, 군속도는 파동 패킷의 에너지가 전달되는 속도를 나타낸다.

5.1 상속도

상속도 $v_p$ 는 주어진 파동의 위상 $\phi$ 가 전파되는 속도로 정의된다. 일반적으로, 파동은 다음과 같이 표현된다:

$u(x,t) = A e^{i(kx - \omega t)}$

여기서:

$A$ : 진폭
$k$ : 파수, $k = \frac{2\pi}{\lambda}$
$\omega$ : 각진동수, $\omega = 2\pi f$

상속도 $v_p$ 는 파동의 주기적인 위상이 움직이는 속도를 나타내며, 다음과 같이 정의된다:

$v_p = \frac{\omega}{k}$

5.2 군속도

군속도 $v_g$ 는 파동의 에너지가 이동하는 속도로, 주파수 성분들이 다르게 혼합될 때 생기는 파동 패킷의 속도를 나타낸다. 군속도는 다음과 같이 주어진다:

$v_g = \frac{d\omega}{dk}$

파동이 분산 매질에서 전파될 때, 상속도와 군속도가 다를 수 있다. 이 경우, 군속도는 에너지나 정보가 전달되는 실제 속도를 나타내는 중요한 값이 된다.

5.3 상과 군속도의 물리적 의미

상속도는 위상이 공간을 통해 얼마나 빠르게 전달되는지를 나타내는 반면, 군속도는 실질적인 에너지 전달 속도를 나타낸다. 예를 들어, 빛이 유리와 같은 매질을 통과할 때 상속도와 군속도가 다를 수 있는데, 이는 분산 현상 때문이다. 이러한 차이는 신호 처리나 통신에서 중요한 역할을 하며, 파동의 물리적 특성을 이해하는 데 있어 핵심적인 개념이다.

6. 파동 방정식의 해석: 반사와 투과

파동이 서로 다른 매질을 통과할 때, 경계에서 반사와 투과가 발생할 수 있다. 이를 수학적으로 해석하기 위해, 각 경계에서 파동의 연속성 조건을 만족시켜야 한다. 일반적으로 반사파와 투과파의 비율은 매질의 특성에 따라 결정된다.

6.1 반사 계수와 투과 계수

파동이 두 매질의 경계에 도달할 때, 일부는 반사되고 일부는 투과된다. 반사 계수 $R$ 와 투과 계수 $T$ 는 다음과 같이 정의된다:

$R = \frac{A_r}{A_i}, \quad T = \frac{A_t}{A_i}$

여기서:

$A_i$ : 입사파의 진폭
$A_r$ : 반사파의 진폭
$A_t$ : 투과파의 진폭

반사 계수와 투과 계수는 매질의 특성(예: 밀도, 파동 속도)에 의해 결정된다. 일반적으로, 경계에서의 연속 조건(변위의 연속성과 응력의 연속성)을 사용하여 이 계수들을 구할 수 있다.

6.2 임피던스와 파동의 반사

매질의 특성은 파동 임피던스 $Z$ 로 표현된다. 파동 임피던스는 매질의 밀도 $\rho$ 와 파동 속도 $v$ 의 곱으로 주어지며, 다음과 같다:

$Z = \rho v$

파동이 서로 다른 임피던스를 가진 매질로 전파될 때, 임피던스 차이에 의해 반사와 투과가 결정된다. 임피던스가 클수록 파동의 반사율이 높아지고, 투과율이 낮아진다.

7. 비선형 파동 방정식

지금까지 다룬 파동 방정식은 대부분 선형적 특성을 갖지만, 실제 물리 시스템에서는 비선형적인 특성이 자주 나타난다. 비선형 파동 방정식은 선형 방정식과 달리, 파동 간의 상호작용을 포함하여 더욱 복잡한 동역학을 나타낸다.

7.1 Korteweg-de Vries (KdV) 방정식

비선형 파동 방정식의 예로, 얕은 수심에서의 물결을 기술하는 Korteweg-de Vries (KdV) 방정식이 있다. 이 방정식은 비선형성과 분산을 모두 고려한 파동을 설명하며, 다음과 같이 주어진다:

$\frac{\partial u}{\partial t} + 6u \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3 u}{\partial x^3} = 0$

이 방정식은 솔리톤(Soliton)과 같은 특이한 비선형 파동의 해를 허용하는 중요한 방정식이다. 솔리톤은 비선형성과 분산이 정확하게 균형을 이루는 경우 나타나며, 형태를 유지한 채로 장거리 이동이 가능하다.

7.2 비선형 슈뢰딩거 방정식

또 다른 비선형 파동 방정식의 예는 비선형 슈뢰딩거 방정식이다. 이 방정식은 파동의 진폭이 큰 경우에 발생하는 비선형 효과를 포함하며, 다음과 같은 형태를 갖는다:

$i \frac{\partial \psi}{\partial t} + \nabla^2 \psi + |\psi|^2 \psi = 0$

비선형 슈뢰딩거 방정식은 광섬유에서의 광파 전파나 양자 역학의 일부 응용에서 중요한 역할을 한다. 이 방정식의 해는 비선형 현상에 의해 파동의 특성이 어떻게 변하는지를 잘 보여준다.

8. 분산 관계와 디스퍼션

파동 방정식의 중요한 측면 중 하나는 분산(dispersion)이다. 분산은 매질에서 파동의 주파수에 따라 상속도와 군속도가 달라지는 현상이다. 이는 파동이 여러 주파수 성분으로 구성된 경우, 서로 다른 속도로 전파됨에 따라 파형이 왜곡되거나 변화하는 현상을 의미한다.

8.1 분산 관계

분산 현상을 기술하기 위해, 파동의 주파수와 파수 사이의 관계를 나타내는 분산 관계가 사용된다. 분산 관계는 매질의 성질과 파동의 종류에 따라 결정된다. 예를 들어, 간단한 경우에는 다음과 같은 분산 관계가 있다:

$\omega = v k$

이 경우, 상속도 $v_p$ 와 군속도 $v_g$ 는 동일하며, 분산이 없는 매질에서의 파동 전파를 나타낸다. 그러나 분산이 있는 경우, 파수 $k$ 에 따라 각진동수 $\omega$ 가 비선형적으로 변하게 된다.

8.2 분산 매질에서의 파동

분산 매질에서는 주파수에 따라 파동의 속도가 달라지므로, 서로 다른 주파수 성분을 가진 파동들은 각각 다른 속도로 전파된다. 이러한 경우, 파동의 상속도와 군속도가 다르게 나타난다. 이를 설명하는 분산 관계는 다음과 같은 일반적인 형태를 취할 수 있다:

$\omega = \omega(k)$

이 분산 관계를 통해 상속도와 군속도를 각각 계산할 수 있다:

$v_p = \frac{\omega}{k}, \quad v_g = \frac{d\omega}{dk}$

이때 $v_p$ 는 상속도, $v_g$ 는 군속도로, 분산이 존재하는 매질에서 주파수 성분들이 어떻게 다른 속도로 이동하는지를 나타낸다.

8.3 분산 현상의 물리적 의미

분산은 파동이 매질을 통해 전파될 때 서로 다른 주파수 성분들이 다르게 이동하는 현상을 의미한다. 이는 특히 파동 패킷이 매질을 통과할 때 시간에 따라 형태가 변화하는 현상으로 나타난다. 예를 들어, 빛이 프리즘을 통과할 때 서로 다른 색의 빛이 서로 다른 속도로 이동하여 스펙트럼이 분리되는 현상이 대표적인 분산의 예이다.

또한, 분산이 발생하면 파동 패킷이 시간이 지남에 따라 넓어지거나 좁아질 수 있다. 이와 같은 효과는 통신 시스템에서 중요한 고려 사항으로, 신호 전송 시 신호가 왜곡될 수 있기 때문이다.

9. 경계 조건에 따른 파동의 거동

파동 방정식의 해는 경계 조건에 크게 의존한다. 경계 조건에 따라 파동이 반사되거나 흡수되며, 이러한 효과는 파동의 전파 방식을 결정한다. 대표적인 경계 조건으로는 디리클레 경계 조건과 노이만 경계 조건이 있다.

9.1 디리클레 경계 조건

디리클레 경계 조건은 경계에서 파동의 변위가 특정 값에 고정되는 조건이다. 예를 들어, 파동이 진행하는 매질의 양 끝이 고정되어 있을 경우, 이 위치에서 변위는 0이 된다:

$u(0,t) = 0, \quad u(L,t) = 0$

이 조건은 파동이 고정된 끝점에서 반사되는 상황을 모델링하며, 파동의 반사 패턴을 결정하는 중요한 요소이다. 이러한 조건 하에서 파동은 고유 모드로 진동하며, 특정 주파수에서 공진할 수 있다.

9.2 노이만 경계 조건

노이만 경계 조건은 경계에서 파동의 공간적 미분이 특정 값에 고정되는 조건이다. 예를 들어, 경계에서 변위의 공간 변화율이 0인 경우, 파동의 기울기가 일정하게 유지된다:

$\frac{\partial u}{\partial x}(0,t) = 0, \quad \frac{\partial u}{\partial x}(L,t) = 0$

이 조건은 자유 경계에서 발생하는 반사를 모델링하는 데 사용되며, 경계에서 파동이 자유롭게 움직일 수 있는 상황을 설명한다. 노이만 경계 조건 하에서는 경계에서의 반사파가 입사파와 동일한 진폭을 가지며 반사된다.

10. 파동의 상호작용

파동은 서로 다른 파동과 상호작용할 수 있으며, 이러한 상호작용은 간섭, 회절, 반사 등으로 나타난다. 파동 간의 상호작용은 매우 중요한 물리적 현상으로, 다양한 응용 분야에서 나타난다.

10.1 간섭

간섭은 두 개 이상의 파동이 같은 공간에서 만날 때 발생하는 현상이다. 파동의 위상과 진폭에 따라, 간섭은 강화(constructive interference) 또는 상쇄(destructive interference)로 나타날 수 있다. 두 파동이 같은 위상을 가질 때는 진폭이 더 커지는 강화 간섭이 발생하고, 위상이 반대일 때는 진폭이 감소하거나 상쇄되는 상쇄 간섭이 발생한다.

간섭은 다음과 같이 나타낼 수 있다. 두 파동 $u_1(x,t)$ 와 $u_2(x,t)$ 가 동시에 존재하는 경우, 이들의 합은:

$u(x,t) = u_1(x,t) + u_2(x,t)$

강화 간섭의 경우, 두 파동의 위상 차이가 0일 때 발생하며, 총 진폭은 각 파동의 진폭의 합으로 표현된다. 반대로, 상쇄 간섭의 경우에는 위상 차이가 $\pi$ 일 때 발생하며, 두 파동의 진폭이 서로 상쇄된다.

10.2 회절

회절은 파동이 장애물을 만나거나 좁은 틈을 통과할 때 발생하는 현상이다. 파동이 작은 장애물을 지나갈 때, 그 뒤쪽으로 파동이 휘어지는 현상이 나타난다. 이는 특히 빛이나 음파와 같은 파동에서 잘 나타나며, 파동의 파장이 장애물의 크기와 비슷할 때 더 두드러진다.

회절 현상은 헤이겐스의 원리로 설명할 수 있다. 이 원리에 따르면, 파동의 각 지점은 새로운 구면파를 발생시키는 점 파원으로 생각할 수 있다. 이 구면파들이 서로 간섭하여 파동의 새로운 전파 방향을 결정한다.

10.3 반사

반사는 파동이 경계를 만나 다른 방향으로 되돌아가는 현상이다. 반사파는 경계 조건에 따라 달라지며, 고정된 경계에서는 변위가 반전된 형태로, 자유 경계에서는 변위가 유지된 형태로 반사된다. 반사법칙에 따르면, 반사각은 입사각과 동일하다:

$\theta_i = \theta_r$

여기서 $\theta_i$ 는 입사각, $\theta_r$ 는 반사각을 나타낸다. 이 법칙은 빛, 소리, 물결 등 다양한 파동 현상에서 동일하게 적용된다.

11. 파동 방정식의 수치적 해법

파동 방정식을 해석적으로 풀 수 없는 경우가 많기 때문에, 수치적인 방법이 자주 사용된다. 수치적 방법은 컴퓨터를 사용하여 파동의 거동을 시뮬레이션하는 데 필수적이다. 대표적인 수치적 기법으로는 유한차분법(Finite Difference Method, FDM)과 유한요소법(Finite Element Method, FEM)이 있다.

11.1 유한차분법 (FDM)

유한차분법은 연속적인 파동 방정식을 이산화하여, 차분 방정식으로 변환하는 방법이다. 시간과 공간을 격자로 나누어, 각 지점에서의 파동 값을 수치적으로 계산한다. 예를 들어, 1차원 파동 방정식:

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

이 방정식을 유한차분법으로 이산화하면 다음과 같은 형태의 수치 방정식을 얻는다:

$\frac{u_{i}^{n+1} - 2u_{i}^{n} + u_{i}^{n-1}}{\Delta t^2} = c^2 \frac{u_{i+1}^{n} - 2u_{i}^{n} + u_{i-1}^{n}}{\Delta x^2}$

여기서:

$u_i^n$ : 시간 $n$ 에서 위치 $i$ 에서의 파동 값
$\Delta t$ : 시간 간격
$\Delta x$ : 공간 간격

이 방정식을 통해 매 시간마다 파동의 값을 계산할 수 있다.

11.2 유한요소법 (FEM)

유한요소법(Finite Element Method, FEM)은 파동 방정식과 같은 연속적 편미분 방정식을 풀기 위해 널리 사용되는 수치 해법 중 하나이다. 이 방법은 연속적인 문제를 이산화하기 위해, 문제의 영역을 작은 유한 요소로 분할하여 각 요소에 대해 근사 해를 구하는 방식이다. 유한요소법은 특히 복잡한 경계 조건이나 비균일한 매질에서 파동 방정식을 풀 때 강력한 도구로 사용된다.

FEM에서는 주어진 파동 방정식을 다음과 같이 변형할 수 있다. 예를 들어, 1차원 파동 방정식을 고려할 때, 먼저 공간 영역을 작은 구간(요소)으로 나눈다. 각 요소 내에서 함수 $u(x,t)$ 는 기저 함수의 선형 결합으로 근사된다:

$u(x,t) \approx \sum_{j} u_j(t) \phi_j(x)$

여기서:

$u_j(t)$ : 기저 함수 $\phi_j(x)$ 에 대응하는 시간에 따른 계수
$\phi_j(x)$ : 요소 내에서의 기저 함수, 일반적으로 다항 함수가 사용됨

이 근사식을 파동 방정식에 대입하고, 가중 잔차법을 적용하여 이산화된 방정식을 얻는다. 유한요소법은 이러한 과정을 통해 시간과 공간에서 파동 방정식의 수치적 해를 구하는 매우 강력한 방법이다. 특히 복잡한 경계 조건이나 비정상적인 지오메트리를 처리할 때 유리하다.

12. 에너지 밀도와 파워 흐름

파동 방정식의 해석에서 중요한 또 다른 개념은 에너지 밀도와 파워 흐름이다. 이는 파동이 매질을 통해 전파될 때 전달되는 에너지의 양과 그 흐름을 나타낸다. 에너지는 파동의 진폭과 속도에 의해 결정되며, 파동의 형태에 따라 에너지가 공간에 어떻게 분포하고 전달되는지를 나타낸다.

12.1 파동의 에너지 밀도

파동의 에너지는 운동 에너지와 위치 에너지의 합으로 주어진다. 예를 들어, 1차원 매질에서의 파동 에너지 밀도는 다음과 같이 주어진다:

$E = \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} \right)^2 + \frac{1}{2} T \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)^2$

여기서:

$\rho$ : 매질의 밀도
$T$ : 매질의 장력 또는 변형 계수
$u(x,t)$ : 위치와 시간에 따른 매질의 변위

첫 번째 항은 파동의 운동 에너지를 나타내고, 두 번째 항은 변형에 의한 위치 에너지를 나타낸다.

12.2 파워 흐름 (Poynting 벡터)

파동이 매질을 통해 전파될 때, 에너지는 특정 방향으로 흐르며, 이를 파워 흐름 또는 포인팅 벡터(Poynting vector)로 표현할 수 있다. 파워 흐름 벡터는 다음과 같이 정의된다:

$\mathbf{S} = \mathbf{u} \cdot \mathbf{p}$

여기서:

$\mathbf{S}$ : 파워 흐름 벡터
$\mathbf{u}$ : 매질의 변위 속도
$\mathbf{p}$ : 운동량 밀도

이 벡터는 파동이 진행하는 방향으로의 에너지 흐름을 나타내며, 공간과 시간에 따라 변할 수 있다.

13. 파동의 응용

파동 방정식은 물리학의 여러 분야에서 다양한 응용을 갖는다. 예를 들어, 전자기파, 음파, 물결파 등 모든 종류의 파동 현상은 파동 방정식으로 기술될 수 있다. 각 응용 분야에서 파동의 속성, 에너지 전달, 그리고 상호작용이 다르게 나타나며, 이러한 특성들을 이해하는 것이 중요한 과제가 된다.

13.1 음파와 음향학

음파는 공기 또는 다른 매질에서의 압력 변화에 의해 전파되는 파동이다. 음파의 전파는 파동 방정식을 통해 기술되며, 음파의 속도는 매질의 밀도와 압축성에 의해 결정된다. 음파는 공기의 압력 변화로 인해 발생하며, 다음과 같은 파동 방정식으로 기술된다:

$\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 p$

여기서 $p(x,t)$ 는 음압, $c$ 는 음속이다.

13.2 전자기파와 맥스웰 방정식

전자기파는 맥스웰 방정식에서 유도되는 파동 방정식을 따르며, 전기장과 자기장의 변화를 통해 전파된다. 진공에서의 전자기파는 다음과 같은 파동 방정식을 따른다:

$\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \mathbf{E}$

$\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \mathbf{B}$

여기서 $\mathbf{E}$ 는 전기장, $\mathbf{B}$ 는 자기장, 그리고 $c$ 는 빛의 속도이다. 이러한 파동 방정식은 전자기파가 매질 또는 진공을 통해 어떻게 전파되는지를 설명한다.

13.3 양자 역학과 파동 방정식

양자 역학에서도 파동 방정식은 중요한 역할을 한다. 특히, 슈뢰딩거 방정식은 양자 상태를 기술하는 데 사용되는 기본적인 파동 방정식이다:

$i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi + V\psi$

여기서 $\psi(x,t)$ 는 양자 상태를 나타내는 파동 함수이며, $V$ 는 퍼텐셜 에너지를 나타낸다. 이 방정식은 입자의 양자 상태가 시간에 따라 어떻게 변화하는지를 설명한다.