편광 - 소프트웨어 융합

편광(polarization)은 빛과 같은 전자기파가 진동하는 방향과 관련된 성질이다. 전자기파는 전기장과 자기장이 서로 수직으로 진동하는 파동이며, 이때 진동하는 전기장의 방향이 편광의 방향을 결정한다. 일반적으로 빛은 여러 방향으로 진동하는 전기장 성분을 포함하고 있는 비편광 상태에 있지만, 특정한 조건에서는 빛이 특정한 방향으로만 진동할 수 있으며 이를 편광된 빛이라고 한다.

편광의 분류

편광은 크게 세 가지로 분류될 수 있다.

선편광 (Linear Polarization)

선편광은 전기장이 한 개의 평면 내에서 일정한 방향으로만 진동하는 경우를 말한다. 이때 전기장의 방향은 시간에 따라 변하지 않고, 일정한 방향으로만 존재한다.

선편광된 전기장의 일반적인 수학적 표현은 다음과 같다:

$\mathbf{E}(t) = E_0 \cos(\omega t - k z) \hat{x}$

여기서: - $E_0$ : 전기장의 진폭 - $\omega$ : 각주파수 - $k$ : 파수 - $z$ : 전파 방향 - $\hat{x}$ : 진동 방향을 나타내는 단위 벡터

원편광 (Circular Polarization)

원편광은 전기장이 시계 방향 또는 반시계 방향으로 원형 경로를 따라 회전하며 진동하는 경우이다. 이때 전기장의 크기는 일정하지만, 진동 방향이 시간에 따라 회전하게 된다. 오른손 원편광(Right-hand circular polarization, RCP)과 왼손 원편광(Left-hand circular polarization, LCP)으로 나뉜다.

원편광을 수학적으로 나타내면 다음과 같다:

$\mathbf{E}(t) = E_0 \left( \cos(\omega t - k z) \hat{x} + \sin(\omega t - k z) \hat{y} \right)$

이 수식은 오른손 원편광을 나타내며, 진동하는 전기장이 $x$ -축과 $y$ -축에서 동일한 진폭으로 존재하며, 서로 $\frac{\pi}{2}$ 만큼 위상 차이가 나는 것을 의미한다.

타원편광 (Elliptical Polarization)

타원편광은 선편광과 원편광의 중간 상태로, 전기장의 진폭이 타원 경로를 따라 진동하는 경우이다. 이때 타원의 주축과 부축의 비율이 달라지며, 일반적으로 타원편광은 다양한 편광 상태를 포함한다.

타원편광은 다음과 같이 표현할 수 있다:

$\mathbf{E}(t) = E_{0x} \cos(\omega t - k z) \hat{x} + E_{0y} \sin(\omega t - k z + \delta) \hat{y}$

여기서: - $E_{0x}, E_{0y}$ : 각각 $x$ -축과 $y$ -축에서의 진폭 - $\delta$ : 위상 차이

타원편광은 두 축에서 진폭이 다르며, 위상 차이가 존재함에 따라 전기장이 타원 경로를 따라 진동하게 된다.

편광의 수학적 표현

편광을 수학적으로 다루기 위해 전자기파의 전기장 성분을 벡터로 나타내는 것이 일반적이다. 전기장은 시간과 공간에 대한 함수로 표현되며, 파동의 전파 방향과 진동 방향을 고려하여 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다:

$\mathbf{E}(z, t) = E_x(z,t) \hat{x} + E_y(z,t) \hat{y} + E_z(z,t) \hat{z}$

여기서 $E_x$ , $E_y$ , $E_z$ 는 각각 $x$ -축, $y$ -축, $z$ -축 방향으로의 전기장 성분이다. 대부분의 경우, $z$ -축을 따라 파동이 전파되고 있다고 가정하므로 $E_z = 0$ 이 되어 전기장이 $x$ -축과 $y$ -축 방향으로만 존재하게 된다. 따라서 위 수식은 다음과 같이 단순화된다:

$\mathbf{E}(z, t) = E_x(z,t) \hat{x} + E_y(z,t) \hat{y}$

선편광의 수학적 표현

선편광에서는 전기장이 일정한 방향으로 진동하므로, $E_x$ 또는 $E_y$ 중 하나만 존재한다. 예를 들어, $x$ -축 방향으로만 진동하는 경우:

$\mathbf{E}(z,t) = E_0 \cos(\omega t - k z) \hat{x}$

이 수식은 진폭이 $E_0$ , 각주파수가 $\omega$ , 파수가 $k$ 인 선편광을 나타낸다.

원편광의 수학적 표현

원편광에서는 전기장이 두 축에서 동일한 진폭을 가지며, $x$ -축과 $y$ -축에서 $\frac{\pi}{2}$ 만큼 위상 차이가 나면서 회전하는 형태를 갖는다. 오른손 원편광(RCP)은 다음과 같이 표현된다:

$\mathbf{E}(z,t) = E_0 \left( \cos(\omega t - k z) \hat{x} + \sin(\omega t - k z) \hat{y} \right)$

반면, 왼손 원편광(LCP)은 위상 차이가 반대로 되어:

$\mathbf{E}(z,t) = E_0 \left( \cos(\omega t - k z) \hat{x} - \sin(\omega t - k z) \hat{y} \right)$

이 두 수식에서 전기장은 원형 경로를 따라 회전하며 진동한다.

타원편광의 수학적 표현

타원편광은 원편광과 달리, $x$ -축과 $y$ -축에서의 진폭이 서로 다를 수 있으며, 위상 차이가 있는 상태로 진동한다. 이 경우 전기장은 다음과 같이 나타낼 수 있다:

$\mathbf{E}(z,t) = E_{0x} \cos(\omega t - k z) \hat{x} + E_{0y} \sin(\omega t - k z + \delta) \hat{y}$

여기서 $E_{0x}$ , $E_{0y}$ 는 각각 $x$ -축과 $y$ -축에서의 진폭이고, $\delta$ 는 위상 차이이다. 이 수식은 전기장이 타원 경로를 따라 진동하는 형태를 설명한다.

편광을 설명하는 스토크스 매개변수

편광 상태를 보다 명확히 나타내기 위해, 스토크스 매개변수(Stokes parameters)라는 개념이 사용된다. 스토크스 매개변수는 빛의 편광 상태를 수학적으로 설명하는 4개의 매개변수로 구성되어 있다. 이 매개변수는 $S_0, S_1, S_2, S_3$ 로 나타내며, 각각 다음을 의미한다.

$S_0$ : 총 세기 (빛의 전체 강도)
$S_1$ : 수평 및 수직 선편광의 차이
$S_2$ : 45° 및 135° 선편광의 차이
$S_3$ : 원편광의 방향 (오른손 원편광과 왼손 원편광의 차이)

스토크스 매개변수는 다음과 같이 수학적으로 표현된다:

$S_0 = I_x + I_y$

$S_1 = I_x - I_y$

$S_2 = I_{45^\circ} - I_{135^\circ}$

$S_3 = I_{\text{RCP}} - I_{\text{LCP}}$

여기서 $I_x$ , $I_y$ 는 각각 $x$ -축과 $y$ -축 방향에서의 세기, $I_{45^\circ}$ , $I_{135^\circ}$ 는 각각 45°와 135°로 편광된 빛의 세기, $I_{\text{RCP}}$ , $I_{\text{LCP}}$ 는 각각 오른손 원편광과 왼손 원편광에서의 세기를 나타낸다.

스토크스 매개변수는 편광 상태를 완벽하게 기술할 수 있는 매우 중요한 도구이다.

편광을 설명하는 존스 벡터

편광 상태를 설명하는 또 다른 방법으로, 존스 벡터(Jones vector)를 사용할 수 있다. 존스 벡터는 선형 편광, 원형 편광, 타원 편광 등의 빛의 편광 상태를 간결하게 나타내는 벡터 표현 방식이다. 편광된 빛이 완전히 결맞음(coherent)인 경우, 존스 벡터를 사용하여 편광 상태를 정확하게 기술할 수 있다.

존스 벡터는 두 성분 $E_x$ 와 $E_y$ 로 이루어진 2차원 복소수 벡터로 정의된다:

$\mathbf{E} = \begin{pmatrix} E_x \\ E_y \end{pmatrix}$

여기서 $E_x$ 와 $E_y$ 는 각각 $x$ -축과 $y$ -축에서의 전기장의 복소수 성분을 나타낸다. 각 성분은 다음과 같은 형태를 갖는다:

$E_x = |E_x| e^{i \delta_x}, \quad E_y = |E_y| e^{i \delta_y}$

여기서: - $|E_x|, |E_y|$ : 각각 $x$ -축과 $y$ -축에서의 전기장의 진폭 - $\delta_x, \delta_y$ : 각각의 위상

따라서 존스 벡터는 다음과 같이 쓸 수 있다:

$\mathbf{E} = \begin{pmatrix} |E_x| e^{i \delta_x} \\ |E_y| e^{i \delta_y} \end{pmatrix}$

존스 벡터를 사용하여 여러 편광 상태를 구체적으로 나타낼 수 있다.

선편광의 존스 벡터

선편광의 경우, 전기장은 하나의 축을 따라 진동한다. 예를 들어, $x$ -축 방향으로 진동하는 선편광의 존스 벡터는 다음과 같다:

$\mathbf{E} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$y$ -축 방향으로 진동하는 선편광의 경우:

$\mathbf{E} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

이 벡터들은 선형으로 편광된 빛의 단순한 예를 나타낸다.

원편광의 존스 벡터

원편광의 경우, 전기장이 두 축에서 동일한 진폭을 가지며 위상 차이가 $\frac{\pi}{2}$ 가 난다. 오른손 원편광(RCP)의 존스 벡터는 다음과 같이 나타낼 수 있다:

$\mathbf{E} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}$

왼손 원편광(LCP)의 경우:

$\mathbf{E} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}$

여기서 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 는 정규화 상수로, 빛의 진폭을 일정하게 유지하기 위한 것이다.

타원편광의 존스 벡터

타원편광은 두 축에서 서로 다른 진폭을 가지며 위상 차이가 존재하는 편광 상태이다. 이 경우 타원편광의 존스 벡터는 다음과 같이 표현된다:

$\mathbf{E} = \begin{pmatrix} |E_x| e^{i \delta_x} \\ |E_y| e^{i \delta_y} \end{pmatrix}$

여기서 $|E_x|$ 와 $|E_y|$ 는 서로 다를 수 있으며, $\delta_x$ 와 $\delta_y$ 사이의 위상 차이가 타원 경로를 결정한다.

편광 변환: 편광판과 회전기

편광판과 같은 편광 변환 장치는 빛의 편광 상태를 제어하는 데 사용된다. 편광판은 특정한 방향으로 진동하는 전기장 성분만을 통과시키고, 다른 성분은 제거한다.

선형 편광판

선형 편광판은 한 방향으로만 진동하는 전기장 성분을 통과시킨다. 예를 들어, $x$ -축 방향으로 편광된 빛만을 통과시키는 선형 편광판의 경우, 입사하는 빛의 존스 벡터가 $\mathbf{E} = \begin{pmatrix} E_x \\ E_y \end{pmatrix}$ 일 때, 편광판을 통과한 후의 빛은 다음과 같이 변환된다:

$\mathbf{E}_{\text{out}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_x \\ E_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E_x \\ 0 \end{pmatrix}$

이 수식은 $x$ -축 방향으로만 진동하는 성분이 남고, $y$ -축 성분은 제거된다는 것을 보여준다.

원형 편광판

원형 편광판은 오른손 원편광 또는 왼손 원편광 성분만을 통과시킬 수 있다. 오른손 원편광(RCP) 성분만을 통과시키는 원형 편광판의 경우, 입사하는 빛의 존스 벡터가 다음과 같을 때:

$\mathbf{E} = \begin{pmatrix} E_x \\ E_y \end{pmatrix}$

이 빛이 오른손 원편광판을 통과하면 다음과 같은 변환이 이루어진다:

$\mathbf{E}_{\text{out}} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_x \\ E_y \end{pmatrix}$

이 변환 행렬은 오른손 원편광 성분만을 남기고, 다른 성분은 제거하는 효과를 나타낸다.

파라미터를 이용한 편광의 설명: 엘리시티(Ellipticity)와 방위각(Azimuth)

편광을 설명하는 또 다른 중요한 파라미터로는 엘리시티(ellipticity)와 방위각(azimuth)이 있다. 타원편광에서는 전기장의 진동 경로가 타원을 그리며, 이 타원의 모양과 방향을 정의하는 데 사용되는 두 가지 핵심적인 요소가 엘리시티와 방위각이다.

엘리시티 (Ellipticity)

엘리시티는 타원편광에서 타원의 두 축의 비율을 설명하는 매개변수로, 타원의 편평함을 나타낸다. 엘리시티는 타원의 짧은 축과 긴 축의 진폭 비율로 정의되며, 일반적으로 다음과 같은 수식으로 나타낼 수 있다:

$\varepsilon = \frac{b}{a}$

여기서: - $a$ : 타원의 긴 축(major axis)의 길이 - $b$ : 타원의 짧은 축(minor axis)의 길이

엘리시티는 $-1$ 에서 $1$ 까지의 값을 가지며, 이 값에 따라 편광의 상태가 달라진다: - $\varepsilon = 0$ : 선편광 (타원이 직선이 됨) - $\varepsilon = \pm 1$ : 원편광 (타원의 두 축이 동일함)

엘리시티는 또한 각도로 표현될 수 있으며, 엘리시티 각(ellipticity angle)이라고 한다. 엘리시티 각은 다음과 같은 수식으로 표현된다:

$\chi = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$

여기서 $\chi$ 는 편광 상태가 타원형으로 변할수록 값이 증가하고, 원형 편광에서는 $\chi = \pm 45^\circ$ 가 된다.

방위각 (Azimuth)

방위각은 타원의 긴 축이 수평축과 이루는 각도를 나타낸다. 방위각 $\psi$ 는 다음과 같은 수식으로 정의된다:

$\psi = \arctan\left(\frac{E_y}{E_x}\right)$

여기서 $E_x$ 와 $E_y$ 는 각각 $x$ -축과 $y$ -축 방향의 전기장 성분의 진폭이다. 방위각은 타원편광에서 타원의 회전 방향을 설명하며, 타원이 어떤 방향으로 회전하는지를 나타낸다. 선편광의 경우 방위각은 진동하는 전기장의 방향과 직접적으로 관련된다.

편광과 파라미터 사이의 관계

엘리시티와 방위각은 타원편광을 보다 정밀하게 기술하기 위한 두 가지 주요한 매개변수이다. 이 두 파라미터는 다음과 같은 관계를 가지고 있다:

$\mathbf{E} = E_0 \begin{pmatrix} \cos(\psi) \cos(\omega t - k z) \\ \sin(\psi) \sin(\omega t - k z + \chi) \end{pmatrix}$

이 수식에서 $\psi$ 는 타원의 방위각, $\chi$ 는 엘리시티 각이며, $\omega t - k z$ 는 파동의 시간적, 공간적 위상 변화이다.

편광 상태는 $\psi$ 와 $\chi$ 의 조합에 따라 다양하게 변할 수 있으며, 이로 인해 전기장의 진동 경로가 달라지게 된다.

편광의 물리적 실험: 맬루스의 법칙 (Malus's Law)

편광 상태를 실험적으로 관찰하는 대표적인 방법 중 하나는 맬루스의 법칙을 이용하는 것이다. 맬루스의 법칙은 편광된 빛이 편광판을 통과할 때, 통과한 빛의 강도와 입사한 빛의 강도 사이의 관계를 나타낸다. 이 법칙은 다음과 같은 수식으로 표현된다:

$I = I_0 \cos^2(\theta)$

여기서: - $I$ : 편광판을 통과한 후의 빛의 세기 - $I_0$ : 입사한 빛의 세기 - $\theta$ : 입사한 빛의 편광 방향과 편광판의 축 사이의 각도

이 수식은 편광판이 빛의 진동 방향에 따라 특정한 성분만을 통과시킨다는 것을 설명하며, 특히 선형 편광된 빛에 대해 적용된다. 만약 빛의 편광 방향이 편광판의 축과 수직이면, $\cos(\theta) = 0$ 이 되어 통과한 빛의 세기는 0이 된다.

맬루스의 법칙은 편광의 기본적인 특성을 실험적으로 확인할 수 있는 중요한 도구로 사용된다.

편광 변환 행렬: 무재생 편광 요소

편광 상태를 제어하거나 변환하기 위해 여러 종류의 편광 장치가 사용된다. 이러한 장치들은 수학적으로 편광 변환 행렬(polarization transformation matrix)로 표현될 수 있으며, 이를 통해 입사하는 빛의 편광 상태를 변경할 수 있다. 대표적인 편광 변환 행렬은 무재생 편광 요소(Jones matrix)를 사용하여 설명된다.

편광 변환 행렬의 예

선형 편광판의 존스 행렬:

$\mathbf{J} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

이 행렬은 $x$ -축 방향으로만 진동하는 빛을 통과시키고, $y$ -축 성분은 제거하는 선형 편광판을 나타낸다.

원형 편광판의 존스 행렬:

$\mathbf{J} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{pmatrix}$

이 행렬은 오른손 원편광 성분만을 통과시키는 원형 편광판을 나타낸다.

이러한 편광 변환 행렬을 사용하여 입사하는 빛의 편광 상태를 수학적으로 계산할 수 있으며, 다양한 편광 장치의 동작 원리를 분석할 수 있다.