간섭과 회절 - 소프트웨어 융합

간섭

파동의 간섭은 두 개 이상의 파동이 중첩되었을 때 나타나는 현상으로, 그 결과로 새로운 파동 패턴이 형성된다. 간섭 현상은 주로 동일한 파장과 주파수를 가지는 두 개 이상의 파동이 만나 중첩될 때 강하게 나타난다. 두 파동의 위상이 같을 경우 보강간섭(constructive interference)이 일어나고, 위상이 반대일 경우 상쇄간섭(destructive interference)이 일어난다.

보강간섭

보강간섭은 두 파동이 위상이 동일할 때 발생한다. 이를 수식으로 표현하면, 두 파동이 위치 $x$ 에서 시간 $t$ 에 가지는 변위가 각각 $y_1(x, t)$ , $y_2(x, t)$ 라 할 때, 총 변위 $y(x, t)$ 는 다음과 같다:

$y(x, t) = y_1(x, t) + y_2(x, t)$

만약 두 파동이 동일한 진폭 $A$ , 파수 $k$ , 각진동수 $\omega$ , 위상 $\phi$ 를 가지는 경우, 파동의 변위는 다음과 같이 표현될 수 있다:

$y_1(x, t) = A \cos(kx - \omega t + \phi_1)$

$y_2(x, t) = A \cos(kx - \omega t + \phi_2)$

보강간섭이 일어나려면, 두 파동의 위상 차이가 $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = 2n\pi$ (여기서 $n$ 은 정수)일 때 발생한다. 이 경우 두 파동의 변위는 합해져서 최대 진폭을 나타낸다:

$y(x, t) = 2A \cos \left( \frac{\phi_1 + \phi_2}{2} \right) \cos \left( kx - \omega t + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2} \right)$

상쇄간섭

상쇄간섭은 두 파동의 위상이 반대일 때 발생한다. 이 경우 위상 차이가 $\Delta \phi = (2n+1)\pi$ 이면, 두 파동의 변위는 서로 상쇄되어 결과적으로 변위가 0이 되는 위치가 생긴다:

$y(x, t) = 0$

이와 같은 간섭 현상은 두 개 이상의 파동이 동일한 매질을 통과할 때 서로 영향을 주고받는 결과로 나타난다.

회절

회절은 파동이 장애물을 만났을 때, 그 장애물을 우회하여 전파하는 현상이다. 특히 장애물이나 슬릿의 크기가 파장의 크기와 비슷할 때 회절 현상이 두드러지게 나타난다. 회절은 빛, 소리, 물결 등 모든 종류의 파동에서 관찰되며, 파동의 본질적인 특성을 설명하는 중요한 현상 중 하나다.

단일 슬릿 회절

단일 슬릿을 통과한 파동은 슬릿의 각 지점에서 새로운 파동원으로 간주되며, 이러한 파동들이 중첩되어 회절 패턴을 형성한다. 단일 슬릿의 경우, 슬릿의 폭을 $a$ , 빛의 파장을 $\lambda$ , 슬릿과 스크린 사이의 거리를 $D$ 라 하면, 슬릿을 통과한 파동은 스크린 위에 밝고 어두운 간섭 무늬를 형성한다.

주어진 각도 $\theta$ 에서의 회절 조건은 다음과 같이 주어진다:

$a \sin \theta = m \lambda$

여기서 $m$ 은 회절 무늬의 차수를 나타내는 정수이며, $m = 0$ 일 때는 중심의 밝은 무늬, $m \neq 0$ 일 때는 어두운 무늬를 형성한다.

이중 슬릿 회절

이중 슬릿 회절은 회절과 간섭이 동시에 일어나는 경우로, 슬릿을 통과한 두 파동이 중첩되면서 복잡한 간섭 무늬를 형성한다. 슬릿 간격을 $d$ , 파장을 $\lambda$ 라 할 때, 밝은 간섭 무늬가 형성되는 각도 $\theta$ 는 다음과 같이 주어진다:

$d \sin \theta = m \lambda$

여기서도 $m$ 은 정수이며, 밝은 무늬가 형성되는 위치를 결정한다.

다중 슬릿 회절 (회절격자)

다중 슬릿 회절은 매우 가는 간격으로 배치된 다수의 슬릿을 통과한 파동이 회절되는 경우를 말한다. 이를 회절격자(diffraction grating)라고 하며, 많은 슬릿을 통과한 파동이 서로 간섭하여 매우 정밀한 회절 패턴을 형성한다.

회절격자의 경우, 슬릿 사이의 간격 $d$ 와 빛의 파장 $\lambda$ , 회절 각도 $\theta$ 는 다음과 같은 간섭 조건을 만족할 때 밝은 간섭 무늬가 형성된다:

$d \sin \theta = m \lambda$

여기서 $m$ 은 간섭 무늬의 차수를 나타내며, 다중 슬릿에 의한 회절 패턴은 단일 슬릿이나 이중 슬릿에 비해 훨씬 날카롭고 강도가 뚜렷하다. 이 때문에 회절격자는 분광학에서 널리 사용되며, 빛의 파장을 매우 정밀하게 측정하는 도구로 사용된다.

원형 슬릿과 핀홀 회절

원형 슬릿이나 핀홀을 통과한 파동은 그 모양이 원형 대칭을 가지는 회절 패턴을 형성한다. 이러한 경우를 프라운호퍼 회절(Fraunhofer diffraction)이라 하며, 중심에 밝은 원반이 형성되고 그 주변에 일련의 밝고 어두운 고리 패턴이 나타난다. 이 패턴은 에어리 패턴(Airy pattern)으로 알려져 있다.

원형 슬릿이나 핀홀 회절에서 밝은 중심 무늬의 반지름 $r$ 은 다음과 같은 관계식으로 표현될 수 있다:

$r = 1.22 \frac{\lambda D}{a}$

여기서 $a$ 는 핀홀의 지름, $D$ 는 핀홀과 스크린 사이의 거리, $\lambda$ 는 파장이다.

회절의 해석: 호이겐스-프레넬 원리

회절 현상을 설명하는 중요한 원리 중 하나가 호이겐스-프레넬 원리(Huygens-Fresnel principle)이다. 이 원리에 따르면, 파동의 진행은 파면의 각 점에서 새로운 파동이 발생하여 진행하는 것으로 해석할 수 있다. 즉, 파면의 각 점은 새로운 파동의 중심이 되며, 이러한 새로운 파동들이 중첩되어 파동의 전체 진행 방향을 결정한다. 이 원리를 통해 회절 현상을 해석하면, 슬릿이나 장애물을 만난 파동이 어떻게 회절되고 간섭하는지 이해할 수 있다.

호이겐스-프레넬 원리의 수학적 표현은 각 점에서 발생하는 파동이 구면파로 전파된다고 가정하며, 이 구면파들의 중첩을 계산함으로써 전체 파동을 기술할 수 있다.

프라운호퍼 회절과 프레넬 회절

회절은 파동의 전파 상황에 따라 두 가지로 나뉘는데, 프라운호퍼 회절(Fraunhofer diffraction)과 프레넬 회절(Fresnel diffraction)이다.

프라운호퍼 회절은 평행한 파면이 장애물이나 슬릿을 통과한 후 먼 거리에서 관찰되는 경우로, 간섭 무늬가 멀리 떨어진 스크린에 형성된다. 이 경우 수학적으로 푸리에 변환을 이용하여 간섭 무늬를 계산할 수 있다.
프레넬 회절은 파동이 장애물이나 슬릿을 통과한 후 가까운 거리에서 관찰되는 경우로, 간섭 무늬가 더욱 복잡한 형태를 띠며, 파면의 구면적 성격이 강조된다. 프레넬 회절의 경우 적절한 근사법을 통해 간섭 무늬를 계산한다.

회절강도와 슬릿 너비의 관계

슬릿을 통과한 파동의 회절 강도는 슬릿의 너비에 따라 달라진다. 단일 슬릿 회절에서 회절 무늬의 강도는 다음과 같이 주어진다:

$I(\theta) = I_0 \left( \frac{\sin(\beta)}{\beta} \right)^2$

여기서 $I_0$ 는 중심에서의 강도, $\beta$ 는 $\beta = \frac{\pi a \sin \theta}{\lambda}$ 로 정의되며, $a$ 는 슬릿의 너비, $\lambda$ 는 파장, $\theta$ 는 회절 각도이다. 슬릿의 너비가 커질수록 강도의 중심 피크는 좁아지고, 회절 무늬의 폭이 줄어들게 된다.

이중 슬릿 간섭과 회절의 결합

이중 슬릿을 통과한 파동은 회절과 간섭이 동시에 발생하며, 복잡한 무늬가 형성된다. 이중 슬릿을 통과한 빛의 강도 분포는 다음과 같이 주어진다:

$I(\theta) = I_0 \left( \cos^2\left(\frac{\pi d \sin \theta}{\lambda}\right) \right) \left( \frac{\sin(\beta)}{\beta} \right)^2$

여기서 첫 번째 항은 간섭에 의한 밝고 어두운 무늬를, 두 번째 항은 회절에 의한 패턴을 나타낸다. $d$ 는 슬릿 간격, $a$ 는 슬릿의 너비, $\beta = \frac{\pi a \sin \theta}{\lambda}$ 로 정의된다.