입자의 상자 문제 - 실험 도서관

1차원 무한한 잠재 우물

입자의 상자 문제는 고전 역학에서는 자유롭게 움직일 수 있는 입자가, 양자역학에서는 잠재 에너지가 일정한 구간 내에서만 존재하고 외부에서는 무한히 높은 잠재 에너지를 갖는 문제로 설명된다. 이 문제는 고전적으로는 간단해 보이지만, 양자역학적으로는 파동 함수와 에너지 준위가 양자화된다는 중요한 결과를 도출하게 된다.

1차원 무한 잠재 우물 설정

우리는 길이 $L$ 인 1차원 상자 안에 있는 입자를 생각한다. 이 상자 내부에서 입자는 자유롭게 움직일 수 있지만, 상자 벽 밖으로는 나갈 수 없다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

$V(x) = \begin{cases} 0 & 0 \leq x \leq L \\ \infty & \text{otherwise} \end{cases}$

여기서 $V(x)$ 는 입자의 위치 $x$ 에 따른 잠재 에너지 함수이다.

슈뢰딩거 방정식

입자의 상태는 시간 의존 슈뢰딩거 방정식으로 표현된다. 시간에 독립적인 상태를 다루기 위해 시간 의존성을 제거한 시간 독립 슈뢰딩거 방정식을 사용한다. 이 방정식은 다음과 같다.

$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x)$

여기서: - $\hbar$ 는 디랙 상수 - $m$ 은 입자의 질량 - $\psi(x)$ 는 입자의 파동 함수 - $E$ 는 에너지 고유값이다.

경계 조건

무한 잠재 우물의 특성상, 상자의 경계에서 파동 함수는 0이어야 한다. 즉, $x = 0$ 과 $x = L$ 에서 다음의 경계 조건을 만족해야 한다.

$\psi(0) = 0, \quad \psi(L) = 0$

이러한 경계 조건을 반영하여 파동 함수의 해를 구할 수 있다.

파동 함수의 해

상자 내부에서 잠재 에너지가 0이므로 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은 형태로 단순화된다.

$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = E \psi(x)$

이를 풀면 파동 함수는 다음과 같은 일반적인 형태로 표현된다.

$\psi(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx)$

여기서 $A$ 와 $B$ 는 상수이며, $k$ 는 파수로 다음과 같이 정의된다.

$k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$

경계 조건을 적용한 파동 함수

앞서 언급한 경계 조건 $\psi(0) = 0$ 을 적용하면 $B = 0$ 임을 알 수 있다. 따라서 파동 함수는 다음과 같이 간단해진다.

$\psi(x) = A \sin(kx)$

또한 $\psi(L) = 0$ 조건을 적용하면 $k$ 는 다음과 같은 양자화된 값을 가져야 한다.

$k_n = \frac{n\pi}{L} \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$

따라서 파동 함수는 다음과 같이 주어진다.

$\psi_n(x) = A \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$

여기서 $n$ 은 양자수로, 상자의 에너지 준위가 양자화됨을 의미한다.

에너지 고유값

파동수 $k_n$ 을 이용하여 에너지를 구할 수 있다. 에너지는 다음과 같이 주어진다.

$E_n = \frac{\hbar^2 k_n^2}{2m} = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}$

이는 상자 안에서 입자의 에너지가 불연속적이며, 에너지 준위가 양자화되어 있음을 의미한다.

상수 $A$ 의 결정

파동 함수의 상수 $A$ 는 파동 함수가 정규화 조건을 만족해야 한다는 요구에 따라 결정된다. 정규화 조건은 파동 함수의 전체 확률이 1이어야 한다는 의미로, 수식으로는 다음과 같이 표현된다.

$\int_0^L |\psi_n(x)|^2 dx = 1$

따라서 다음 적분을 계산해야 한다.

$\int_0^L A^2 \sin^2\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx = 1$

이 적분을 풀면 상수 $A$ 는 다음과 같이 주어진다.

$A = \sqrt{\frac{2}{L}}$

따라서 정규화된 파동 함수는 다음과 같은 형태를 갖는다.

$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$

이제 우리는 1차원 무한 잠재 우물 내에서 입자의 파동 함수와 에너지 준위를 완전히 구할 수 있게 되었다.

확률 밀도

입자의 파동 함수 $\psi_n(x)$ 를 통해 확률 밀도를 구할 수 있다. 확률 밀도는 다음과 같이 주어진다.

$|\psi_n(x)|^2 = \frac{2}{L} \sin^2\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$

이는 입자가 공간 내에서 어디에 있을 확률이 가장 높은지를 나타낸다. $n = 1$ 인 경우, 확률 밀도가 상자의 중앙에서 가장 크며, $n$ 이 커질수록 상자 내부에서의 확률 분포가 보다 복잡해진다. 예를 들어, $n = 2$ 일 경우에는 확률 밀도가 두 개의 뚜렷한 봉우리를 가지게 된다.

3차원 무한 잠재 우물

입자의 상자 문제를 1차원에서 3차원으로 확장할 수 있다. 3차원 무한 잠재 우물에서는 입자가 $x$ -, $y$ -, $z$ -축 방향으로 모두 움직일 수 있으며, 각 방향에 대해 독립적인 슈뢰딩거 방정식을 풀 수 있다.

3차원 상자의 잠재 에너지

3차원 상자 문제에서는 입자가 세 방향에서 모두 잠재 우물에 갇혀 있다고 가정한다. 상자의 경계는 $x = 0, L_x$ , $y = 0, L_y$ , $z = 0, L_z$ 로 설정되며, 잠재 에너지는 다음과 같이 정의된다.

$V(x, y, z) = \begin{cases} 0 & 0 \leq x \leq L_x, \ 0 \leq y \leq L_y, \ 0 \leq z \leq L_z \\ \infty & \text{otherwise} \end{cases}$

3차원 슈뢰딩거 방정식

3차원에서는 파동 함수가 $x$ -, $y$ -, $z$ 좌표에 대해 각각 함수로 정의되며, 시간 독립 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

$-\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right) \psi(x, y, z) = E \psi(x, y, z)$

이 방정식은 각 좌표에 대해 분리 가능하므로, 파동 함수는 다음과 같은 곱 형태로 나타낼 수 있다.

$\psi(x, y, z) = \psi_x(x) \psi_y(y) \psi_z(z)$

따라서 슈뢰딩거 방정식은 각 좌표에 대한 독립적인 1차원 방정식으로 분리된다.

$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi_x(x)}{dx^2} = E_x \psi_x(x), \quad -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi_y(y)}{dy^2} = E_y \psi_y(y), \quad -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi_z(z)}{dz^2} = E_z \psi_z(z)$

여기서 $E_x$ , $E_y$ , $E_z$ 는 각각 $x$ -, $y$ -, $z$ -축 방향의 에너지를 나타낸다. 전체 에너지는 각 방향의 에너지의 합으로 주어진다.

$E = E_x + E_y + E_z$

파동 함수와 에너지 준위

각 방향에 대해 1차원 문제와 동일한 방식으로 파동 함수를 구할 수 있다. 각 방향에서의 파동 함수는 다음과 같다.

$\psi_x(x) = \sqrt{\frac{2}{L_x}} \sin\left(\frac{n_x \pi x}{L_x}\right), \quad \psi_y(y) = \sqrt{\frac{2}{L_y}} \sin\left(\frac{n_y \pi y}{L_y}\right), \quad \psi_z(z) = \sqrt{\frac{2}{L_z}} \sin\left(\frac{n_z \pi z}{L_z}\right)$

따라서 전체 파동 함수는 다음과 같이 표현된다.

$\psi_{n_x, n_y, n_z}(x, y, z) = \sqrt{\frac{8}{L_x L_y L_z}} \sin\left(\frac{n_x \pi x}{L_x}\right) \sin\left(\frac{n_y \pi y}{L_y}\right) \sin\left(\frac{n_z \pi z}{L_z}\right)$

에너지 준위는 다음과 같이 주어진다.

$E_{n_x, n_y, n_z} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m} \left( \frac{n_x^2}{L_x^2} + \frac{n_y^2}{L_y^2} + \frac{n_z^2}{L_z^2} \right)$

여기서 $n_x$ , $n_y$ , $n_z$ 는 각각 $x$ -, $y$ -, $z$ -축 방향의 양자수이다.

3차원 무한 잠재 우물의 에너지 준위 분해

앞서 언급한 에너지 준위 식

$E_{n_x, n_y, n_z} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m} \left( \frac{n_x^2}{L_x^2} + \frac{n_y^2}{L_y^2} + \frac{n_z^2}{L_z^2} \right)$

을 보면, 각 양자수 $n_x$ , $n_y$ , $n_z$ 의 값에 따라 에너지가 달라진다. 이때 에너지 준위는 $n_x, n_y, n_z$ 의 값이 큰 순서대로 나열되며, 동일한 에너지를 가지는 상태가 여러 개 있을 수 있는데, 이를 에너지 준위의 축퇴(degeneracy)라고 한다.

축퇴(degeneracy)

축퇴는 서로 다른 양자수 조합이 동일한 에너지를 가질 때 발생한다. 예를 들어, 상자의 세 축이 동일한 길이 $L_x = L_y = L_z = L$ 인 경우를 고려해 보자. 이 경우 에너지 준위 식은 다음과 같이 단순화된다.

$E_{n_x, n_y, n_z} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} (n_x^2 + n_y^2 + n_z^2)$

여기서 $n_x^2 + n_y^2 + n_z^2$ 의 값이 같다면, 비록 양자수 조합이 다를지라도 에너지는 동일하게 된다. 예를 들어, 다음 두 경우를 생각해 보자.

$n_x = 2, n_y = 1, n_z = 1$
$n_x = 1, n_y = 2, n_z = 1$

두 경우 모두 $n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 = 6$ 을 만족하며, 따라서 동일한 에너지를 갖는다. 이는 해당 에너지 준위가 축퇴되어 있음을 의미한다. 축퇴된 상태의 수는 에너지 준위에 따라 다르며, 이를 계산하는 것은 상자의 대칭성과 관련이 있다.

상자의 비대칭성

만약 상자의 크기가 $L_x \neq L_y \neq L_z$ 로 서로 다르다면, 에너지 준위의 축퇴는 거의 발생하지 않는다. 상자의 각 방향에서의 길이가 다르면 에너지 식에서 각 축의 기여가 다르게 나타나므로, 같은 양자수를 갖더라도 에너지 값은 다를 수 있다.

예를 들어, $L_x = L$ , $L_y = 2L$ , $L_z = 3L$ 인 경우를 생각해 보자. 이때 에너지 식은 다음과 같이 바뀐다.

$E_{n_x, n_y, n_z} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} \left( n_x^2 + \frac{n_y^2}{4} + \frac{n_z^2}{9} \right)$

이처럼 각 축의 길이가 다르면, 양자수의 조합에 따른 에너지 값이 달라지며, 축퇴 현상은 더 이상 발생하지 않거나 줄어들게 된다.

입자의 상자 문제의 응용

입자의 상자 문제는 양자역학의 기초적인 문제이지만, 실제 물리 현상을 설명하는 데 있어 중요한 응용이 있다. 특히, 이 문제는 반도체 물리, 나노 물질에서 전자의 움직임, 그리고 화학에서 분자의 전자 구조를 설명하는 데 활용된다. 아래에서 몇 가지 중요한 응용을 간략하게 살펴보자.

양자점(Quantum Dots)

양자점은 매우 작은 크기의 반도체 나노입자들로, 전자들이 양자역학적인 속박을 받는다. 양자점 내에서 전자의 움직임은 입자의 상자 문제와 유사하게 설명될 수 있다. 양자점의 크기가 작아질수록 에너지 준위 사이의 간격이 커지며, 이는 양자점의 광학적 및 전기적 성질을 크게 변화시킨다. 양자점은 이러한 성질을 이용하여 다양한 전자기기 및 의학적 응용에 사용된다.

나노 튜브 및 나노 와이어

나노 튜브와 같은 나노 구조체도 입자의 상자 문제를 통해 전자의 에너지 준위를 설명할 수 있다. 특히, 나노 튜브의 경우 2차원에서의 입자의 상자 문제와 유사한 방식으로 전자 구조를 분석할 수 있다. 나노 와이어의 경우 전자가 특정 방향으로 속박되므로 1차원 상자 문제와 유사한 에너지 준위를 가진다.

분자의 에너지 준위

입자의 상자 문제는 분자의 에너지 준위와도 관련이 있다. 예를 들어, 분자 내에서 전자의 운동은 양자역학적으로 상자에 갇힌 전자처럼 다루어질 수 있으며, 이때의 에너지 준위는 화학 결합, 전자 전이, 반응성 등을 설명하는 데 중요한 역할을 한다.

--- 없이 마무리

입자의 상자 문제는 양자역학에서 중요한 모델 중 하나이며, 고전 역학과 달리 에너지가 양자화된다는 중요한 결과를 보여준다. 1차원, 3차원 상자 내에서의 파동 함수와 에너지 준위는 양자 상태의 성질을 이해하는 데 중요한 도구가 되며, 이를 통해 여러 실제 응용에서도 유용한 통찰을 제공한다.