라그랑주 역학은 고전역학에서 시스템의 운동을 설명하는 매우 중요한 이론적 틀이다. 뉴턴의 운동 법칙은 힘에 기반한 접근 방식을 취하는 반면, 라그랑주 역학은 에너지에 기초한 방식으로 시스템을 분석한다. 이 접근법은 좌표계 선택에 덜 민감하며, 특히 복잡한 구속 조건을 가진 시스템을 다루기에 적합한다.

라그랑주 역학의 중심 요소는 라그랑지안이라는 함수이다. 라그랑지안은 운동 시스템의 동역학을 기술하는 데 사용되며, 이는 운동에너지와 위치에너지 간의 차이로 정의된다:

여기서: - $T$는 운동 에너지 (Kinetic Energy), - $V$는 위치 에너지 (Potential Energy)이다.

일반화 좌표와 일반화 속도

라그랑주 역학은 시스템의 위치를 나타내기 위해 일반화 좌표 $q_i$와 이의 시간에 따른 변화인 일반화 속도 $\dot{q_i}$를 사용한다. 일반화 좌표는 시스템의 자유도를 나타내는 변수로, 이를 통해 복잡한 운동을 더 쉽게 표현할 수 있다. $i$는 자유도의 인덱스를 의미하며, $N$개의 자유도를 가지는 시스템이라면 $q_1, q_2, \dots, q_N$와 같이 나타낼 수 있다.

예를 들어, 입자의 3차원 공간에서의 운동을 설명할 때, 데카르트 좌표계에서는 $(x, y, z)$로 표현되지만, 구면 좌표계에서는 $(r, \theta, \phi)$와 같이 나타낼 수 있다. 일반화 좌표는 이러한 좌표계를 일반화한 개념으로, 특정 시스템에 가장 적합한 좌표계를 선택할 수 있는 유연성을 제공한다.

라그랑주 방정식의 도출

라그랑주 역학에서 운동 방정식을 얻기 위해 해밀턴의 원리(Hamilton’s Principle), 즉 최소 작용의 원리를 사용한다. 이는 시스템이 주어진 경로 중에서 작용(action)을 최소화하는 경로를 따른다는 원리이다. 작용 $S$는 라그랑지안을 시간에 대해 적분한 값으로 정의된다:

여기서 $t_1$과 $t_2$는 운동이 일어나는 시간 구간이다. 해밀턴의 원리를 적용하여 작용이 극값(보통 최소값)을 갖도록 하면, 아래의 오일러-라그랑주 방정식을 얻게 된다:

이 방정식이 시스템의 운동을 결정하는 기초 방정식이다. 오일러-라그랑주 방정식은 뉴턴의 운동 방정식과 본질적으로 동일한 정보를 제공하지만, 라그랑주 역학은 힘에 대한 명시적인 계산 없이 시스템의 동역학을 분석할 수 있다는 장점이 있다.

구속 조건

라그랑주 역학은 특히 구속 조건이 있는 시스템을 다루는 데 유리한다. 구속 조건이란 시스템의 자유도를 제한하는 조건을 말하며, 이를 통해 운동을 제한된 공간에서 분석할 수 있다. 구속 조건은 크게 두 가지로 나눌 수 있다: 1. 홀로노믹 구속(Holonomic Constraint): 좌표로만 나타낼 수 있는 구속으로, 다음과 같은 형태를 갖는다:

1. 비홀로노믹 구속(Non-holonomic Constraint): 좌표와 속도 모두에 의존하는 구속으로, 다음과 같은 형태를 가질 수 있다:

구속 조건을 포함한 라그랑주 방정식을 유도하려면 라그랑주 승수(Lagrange Multiplier)를 사용하여 구속 조건을 해결해야 한다. 이를 통해 구속된 시스템에서도 운동 방정식을 도출할 수 있다.

라그랑주 승수법

라그랑주 승수법은 구속 조건이 있는 시스템의 운동 방정식을 유도하는 중요한 기법이다. 앞서 언급한 것처럼, 구속 조건은 시스템의 자유도를 제한하며, 라그랑주 역학에서는 이러한 구속을 처리하기 위해 구속 조건에 해당하는 라그랑주 승수를 도입한다.

홀로노믹 구속에 대한 라그랑주 방정식

홀로노믹 구속 조건이 있는 경우, 구속은 일반화 좌표 $q_i$와 시간 $t$의 함수로 표현된다:

이때 구속된 시스템의 라그랑지안은 라그랑주 승수 $\lambda$를 도입하여 다음과 같이 확장된다:

여기서: - $L'$는 확장된 라그랑지안, - $\lambda$는 구속 조건을 만족하기 위한 라그랑주 승수이다.

이 확장된 라그랑지안을 사용하면, 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같이 수정된다:

여기서 구속 조건을 만족하는 방정식을 추가적으로 고려하게 된다. 이 방법을 통해 구속된 시스템의 운동을 계산할 수 있으며, 특히 구속 조건이 복잡할 때 매우 유용하다.

비홀로노믹 구속에 대한 라그랑주 방정식

비홀로노믹 구속 조건의 경우, 구속 조건은 좌표와 속도 모두에 의존하므로 다음과 같이 표현된다:

이 경우에도 라그랑주 승수법을 적용할 수 있지만, 구속 조건의 복잡성 때문에 수학적으로 더 까다로워진다. 비홀로노믹 구속에서는 추가적인 일반화 좌표를 도입하거나, 구속된 동역학 시스템의 특성에 맞는 특별한 기법을 사용해야 할 수도 있다.

해밀턴-라그랑주 변환

라그랑주 역학에서 해밀턴 역학으로의 전환은 해밀턴 변환을 통해 이루어진다. 라그랑주 역학이 일반화 좌표 $q_i$와 일반화 속도 $\dot{q_i}$를 기반으로 하는 반면, 해밀턴 역학은 일반화 좌표 $q_i$와 일반화 운동량 $p_i$를 사용한다. 이 과정에서 중요한 역할을 하는 것이 해밀토니안(Hamiltonian) 함수이다.

해밀토니안은 라그랑지안으로부터 다음과 같이 정의된다:

여기서: - $H$는 해밀토니안, - $p_i$는 일반화 운동량으로, 라그랑지안에서 일반화 속도에 대한 편미분으로 정의된다:

해밀토니안은 보존 에너지를 나타내며, 시스템의 동역학을 해밀턴 방정식을 통해 기술한다.

해밀턴 방정식

해밀턴 방정식은 라그랑주 방정식을 대체하는 방식으로 시스템의 운동을 설명한다. 이 방정식은 일반화 좌표와 운동량에 대한 시간에 따른 변화율을 나타내며, 다음과 같은 두 개의 1차 미분 방정식으로 표현된다:

이 해밀턴 방정식은 복잡한 시스템의 동역학을 더 단순하게 표현할 수 있는 방법을 제공한다. 특히 해밀턴 역학은 양자역학 및 통계역학 등 다른 물리학 분야에서도 중요한 역할을 하므로, 라그랑주 역학과 함께 고전역학의 중요한 축을 이루고 있다.

변분법과 최소 작용의 원리

라그랑주 역학의 근간이 되는 개념 중 하나는 변분법이다. 변분법은 함수의 극값을 찾는 방법으로, 라그랑주 역학에서는 주어진 경로 중에서 작용이 최소가 되는 경로를 찾는 데 사용된다. 이 개념을 기반으로 한 것이 최소 작용의 원리이다.

최소 작용의 원리

최소 작용의 원리에서, 물리 시스템은 작용(action)이 최소화되는 경로를 따라 운동한다. 작용 $S$는 시간 간격 $t_1$부터 $t_2$까지의 라그랑지안 $L$의 적분으로 주어진다:

여기서 $q_i(t)$는 일반화 좌표이며, 주어진 경로에서 이 작용을 최소화하는 $q_i(t)$가 시스템의 실제 경로가 된다. 이 문제는 변분법을 통해 해결된다.

변분법에 따르면, 함수 $S$가 극값을 가질 때, 작은 변화를 가한 후에도 작용의 변화는 0이어야 한다. 즉, $\delta S = 0$이 성립해야 한다. 이를 오일러-라그랑주 방정식으로 표현하면 다음과 같이 유도된다:

이 방정식이 시스템의 운동을 결정하는 핵심 방정식이며, 라그랑주 역학의 기본 원리를 이룬다.

작용의 변화

작용의 변화는 작은 변화 $\delta q_i$에 대해 다음과 같이 표현될 수 있다:

여기서 $\delta \dot{q_i}$는 시간에 따른 $\delta q_i$의 변화이므로, 부분적분을 통해 $\delta \dot{q_i}$ 항을 정리하면 다음과 같이 표현된다:

경계 조건에서 $\delta q_i(t_1) = \delta q_i(t_2) = 0$임을 가정하면, 경계 항은 사라지고 오일러-라그랑주 방정식이 도출된다:

따라서 시스템의 운동 방정식은 라그랑지안 $L$으로부터 직접적으로 얻어지며, 이는 물리학적 시스템의 경로가 작용을 최소화하도록 결정된다는 것을 의미한다.

좌표 변환과 라그랑주 역학의 유리함

라그랑주 역학의 가장 큰 장점 중 하나는 좌표 변환에 대한 유연성이다. 뉴턴의 운동 법칙은 힘을 다루기 때문에 데카르트 좌표계에서의 해석이 더 자연스럽지만, 라그랑주 역학은 일반화 좌표를 사용하므로 시스템에 가장 적합한 좌표계를 자유롭게 선택할 수 있다.

예를 들어, 구속 조건이 있는 시스템의 경우, 원통 좌표계나 구면 좌표계를 사용하는 것이 자연스러운 해석이 될 수 있다. 이러한 좌표계를 선택함으로써 문제의 복잡성을 줄이고, 물리적 의미를 명확하게 할 수 있다. 라그랑주 역학은 일반화 좌표 $q_i$를 사용하여 구속이 있는 시스템을 다루는 데 매우 적합하며, 좌표 변환에도 쉽게 적용된다.

운동 에너지와 위치 에너지의 일반화

라그랑주 역학에서 라그랑지안 $L$은 운동 에너지 $T$와 위치 에너지 $V$의 차이로 정의된다. 이때, 운동 에너지와 위치 에너지를 일반화 좌표와 속도를 통해 재정의해야 한다. 이를 통해 다양한 좌표계나 구속 조건이 있는 시스템에서도 정확한 에너지를 계산할 수 있다.

운동 에너지 $T$

운동 에너지는 시스템이 가진 속도와 관련된 에너지로 정의된다. 시스템이 $N$개의 자유도를 가진다면, 운동 에너지는 일반화 좌표와 속도를 사용하여 다음과 같이 표현될 수 있다:

여기서: - $m_{ij}(q_k)$는 일반화 좌표 $q_k$에 따른 계수로, 좌표계에 따라 다르게 정의된다. - $\dot{q_i}, \dot{q_j}$는 일반화 속도이다.

운동 에너지는 일반적으로 이차 형식으로 표현되며, 좌표에 따라 운동 에너지 항의 계수가 달라진다. 예를 들어, 데카르트 좌표계에서는 단순한 질량 $m$에 대한 계수만 필요하지만, 구면 좌표계나 원통 좌표계에서는 각 좌표 축에 대한 질량이 다르게 나타날 수 있다.

위치 에너지 $V$

위치 에너지는 시스템이 외부 힘, 특히 보존적인 힘장(예: 중력, 전기장 등) 내에 있을 때 위치에 의해 결정되는 에너지이다. 위치 에너지는 일반화 좌표 $q_i$의 함수로 표현되며, 다음과 같은 형태를 갖는다:

위치 에너지는 일반적으로 시스템이 특정 좌표에 있을 때 받는 힘에 의해 결정된다. 예를 들어, 중력장의 경우, 위치 에너지는 높이에 따라 다음과 같이 표현될 수 있다:

여기서 $h$는 시스템의 높이, $m$은 질량, $g$는 중력 가속도이다. 라그랑주 역학에서는 위치 에너지가 일반화 좌표의 함수로 주어지기 때문에, 다양한 좌표계에서도 에너지를 쉽게 계산할 수 있다.

라그랑지안 $L$의 일반화

라그랑지안은 운동 에너지 $T$와 위치 에너지 $V$의 차이로 정의되므로, 이를 일반화 좌표와 일반화 속도에 대해 다음과 같이 표현할 수 있다:

이 라그랑지안을 사용하여 오일러-라그랑주 방정식을 풀면, 시스템의 운동을 정확하게 예측할 수 있다. 특히 복잡한 좌표계나 구속 조건이 있는 경우, 라그랑지안의 일반화는 매우 유용하다.

대칭성과 보존 법칙

라그랑주 역학의 중요한 특징 중 하나는 대칭성과 보존 법칙 사이의 관계를 명확히 드러낸다는 점이다. 이는 뇌터 정리(Noether’s Theorem)에 의해 공식화된다. 대칭성은 시스템의 동역학에 영향을 미치지 않는 특정 변환을 의미하며, 이는 항상 특정 보존 법칙과 연관된다.

뇌터 정리

뇌터 정리에 따르면, 시스템의 작용이 특정 좌표 변환에 대해 대칭적이라면, 이에 대응하는 물리량은 보존된다. 예를 들어, 시간에 대한 대칭성은 에너지 보존, 공간적 이동에 대한 대칭성은 선형 운동량 보존, 회전에 대한 대칭성은 각운동량 보존을 의미한다.

이를 수식으로 표현하면, 라그랑지안 $L$이 특정 좌표 변환 $\delta q_i$에 대해 불변일 때, 해당 변환에 관련된 운동량이 보존된다는 것이다:

이로 인해, 대칭성은 물리 시스템의 보존 법칙을 결정하는 중요한 역할을 하며, 라그랑주 역학의 분석 도구로서 강력한 힘을 발휘한다.

시간 변환과 에너지 보존

라그랑지안이 시간에 대해 명시적으로 변하지 않으면, 이 시스템은 에너지를 보존한다. 즉, 라그랑지안이 시간에 대한 대칭성을 가질 때, 다음과 같은 에너지가 보존된다:

이 에너지는 해밀토니안 $H$와 동일하며, 보존되는 양으로써 해석할 수 있다.

공간 변환과 운동량 보존

라그랑지안이 공간적 이동에 대해 대칭적일 경우, 즉 공간의 특정 방향으로 위치를 바꾸어도 라그랑지안이 변하지 않으면 선형 운동량이 보존된다. 이는 다음과 같은 수식으로 표현된다:

여기서 $\mathbf{p}$는 일반화 운동량을 나타내며, 라그랑지안이 특정 방향에서 변하지 않는다면 그 방향에 대한 운동량이 보존된다. 예를 들어, 3차원 공간에서 $x$-축에 대한 대칭성을 가지면, 그 축을 따라 선형 운동량이 보존된다.

이를 통해 고전역학에서 선형 운동량 보존 법칙은 라그랑지안이 공간적 변환에 대해 대칭적이라는 대전제로부터 나오는 중요한 결과임을 알 수 있다.

회전 변환과 각운동량 보존

마찬가지로, 라그랑지안이 회전에 대해 대칭적일 경우 각운동량이 보존된다. 각운동량 보존 법칙은 회전 대칭성을 가진 시스템에서 중요한 역할을 하며, 이는 라그랑지안이 회전에 따른 변환에서 변하지 않으면 각운동량이 보존된다는 것을 의미한다.

각운동량 $\mathbf{L}$는 일반화 운동량과 유사하게 다음과 같이 정의된다:

여기서 $\mathbf{q}$는 위치 벡터, $\dot{\mathbf{q}}$는 속도 벡터이다. 라그랑지안이 회전에 대해 대칭적이면, 각운동량 $\mathbf{L}$이 시간에 대해 변하지 않으므로 보존된다. 이 법칙은 원운동 또는 구면 운동을 다룰 때 특히 중요한 역할을 한다.

라그랑주 역학의 응용

라그랑주 역학은 복잡한 물리적 시스템에 적용할 수 있는 매우 유연한 도구이다. 좌표계의 선택이나 구속 조건이 있는 경우에도 쉽게 적용할 수 있으며, 대칭성으로 인한 보존 법칙을 활용하여 시스템의 운동을 효과적으로 분석할 수 있다. 이러한 장점으로 인해 라그랑주 역학은 다음과 같은 다양한 물리적 상황에 응용된다.

단진자와 이중 진자

라그랑주 역학은 단진자와 이중 진자와 같은 고전역학적 시스템에 매우 적합한다. 예를 들어, 단진자의 경우 라그랑지안은 운동 에너지와 위치 에너지를 고려하여 다음과 같이 표현된다:

여기서: - $m$은 진자의 질량, - $l$은 줄의 길이, - $\theta$는 각도, - $g$는 중력 가속도이다.

이 라그랑지안을 사용하여 오일러-라그랑주 방정식을 풀면, 진자의 운동 방정식을 구할 수 있다.

이중 진자에서는 두 개의 진자가 연결되어 있어 훨씬 더 복잡한 운동을 하게 되지만, 라그랑지안을 통해 각각의 진자의 위치와 속도를 일반화 좌표로 표현하여 시스템의 운동을 설명할 수 있다.

전자기학에서의 라그랑주 역학

라그랑주 역학은 전자기학에서도 사용된다. 예를 들어, 전자기장 내에서의 입자의 운동은 다음과 같은 라그랑지안으로 표현된다:

여기서: - $m$은 입자의 질량, - $q$는 전하, - $\phi(\mathbf{q})$는 전위, - $\mathbf{A}(\mathbf{q})$는 벡터 전위이다.

이 라그랑지안을 통해 전하를 띤 입자의 운동을 분석할 수 있으며, 전자기장에서의 운동을 이해하는 데 중요한 역할을 한다.

다입자 시스템

라그랑주 역학은 다입자 시스템에도 쉽게 적용할 수 있다. 다입자 시스템의 경우, 각 입자의 좌표를 일반화 좌표로 설정하고 전체 시스템의 라그랑지안을 작성하여 운동 방정식을 얻을 수 있다. 다입자 시스템에서 구속 조건이 존재할 경우, 이를 라그랑주 승수법을 통해 해결할 수 있다.

예를 들어, $N$개의 입자가 서로 구속된 상태에서 운동하는 시스템의 라그랑지안은 다음과 같이 표현될 수 있다:

여기서 $V(\mathbf{q}_1, \dots, \mathbf{q}_N)$는 입자들 사이의 상호작용에 따른 위치 에너지를 나타낸다. 이를 통해 다입자 시스템의 운동을 분석할 수 있다.

라그랑주 형식의 장 이론 적용

라그랑주 역학은 고전적인 입자 시스템뿐만 아니라, 장(field) 이론에도 적용될 수 있다. 장 이론에서 라그랑주 역학을 확장하여 공간과 시간에 의존하는 연속적인 장을 다룬다. 이러한 장 이론은 전자기학, 중력 이론, 양자장 이론 등의 다양한 물리적 현상을 설명하는 데 매우 중요한 역할을 한다.

장 이론의 라그랑지안 밀도

장 이론에서, 라그랑지안은 입자의 운동을 기술하는 대신 장의 변화를 설명하는 라그랑지안 밀도로 정의된다. 장 이론에서의 라그랑지안 밀도는 공간과 시간에 대해 정의된 연속적 함수로 다음과 같이 표현된다:

여기서: - $\mathcal{L}$은 라그랑지안 밀도, - $\phi$는 장 변수(field), - $\partial_\mu \phi$는 장 변수의 4차원 미분이다.

이 라그랑지안 밀도를 사용하여 장 이론에서 오일러-라그랑주 방정식을 유도할 수 있으며, 이는 장의 운동을 기술하는 방정식을 제공한다.

전자기장 라그랑지안

전자기학에서 전자기장은 벡터 장으로 나타내어진다. 전자기장의 라그랑지안 밀도는 전자기 퍼텐셜 $A_\mu$와 그 퍼텐셜의 미분인 전자기장 텐서 $F_{\mu\nu}$를 통해 표현된다:

여기서: - $F_{\mu\nu}$는 전자기장 텐서로, 다음과 같이 정의된다:

• $A_\mu$는 전자기 퍼텐셜이다.

이 라그랑지안 밀도를 통해 전자기장 방정식(맥스웰 방정식)을 유도할 수 있으며, 이는 장 이론의 기본적인 적용 사례 중 하나이다.

일반 상대성 이론에서의 라그랑지안

일반 상대성 이론에서도 라그랑주 형식을 사용할 수 있다. 아인슈타인의 장 방정식은 힐베르트-아인슈타인 라그랑지안에서 유도될 수 있으며, 이는 리만 기하학의 곡률 텐서를 기반으로 정의된다:

여기서: - $R$은 리치 곡률 스칼라, - $G$는 중력 상수이다.

이 라그랑지안을 사용하여, 중력장 방정식을 유도할 수 있으며, 이는 아인슈타인의 장 방정식으로 이어진다.

양자장 이론에서의 라그랑지안

양자장 이론에서는 라그랑주 형식을 더욱 일반화하여 입자와 장의 상호작용을 설명한다. 예를 들어, 전자와 전자기장 간의 상호작용을 설명하기 위한 양자 전기역학(QED)의 라그랑지안은 다음과 같다:

여기서: - $\psi$는 전자장의 스핀 장, - $\gamma^\mu$는 디랙 행렬, - $D_\mu$는 공변 미분이다.

이 라그랑지안을 사용하여 양자장 이론의 기본 방정식인 디랙 방정식과 맥스웰 방정식을 통합적으로 설명할 수 있다.

작은 진동 이론과 라그랑주 형식

라그랑주 역학은 작은 진동 이론에도 적용될 수 있다. 작은 진동 이론은 시스템이 평형 위치에서 작은 변위만 가질 때 그 운동을 설명하는 이론이다. 이는 고전 역학에서 흔히 사용되는 접근법으로, 다입자 시스템이나 연속체에서 발생하는 진동을 분석할 때 유용하다.

작은 진동의 라그랑지안

작은 진동을 다룰 때 라그랑지안은 진동 에너지에 따라 정의된다. 예를 들어, 한 차원의 단진자 시스템에서의 작은 진동의 경우, 라그랑지안은 다음과 같이 표현될 수 있다:

여기서: - $m$은 질량, - $k$는 스프링 상수(또는 힘 상수), - $x$는 작은 변위이다.

이 라그랑지안을 오일러-라그랑주 방정식에 대입하면, 작은 진동에 대한 운동 방정식이 다음과 같이 도출된다:

이 방정식은 단순 조화 진동자의 방정식이며, 작은 진동 이론에서 매우 자주 등장하는 형태이다.

일반화 좌표계에서의 작은 진동

작은 진동 이론은 하나의 입자뿐만 아니라 다입자 시스템에도 확장될 수 있으며, 이러한 경우 일반화 좌표계를 사용하여 더 복잡한 진동 운동을 다룬다. 다입자 시스템에서 작은 진동은 여러 자유도에서 일어날 수 있으므로, 일반화 좌표 $q_i$를 사용하여 시스템의 모든 진동을 나타낸다. 시스템의 라그랑지안은 이러한 일반화 좌표와 속도를 이용해 다음과 같은 형태로 표현된다:

여기서: - $m_{ij}$는 $i$번째 및 $j$번째 일반화 좌표 간의 관성 텐서를 나타낸다. - $k_{ij}$는 $i$번째 및 $j$번째 좌표 간의 상호작용을 나타내는 강성 계수이다.

이 라그랑지안은 진동 운동을 하는 다입자 시스템의 운동을 기술하며, 오일러-라그랑주 방정식을 통해 운동 방정식을 얻을 수 있다. 운동 방정식은 일반적으로 다음과 같은 행렬 형태로 주어진다:

여기서: - $\mathbf{M}$는 관성 행렬(질량 행렬), - $\mathbf{K}$는 강성 행렬, - $\mathbf{q}$는 일반화 좌표 벡터이다.

이 방정식은 다자유도 시스템에서 작은 진동의 운동을 설명하며, 이는 고유 주파수와 정상 모드를 계산하는 데 유용하다.

고유 주파수와 정상 모드

작은 진동을 다루는 다자유도 시스템에서 중요한 개념은 고유 주파수와 정상 모드이다. 고유 주파수는 시스템이 특정 모드에서 자유롭게 진동할 때 나타나는 진동 주파수이다. 정상 모드는 시스템의 모든 구성 요소가 특정한 비율로 진동하는 패턴을 나타낸다.

이를 수학적으로 구하려면, 운동 방정식을 푸는 과정에서 고유치 문제(eigenvalue problem)를 해결해야 한다. 위의 행렬 방정식 $\mathbf{M} \ddot{\mathbf{q}} + \mathbf{K} \mathbf{q} = 0$에서 시간 종속 항을 고려하여, 해가 다음과 같은 형태로 주어진다고 가정할 수 있다:

여기서: - $\mathbf{Q}$는 시간에 의존하지 않는 정상 모드 벡터, - $\omega$는 고유 주파수이다.

이를 운동 방정식에 대입하면, 고유치 문제로 변환된다:

이 고유치 방정식을 풀면 고유 주파수 $\omega$와 이에 대응하는 정상 모드 $\mathbf{Q}$를 구할 수 있다. 고유 주파수는 시스템의 자유 진동 주파수를 나타내며, 정상 모드는 시스템이 진동하는 형태를 결정한다.

작은 진동의 에너지

작은 진동에서 시스템의 에너지는 운동 에너지와 위치 에너지를 포함한다. 에너지는 각 정상 모드에서 독립적으로 진동할 때 보존된다. 작은 진동 시스템에서 전체 에너지는 다음과 같이 표현된다:

여기서 $T$는 운동 에너지, $V$는 위치 에너지이다. 각 모드에서 운동 에너지와 위치 에너지는 조화 진동자의 에너지 형태를 따르며, 고유 주파수에 따라 진동하는 에너지 분포를 가진다.

비선형 진동과 라그랑주 역학

작은 진동 이론은 선형 근사에 기반하지만, 시스템이 큰 변위를 가질 때는 비선형 진동을 고려해야 한다. 라그랑주 역학은 이러한 비선형 효과를 다루는 데에도 유용하다.

비선형 시스템에서 라그랑지안은 일반화 좌표에 대한 비선형 항을 포함할 수 있으며, 이러한 항은 시스템의 복잡한 진동 패턴을 설명하는 데 필요하다. 비선형 진동 시스템에서는 고유 주파수와 정상 모드가 시간에 따라 변할 수 있으며, 혼돈 현상(chaos)이 발생할 수 있다. 비선형 진동을 분석하기 위해서는 라그랑지안에 비선형 항을 추가하고, 수치 해석적 방법을 사용하여 방정식을 푸는 방법을 주로 사용한다.

라그랑주 역학과 해석 역학의 확장

라그랑주 역학은 고전역학뿐만 아니라 해석 역학의 여러 분야에 걸쳐 확장될 수 있다. 특히 해밀턴 역학과의 연관성은 라그랑주 역학의 확장성을 보여준다. 해밀턴 역학은 라그랑주 역학에서 얻은 운동 방정식을 운동량과 좌표의 쌍으로 변환하여 다룬다. 이 방법은 양자역학, 통계역학, 그리고 양자장 이론에서 중요한 역할을 한다.

라그랑주 역학은 또한 복잡한 다입자 시스템이나 연속체 역학, 고차원 시스템 등 다양한 물리적 시스템에 적용될 수 있으며, 이를 통해 더 많은 물리적 현상을 이해할 수 있게 한다. 라그랑주 역학의 이러한 확장성 덕분에, 이는 현대 물리학과 공학에서 중요한 이론적 도구로 자리잡고 있다.