임피던스 특성 및 전압/전류 파동

임피던스의 기본 개념

전송선에서 임피던스는 전압과 전류의 관계를 정의하는 중요한 파라미터로, 전송선의 전기적 특성을 결정하는 데 중요한 역할을 한다. 전송선의 임피던스는 일정한 주파수에서 전압과 전류의 비로 정의되며, 다음과 같이 표현된다.

$Z = \frac{V}{I}$

여기서 $Z$ 는 전송선의 임피던스, $V$ 는 전송선의 전압, $I$ 는 전류를 의미한다.

전송선의 임피던스는 종단 부하와 일치하지 않을 때 반사파가 발생할 수 있으며, 이는 전송선의 효율성을 저하시킨다. 따라서 임피던스 정합은 전송선 설계에서 중요한 요소이다.

특성 임피던스 ( $Z_0$ )

전송선의 특성 임피던스는 전송선의 전압과 전류의 고유한 비율로, 전송선의 길이나 종단에 상관없이 일정한 값을 가진다. 전송선의 특성 임피던스는 전송선의 물리적 특성에 의해 결정되며 다음과 같이 정의된다.

$Z_0 = \sqrt{\frac{R + j\omega L}{G + j\omega C}}$

여기서: - $R$ : 전송선의 단위 길이당 저항 ( $\Omega/\text{m}$ ) - $L$ : 전송선의 단위 길이당 인덕턴스 (H/m) - $G$ : 전송선의 단위 길이당 누설 컨덕턴스 (S/m) - $C$ : 전송선의 단위 길이당 정전 용량 (F/m) - $\omega$ : 각 주파수 (rad/s)

특성 임피던스는 전송선의 파라미터 $R$ , $L$ , $G$ , $C$ 에 의해 결정되며, 저손실 전송선의 경우 다음과 같이 단순화된다.

$Z_0 \approx \sqrt{\frac{L}{C}}$

전압 및 전류 파동의 표현

전송선에서 전압과 전류는 파동 형태로 전파되며, 일반적으로 순방향 진행파와 역방향 반사파의 조합으로 표현된다. 전압 파동과 전류 파동을 각각 $V(z)$ 와 $I(z)$ 로 나타낼 때, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$V(z) = V_0^{+} e^{-j\beta z} + V_0^{-} e^{j\beta z}$

$I(z) = \frac{V_0^{+}}{Z_0} e^{-j\beta z} - \frac{V_0^{-}}{Z_0} e^{j\beta z}$

여기서: - $V_0^{+}$ : 순방향 진행 전압 파동의 진폭 - $V_0^{-}$ : 역방향 반사 전압 파동의 진폭 - $\beta$ : 위상 상수 ( $\beta = \frac{2\pi}{\lambda}$ )

순방향 진행파는 $z$ 가 증가함에 따라 감소하며, 반사파는 반대 방향으로 전파된다. 반사파의 존재는 임피던스 불일치로 인한 에너지 반사를 의미하며, 이를 통해 전송선의 상태를 파악할 수 있다.

반사 계수와 전력 전송 효율

전송선의 종단 임피던스 $Z_L$ 가 특성 임피던스 $Z_0$ 와 다를 경우, 전파된 전력의 일부가 반사되며, 이 반사파는 반사 계수 ( $\Gamma$ )로 정의된다.

$\Gamma = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}$

반사 계수 $\Gamma$ 는 복소수로 표현되며, 그 크기는 반사 전력의 비율을 나타낸다. $|\Gamma| = 1$ 일 때, 모든 전력이 반사되고, $|\Gamma| = 0$ 일 때 전력의 손실 없이 완벽한 임피던스 정합이 이루어졌음을 의미한다.

전압 정재파 비 (VSWR)

전송선에서 반사파가 존재하면 전압 정재파가 발생한다. 이는 순방향 진행파와 역방향 반사파의 간섭으로 인해 발생하며, 전압의 최대치와 최소치의 비율로 정의되는 전압 정재파 비 (Voltage Standing Wave Ratio, VSWR)로 나타낼 수 있다.

$\text{VSWR} = \frac{V_{\text{max}}}{V_{\text{min}}} = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|}$

VSWR 값이 1에 가까울수록 임피던스 정합이 잘 이루어진 것이며, 값이 커질수록 반사가 커져 에너지 효율이 떨어지게 된다.

전송선 방정식

전송선에서 전압과 전류의 분포를 설명하기 위해 파동 방정식을 유도할 수 있다. 전송선의 미소 구간 $\Delta z$ 에서 전압과 전류의 관계를 다음과 같이 표현할 수 있다.

전압의 변화를 나타내는 식은 다음과 같다:

$\frac{\partial V(z)}{\partial z} = -(R + j\omega L)I(z)$

전류의 변화를 나타내는 식은 다음과 같다:

$\frac{\partial I(z)}{\partial z} = -(G + j\omega C)V(z)$

이 두 식을 결합하여 전압과 전류에 대한 이차 미분 방정식을 도출할 수 있다.

전압에 대한 전송선 방정식:

$\frac{\partial^2 V(z)}{\partial z^2} = \gamma^2 V(z)$

전류에 대한 전송선 방정식:

$\frac{\partial^2 I(z)}{\partial z^2} = \gamma^2 I(z)$

여기서, 복소수 전달 상수 $\gamma$ 는 다음과 같이 정의된다:

$\gamma = \sqrt{(R + j\omega L)(G + j\omega C)}$

복소수 전달 상수 $\gamma$ 는 감쇠 상수 $\alpha$ 와 위상 상수 $\beta$ 로 분리될 수 있다.

$\gamma = \alpha + j\beta$

여기서: - $\alpha$ : 감쇠 상수 (전송 중 에너지 손실을 나타냄) - $\beta$ : 위상 상수 (파동의 위상 변화를 나타냄)

감쇠 상수와 위상 상수

감쇠 상수 $\alpha$ 는 전송선에서 에너지가 감쇠되는 정도를 설명한다. 이상적인 전송선에서 $R$ 과 $G$ 가 0인 경우, 감쇠 상수는 0이 되며, 이는 에너지 손실이 없음을 의미한다.

위상 상수 $\beta$ 는 전송선의 위상 진행 속도를 결정하는 역할을 한다. 위상 상수와 주파수 간의 관계는 다음과 같다:

$\beta = \frac{2\pi}{\lambda}$

여기서 $\lambda$ 는 파장의 길이를 나타낸다. 위상 상수가 증가할수록 파장은 짧아지며, 주파수에 따라 파동의 전파 특성이 달라진다.

전송선의 전압 및 전류 해석

전송선에서의 전압과 전류는 전송선 방정식의 해를 통해 표현할 수 있다. 복소수 형태로 나타내면, 전압과 전류는 다음과 같이 표현된다:

$V(z) = V_0 e^{-\gamma z} + V_1 e^{\gamma z}$

$I(z) = \frac{V_0}{Z_0} e^{-\gamma z} - \frac{V_1}{Z_0} e^{\gamma z}$

여기서: - $V_0$ : 순방향 진행파의 진폭 - $V_1$ : 역방향 반사파의 진폭

이 식들은 전압과 전류가 모두 순방향과 역방향의 파동으로 구성되어 있음을 보여준다. 전송선의 끝에서 종단 부하 $Z_L$ 에 의해 반사가 발생하면, 전송선의 전압과 전류 분포가 결정된다.

임피던스와 반사파의 관계

전송선의 끝에서 부하 임피던스 $Z_L$ 가 주어졌을 때, 전송선의 전압과 전류는 다음의 경계 조건을 만족해야 한다:

$V(0) = Z_L I(0)$

이를 통해 순방향 진행파와 역방향 반사파의 진폭 관계를 계산할 수 있다. 반사 계수 $\Gamma$ 는 전송선의 입력 임피던스와 특성 임피던스를 비교하는 데 유용하다.

전송선의 임피던스는 길이에 따라 변화하며, 이를 수학적으로 나타내면 다음과 같다:

$Z(z) = Z_0 \frac{1 + \Gamma e^{-2j\beta z}}{1 - \Gamma e^{-2j\beta z}}$

여기서: - $Z(z)$ : 전송선의 위치 $z$ 에서의 임피던스 - $\Gamma$ : 반사 계수

이 식은 반사파가 존재할 때 전송선의 임피던스가 일정하지 않음을 보여준다.

전송선의 입력 임피던스

전송선의 입력 임피던스는 종단에서 반사된 파동과 관계가 있으며, 특정 길이 $l$ 의 전송선이 부하 $Z_L$ 에 연결된 경우 다음과 같이 정의된다:

$Z_{\text{in}} = Z_0 \frac{Z_L + Z_0 \tanh(\gamma l)}{Z_0 + Z_L \tanh(\gamma l)}$

이 식에서: - $Z_{\text{in}}$ : 전송선의 입력 임피던스 - $Z_L$ : 전송선 종단 부하 - $\tanh$ : 쌍곡 탄젠트 함수

입력 임피던스는 전송선의 길이와 주파수에 따라 변화하며, 특히 부하 임피던스가 특성 임피던스와 일치하지 않는 경우 전송선의 입력 임피던스는 복잡한 형태를 나타낸다. 입력 임피던스가 주기적으로 변하는 성질은 공진 및 전송선의 길이 설계에 영향을 미친다.

반사파와 파동 해석

전송선에서 반사파가 발생할 경우, 순방향 진행파와 역방향 반사파가 간섭하여 정재파를 형성한다. 이 정재파는 전압의 최대값과 최소값이 반복적으로 나타나는 패턴을 가지며, 이를 통해 전송선의 반사와 임피던스 불일치를 확인할 수 있다. 정재파의 위치와 패턴은 다음과 같은 반사 계수 식으로 설명된다:

$\Gamma = \frac{V_{\text{reflected}}}{V_{\text{incident}}} = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}$

여기서: - $V_{\text{incident}}$ : 순방향 진행 전압 - $V_{\text{reflected}}$ : 반사된 전압

반사 계수는 실수와 복소수 형태로 나타날 수 있으며, 이는 전송선의 전력 손실이나 전송 효율에 직접적인 영향을 준다. 전송선의 손실이 없는 경우, 반사파는 부하 임피던스와 특성 임피던스의 불일치로 인해 발생하게 된다.

전송 효율과 전력 손실

전송선에서의 전력 손실은 전파되는 파동의 일부가 반사되어 에너지 전달 효율이 떨어지는 현상에서 발생한다. 이를 계산하기 위해 전력 반사 계수 $|S|^2$ 를 사용할 수 있으며, 이는 반사 계수의 크기 제곱에 비례한다.

$|S|^2 = |\Gamma|^2 = \left|\frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}\right|^2$

전력 반사 계수 $|S|^2$ 는 반사된 전력의 비율을 나타내며, 이 값이 0일 때 전송선의 전력 손실이 없음을 의미한다. 반대로 1에 가까울수록 전력의 대부분이 반사된다는 뜻이다.

파동의 위상 속도와 군속도

전송선에서 전파되는 전압 및 전류 파동의 위상 속도 $v_p$ 는 파동이 전파되는 속도로, 다음과 같이 정의된다:

$v_p = \frac{\omega}{\beta} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

여기서: - $\omega$ : 각 주파수 (rad/s) - $\beta$ : 위상 상수 - $L$ : 단위 길이당 인덕턴스 (H/m) - $C$ : 단위 길이당 정전 용량 (F/m)

군속도 $v_g$ 는 파동의 에너지가 전파되는 속도를 의미하며, 특히 변조된 신호나 펄스 형태의 신호 전송에서 중요하다. 군속도는 다음과 같이 정의된다:

$v_g = \frac{d\omega}{d\beta}$

위상 속도와 군속도는 서로 다를 수 있으며, 특히 분산이 발생하는 전송선에서는 두 속도가 상이하게 나타날 수 있다.

전송선의 설계와 임피던스 매칭

전송선 설계에서 중요한 요소는 임피던스 매칭이다. 이는 전송선의 특성 임피던스 $Z_0$ 와 종단 부하 임피던스 $Z_L$ 를 일치시키는 과정으로, 에너지 손실을 최소화하기 위해 필수적이다. 임피던스 매칭이 이루어지면 반사 계수 $\Gamma = 0$ 이 되어, 전송선의 에너지 손실이 최소화된다.

임피던스 매칭을 위해 다양한 기술이 사용될 수 있으며, $\lambda/4$ 변압기, 스텁 튜너, L형 매칭 네트워크 등이 대표적이다. 이러한 매칭 기술은 각기 다른 주파수 대역에서 효율적인 전력 전송을 가능하게 하며, 전송선의 최적 성능을 발휘할 수 있도록 한다.