전자기파의 간섭과 회절 - 소프트웨어 융합

간섭의 원리

전자기파의 간섭은 두 개 이상의 전자기파가 공간에서 겹칠 때 발생하는 현상으로, 이로 인해 특정 위치에서 파의 진폭이 증가하거나 감소하는 효과가 나타난다. 이러한 현상은 파동의 중첩 원리에 의해 설명된다. 중첩 원리에 따르면, 서로 간섭하는 전자기파의 총 전기장 $\mathbf{E}_{\text{total}}$ 과 자기장 $\mathbf{B}_{\text{total}}$ 은 각 파동의 전기장과 자기장의 벡터 합으로 표현된다.

$\mathbf{E}_{\text{total}} = \mathbf{E}_1 + \mathbf{E}_2$

$\mathbf{B}_{\text{total}} = \mathbf{B}_1 + \mathbf{B}_2$

여기서 $\mathbf{E}_1, \mathbf{E}_2$ 는 각 전자기파의 전기장 벡터를 나타내며, $\mathbf{B}_1, \mathbf{B}_2$ 는 자기장 벡터를 나타낸다.

상과 위상차

전자기파의 간섭은 주로 두 파동 간의 위상차에 의해 결정된다. 위상차 $\Delta \phi$ 는 두 파동이 얼마나 동조되어 있는지를 나타내는 값으로, 이 값에 따라 간섭이 보강 간섭과 상쇄 간섭으로 나뉜다.

보강 간섭

두 파동의 위상차 $\Delta \phi$ 가 $2n\pi$ ( $n$ 은 정수)인 경우, 두 파동은 동일한 위상으로 진동하며, 진폭이 더 커진다. 이 현상을 보강 간섭이라고 한다. 보강 간섭에서 총 전기장 $\mathbf{E}_{\text{total}}$ 의 크기는 다음과 같다.

$|\mathbf{E}_{\text{total}}| = |\mathbf{E}_1| + |\mathbf{E}_2|$

상쇄 간섭

반면에, 위상차 $\Delta \phi$ 가 $(2n+1)\pi$ 인 경우, 두 파동은 서로 반대 위상으로 진동하며, 결과적으로 진폭이 감소하거나 완전히 상쇄된다. 이를 상쇄 간섭이라 한다.

$|\mathbf{E}_{\text{total}}| = ||\mathbf{E}_1| - |\mathbf{E}_2||$

회절의 개념

회절은 전자기파가 장애물의 모서리를 넘어가거나 작은 구멍을 통과할 때, 원래의 직진 경로를 벗어나 확산하는 현상이다. 이는 파동의 속성이며, 전자기파뿐만 아니라 소리와 같은 다른 파동에서도 나타난다. 회절의 정도는 파장의 크기와 장애물의 크기에 따라 달라진다. 파장이 장애물의 크기와 비슷하거나 더 큰 경우, 회절 현상이 두드러지게 나타난다.

회절과 파동 방정식

회절 현상은 파동 방정식을 통해 수학적으로 설명할 수 있다. 전자기파의 파동 방정식은 다음과 같다.

$\nabla^2 \mathbf{E} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0$

$\nabla^2 \mathbf{B} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} = 0$

여기서 $\nabla^2$ 는 라플라시안 연산자이고, $c$ 는 빛의 속도를 나타낸다. 회절은 이 방정식의 경계 조건에 의해 영향을 받으며, 전자기파가 경계에서 어떻게 굴절하고 반사되는지에 따라 전파 패턴이 달라지게 된다.

프라운호퍼 회절과 프레넬 회절

회절은 일반적으로 두 가지 상황으로 나뉜다: 프라운호퍼 회절(Fraunhofer Diffraction)과 프레넬 회절(Fresnel Diffraction).

프라운호퍼 회절

프라운호퍼 회절은 장애물이나 슬릿에서 충분히 먼 거리에서 전자기파가 회절할 때 나타나는 현상이다. 이 경우 파면은 평면파로 근사할 수 있어 해석이 상대적으로 간단해진다. 전기장 분포는 슬릿의 구조와 파장에 따라 달라지며, 회절 패턴은 슬릿의 크기와 간격에 크게 의존한다.

$I(\theta) \propto \left( \frac{\sin(\beta)}{\beta} \right)^2, \quad \beta = \frac{\pi d \sin(\theta)}{\lambda}$

여기서 $d$ 는 슬릿의 폭, $\lambda$ 는 파장, $\theta$ 는 관찰각이다.

프레넬 회절

프레넬 회절은 파원이 장애물이나 슬릿에 상대적으로 가까운 경우에 발생하는 회절 현상이다. 이 경우 전자기파의 파면이 구면파의 형태를 가지며, 파면의 곡률이 중요하게 작용한다. 프레넬 회절을 해석하기 위해서는 구면파의 특성을 고려한 보다 복잡한 수학적 접근이 필요하다.

프레넬 회절에서 전기장의 크기 $\mathbf{E}(x, y, z)$ 는 슬릿의 형태와 파동의 초기 위상에 따라 복잡하게 변화한다. 이를 수학적으로 나타내면 다음과 같이 표현할 수 있다.

$\mathbf{E}(x, y, z) = \frac{e^{i k z}}{i \lambda z} \iint \mathbf{E}_0(x', y', 0) e^{\frac{i k}{2z}[(x - x')^2 + (y - y')^2]} dx' dy'$

여기서 $\mathbf{E}_0$ 는 슬릿에서의 초기 전기장 분포, $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ 는 파수, $(x, y)$ 는 관찰 지점의 좌표를 나타낸다. 이 식은 전기장의 회절 패턴을 예측하는 데 사용되며, 복잡한 간섭 효과와 함께 회절 무늬가 나타나는 원리를 설명한다.

홉킨스 적분과 휘트스톤-우드 정리

회절과 관련된 중요한 수학적 도구로 홉킨스 적분(Huygens-Fresnel Integral)이 있다. 이 적분은 각 점을 작은 구형 파원으로 간주하여 전자기파의 회절을 계산하는 방법으로, 다음과 같이 표현된다.

$\mathbf{E}(P) = \frac{A}{i \lambda} \iint_S \mathbf{E}(Q) \frac{e^{ikr}}{r} \cos \theta dS$

여기서 $\mathbf{E}(P)$ 는 관찰 지점 $P$ 에서의 전기장, $\mathbf{E}(Q)$ 는 슬릿에서의 전기장, $r$ 은 파원의 거리, $\theta$ 는 파동의 진행 방향과 경로 사이의 각도이다. 이 적분식은 파동의 진행과 회절을 해석하는 데 유용하며, 특히 프레넬 영역에서의 전기장 분포를 예측하는 데 중요하다.

휘트스톤-우드 정리는 이와 같은 회절 현상을 보다 간단하게 해석할 수 있도록 해주는 원리로, 복잡한 적분 계산을 단순화할 수 있는 방법을 제시한다. 이를 통해 회절 무늬의 주기와 패턴을 보다 직관적으로 이해할 수 있다.

이중 슬릿 실험과 회절 겹침

이중 슬릿 실험은 전자기파의 간섭과 회절 현상을 직접적으로 확인할 수 있는 실험으로, 두 개의 좁은 슬릿을 통과한 전자기파가 간섭하면서 독특한 패턴을 형성한다. 각 슬릿을 통과한 전기장 $\mathbf{E}_1$ 과 $\mathbf{E}_2$ 는 서로 간섭하며, 다음과 같은 전기장 합을 만든다.

$\mathbf{E}_{\text{total}} = \mathbf{E}_1 + \mathbf{E}_2 = E_0 \cos(\omega t - kx) + E_0 \cos(\omega t - kx + \Delta \phi)$

위 식을 변형하면, 다음과 같은 간섭무늬가 형성됨을 알 수 있다.

$I(\theta) \propto 2E_0^2 (1 + \cos(\Delta \phi))$

여기서 $\Delta \phi$ 는 두 슬릿 간의 위상차이다. 이 결과는 슬릿 간격과 파장에 따라 변화하며, 회절과 간섭이 상호작용하여 복잡한 패턴이 나타난다.

회절 겹침과 전자기파의 특성

회절 겹침(Diffraction Grating)은 수많은 슬릿을 가진 구조물로, 각 슬릿에서 회절된 전자기파가 겹쳐지며 매우 날카로운 간섭무늬가 형성된다. 이 현상은 프라운호퍼 회절의 연장선상에서 이해될 수 있으며, 파장의 정밀한 측정이나 스펙트럼 분석에 활용된다. 회절 겹침에서 나타나는 주요 결과는 회절 각도 $\theta$ 와 슬릿 간격 $d$ 의 관계식으로 나타난다.

$d \sin \theta = m \lambda, \quad (m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$

이 식은 $m$ 이 회절 차수(order)를 나타내며, 회절 각도와 파장 사이의 직접적인 관계를 설명한다. 회절 겹침을 사용하면 서로 다른 파장을 구별할 수 있으며, 이러한 특성은 스펙트럼 분석 장비에서 널리 활용된다.