구형 콘덴서

구형 콘덴서는 두 개의 동심 구 형태의 전도체로 구성되어 있다. 내부 전극의 반지름을 R_1, 외부 전극의 반지름을 R_2라 할 때, 구형 콘덴서의 전기용량을 유도하는 과정은 다음과 같다.

전기장 계산

내부 구 전극의 반지름이 R_1, 외부 구 전극의 반지름이 R_2인 경우, 내부 구 전극에 전하 Q가 존재한다고 가정하자. 이때 전기장은 구 대칭성을 가지며, 가우스 법칙을 이용하여 전기장 \mathbf{E}를 구할 수 있다. 가우스 법칙에 따르면:

\oint_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q}{\epsilon_0}

여기서 S는 반지름이 r인 구면을 의미한다. 이 구면에서의 전기장은 모든 방향으로 균일하므로 다음과 같이 정리할 수 있다:

\mathbf{E} \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0}

따라서, 구의 반지름 r에서의 전기장은:

\mathbf{E} = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}

전위차 계산

전위차 V는 내부 구 전극과 외부 구 전극 사이의 전기장을 따라 적분하여 계산할 수 있다:

V = - \int_{R_1}^{R_2} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{r} = - \int_{R_1}^{R_2} \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2} dr

이 적분을 계산하면:

V = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)

전기용량 계산

전기용량 C는 전하 Q와 전위차 V의 비로 정의된다:

C = \frac{Q}{V} = \frac{4\pi \epsilon_0}{\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}}

이를 간단히 하면:

C = \frac{4\pi \epsilon_0 R_1 R_2}{R_2 - R_1}

원통형 콘덴서

원통형 콘덴서는 두 개의 동심 원통형 전도체로 구성되어 있다. 내부 원통의 반지름을 R_1, 외부 원통의 반지름을 R_2, 그리고 원통의 길이를 L이라고 하자. 내부 원통에 전하 Q가 균일하게 분포되어 있을 때, 원통형 콘덴서의 전기용량을 유도하는 과정은 다음과 같다.

전기장 계산

가우스 법칙을 사용하여 반지름이 r인 위치에서의 전기장 \mathbf{E}를 계산하면:

\oint_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q}{\epsilon_0}

여기서 S는 길이 L이고 반지름이 r인 원통 표면이다. 이 경우 전기장은 원통 표면에 수직이며 균일하므로:

\mathbf{E} \cdot 2\pi r L = \frac{Q}{\epsilon_0}

따라서, 전기장은:

\mathbf{E} = \frac{Q}{2\pi \epsilon_0 r L}

전위차 계산

전위차 V는 내부 원통과 외부 원통 사이의 전기장을 따라 적분하여 계산할 수 있다:

V = - \int_{R_1}^{R_2} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{r} = - \int_{R_1}^{R_2} \frac{Q}{2\pi \epsilon_0 r L} dr

이 적분을 계산하면:

V = \frac{Q}{2\pi \epsilon_0 L} \ln{\frac{R_2}{R_1}}

전기용량 계산

전기용량 C는 다음과 같이 표현된다:

C = \frac{Q}{V} = \frac{2\pi \epsilon_0 L}{\ln{\frac{R_2}{R_1}}}

유전체가 삽입된 구형 및 원통형 콘덴서

구형 및 원통형 콘덴서에 유전체가 삽입되었을 때의 전기용량 계산은 조금 더 복잡해진다. 유전체는 물질의 유전율 \epsilon에 따라 전기장에 대한 반응이 달라지기 때문에, 유전체가 없는 경우와 비교했을 때 전기용량이 증가하는 경향이 있다.

유전체가 있는 구형 콘덴서

유전체가 있는 경우, 유전율 \epsilon_0 대신 유전율 \epsilon을 사용해야 한다. 예를 들어, 내부 구 전극과 외부 구 전극 사이에 유전체가 채워져 있다고 가정하면, 전기용량은 다음과 같이 수정된다:

C = \frac{4\pi \epsilon R_1 R_2}{R_2 - R_1}

여기서 \epsilon = \epsilon_r \epsilon_0이고, \epsilon_r은 유전체의 상대 유전율이다. 상대 유전율이 1보다 큰 경우, 유전체가 전기장을 약화시켜 전기용량을 증가시키는 역할을 한다.

부분 유전체를 포함한 구형 콘덴서

유전체가 콘덴서의 전체 공간을 채우지 않고 부분적으로만 차지하고 있는 경우도 있다. 예를 들어, 반지름이 R_1에서 R_m까지는 유전율 \epsilon_1, 그리고 R_m에서 R_2까지는 유전율 \epsilon_2인 경우를 생각할 수 있다. 이 경우에는 전위차를 각 부분에서 적분한 후 합산하여 전체 전위차를 구해야 한다.

먼저, 각 영역의 전기장 \mathbf{E_1}과 \mathbf{E_2}는 다음과 같다:

\mathbf{E_1} = \frac{Q}{4\pi \epsilon_1 r^2}, \quad R_1 \leq r \leq R_m
\mathbf{E_2} = \frac{Q}{4\pi \epsilon_2 r^2}, \quad R_m \leq r \leq R_2

전체 전위차 V는 다음과 같이 계산된다:

V = \int_{R_1}^{R_m} \frac{Q}{4\pi \epsilon_1 r^2} dr + \int_{R_m}^{R_2} \frac{Q}{4\pi \epsilon_2 r^2} dr

이를 계산하면:

V = \frac{Q}{4\pi} \left( \frac{1}{\epsilon_1} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_m} \right) + \frac{1}{\epsilon_2} \left( \frac{1}{R_m} - \frac{1}{R_2} \right) \right)

따라서, 전기용량은 다음과 같이 주어진다:

C = \frac{Q}{V} = \frac{4\pi}{\frac{1}{\epsilon_1} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_m} \right) + \frac{1}{\epsilon_2} \left( \frac{1}{R_m} - \frac{1}{R_2} \right)}

유전체가 있는 원통형 콘덴서

유전체가 내부 원통과 외부 원통 사이에 완전히 채워져 있다고 가정하면, 전기용량은 다음과 같이 수정된다:

C = \frac{2\pi \epsilon L}{\ln{\frac{R_2}{R_1}}}

이때 \epsilon = \epsilon_r \epsilon_0이다.

부분 유전체를 포함한 원통형 콘덴서

원통형 콘덴서에서 반지름 R_1에서 R_m까지는 유전율 \epsilon_1을 가지는 유전체가 존재하고, R_m에서 R_2까지는 유전율 \epsilon_2를 가지는 유전체가 존재한다고 가정할 때, 전기장을 각 영역에서 적분하여 전위차를 구할 수 있다:

V = \int_{R_1}^{R_m} \frac{Q}{2\pi \epsilon_1 r L} dr + \int_{R_m}^{R_2} \frac{Q}{2\pi \epsilon_2 r L} dr

이를 계산하면:

V = \frac{Q}{2\pi L} \left( \frac{\ln{\frac{R_m}{R_1}}}{\epsilon_1} + \frac{\ln{\frac{R_2}{R_m}}}{\epsilon_2} \right)

따라서 전기용량은:

C = \frac{Q}{V} = \frac{2\pi L}{\frac{\ln{\frac{R_m}{R_1}}}{\epsilon_1} + \frac{\ln{\frac{R_2}{R_m}}}{\epsilon_2}}