연속체 전하 분포와 전기장 계산

연속체 전하 분포의 정의와 기본 개념

연속체 전하 분포는 전하가 공간에 연속적으로 분포되어 있을 때 이를 수학적으로 기술하는 방식이다. 점 전하와 달리 연속체 전하 분포는 전하가 특정 부피, 면적 또는 선을 따라 분포해 있어, 전기장 계산에서 공간적 분포를 고려해야 한다. 연속체 전하 분포는 주로 부피 전하 밀도 $\rho(\mathbf{r})$ , 면 전하 밀도 $\sigma(\mathbf{r})$ , 선 전하 밀도 $\lambda(\mathbf{r})$ 로 나누어 설명할 수 있다.

부피 전하 밀도 $\rho(\mathbf{r})$ : 전하가 특정 부피에 분포할 때, 단위 부피당 전하의 양을 나타낸다. 예를 들어, 임의의 부피 $V$ 내에 존재하는 전체 전하는 다음과 같이 정의된다.

$Q = \int_V \rho(\mathbf{r}) \, dV$

면 전하 밀도 $\sigma(\mathbf{r})$ : 전하가 특정 면적에 걸쳐 분포할 때, 단위 면적당 전하의 양을 나타낸다. 임의의 면적 $A$ 에 대한 전체 전하는 다음과 같이 표현된다.

$Q = \int_A \sigma(\mathbf{r}) \, dA$

선 전하 밀도 $\lambda(\mathbf{r})$ : 전하가 선을 따라 분포할 때, 단위 길이당 전하의 양을 나타내며, 임의의 길이 $L$ 에 대한 전체 전하는 다음과 같이 주어진다.

$Q = \int_L \lambda(\mathbf{r}) \, dL$

전기장의 계산

전기장을 계산하기 위해 연속체 전하 분포를 이용하는 경우, 전기장 $\mathbf{E}$ 는 전기적 원리를 바탕으로 모든 전하 분포에서 발생하는 전기장을 합하여 구한다. 이를 위해 각 전하 분포에 따른 전기장 기여도를 적분하여 합산하는 과정이 필요하다.

예를 들어, 부피 전하 밀도를 통한 전기장 계산은 다음과 같은 형태로 주어진다. 임의의 점 $\mathbf{r}$ 에서의 전기장 $\mathbf{E}(\mathbf{r})$ 는 다음과 같다.

$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_V \frac{\rho(\mathbf{r}') (\mathbf{r} - \mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \, dV'$

여기서 $\mathbf{r}'$ 는 부피 $V$ 내에서 전하가 위치한 임의의 위치 벡터이고, $\epsilon_0$ 는 진공의 유전율이다.

면적 및 선 전하 밀도의 전기장 계산

면적 및 선 전하 밀도에 대해서도 비슷한 방법으로 전기장을 계산할 수 있다. 면 전하 밀도를 통한 전기장은 다음과 같다.

$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_A \frac{\sigma(\mathbf{r}') (\mathbf{r} - \mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \, dA'$

선 전하 밀도에 대한 전기장은 다음과 같이 표현된다.

$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_L \frac{\lambda(\mathbf{r}') (\mathbf{r} - \mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \, dL'$

연속체 전하 분포에서의 쿨롱 법칙 적용

연속체 전하 분포에서 쿨롱 법칙을 이용하여 각 전하 요소가 생성하는 전기장을 점마다 계산한다. 쿨롱 법칙에 따르면, 두 점 전하 사이의 힘은 거리의 제곱에 반비례한다. 이를 연속체 전하 분포에 적용하면, 각 미소 전하 요소가 특정 위치에 미치는 전기장을 계산하는 형태로 확장된다.

쿨롱 법칙을 이용해 연속체 전하 분포에서 특정 위치의 전기장을 계산할 수 있으며, 이를 통해 연속체 전하 분포에 의한 총 전기장을 다음과 같이 표현한다.

$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r}') (\mathbf{r} - \mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \, dV'$

연속체 전하 분포와 가우스 법칙의 적용

연속체 전하 분포에서 전기장을 계산하는 방법으로 가우스 법칙을 사용할 수 있다. 가우스 법칙은 대칭적인 전하 분포가 있을 때 전기장을 더욱 효율적으로 계산할 수 있는 도구를 제공한다. 가우스 법칙은 전기장의 플럭스와 전하 밀도 사이의 관계를 정의하며, 다음과 같은 수학적 표현을 가진다.

$\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}$

여기서, - $\oint_S$ 는 닫힌 곡면 $S$ 에 대한 표면 적분을 나타내며, - $\mathbf{E}$ 는 전기장의 벡터, - $d\mathbf{A}$ 는 면 요소 벡터, - $Q_{\text{enc}}$ 는 닫힌 표면 $S$ 내부에 있는 총 전하량이다.

가우스 법칙은 특정 대칭성을 가지는 전하 분포(구대칭, 원통 대칭, 평면 대칭)에서 전기장을 쉽게 계산할 수 있도록 해준다.

구대칭 전하 분포에서의 전기장 계산

구대칭을 가진 전하 분포(예: 구 형태로 분포된 전하)에서는 전기장이 반지름 방향으로 대칭성을 가지므로, 가우스 법칙을 통해 쉽게 계산할 수 있다. 반지름 $r$ 의 거리에서의 전기장은 다음과 같은 식으로 구할 수 있다.

구 내부에서의 전기장 (전하가 중심에 밀집되지 않고 구 전체에 분포된 경우):

$\mathbf{E}(r) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{Q_{\text{enc}}(r)}{r^2}$

여기서 $Q_{\text{enc}}(r)$ 는 반지름 $r$ 내에 존재하는 전하의 양으로, $\rho(r)$ 가 균일한 부피 전하 밀도일 때는 다음과 같이 표현된다.

$Q_{\text{enc}}(r) = \int_0^r \rho(r') \cdot 4 \pi r'^2 \, dr'$

구 외부에서의 전기장: 구 바깥에서의 전기장은 마치 모든 전하가 구의 중심에 모여 있는 점 전하로 간주할 수 있으며, 다음과 같이 주어진다.

$\mathbf{E}(r) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{Q_{\text{total}}}{r^2}$

여기서 $Q_{\text{total}}$ 은 구 전체에 분포된 전하의 양이다.

원통 대칭 전하 분포에서의 전기장 계산

원통 대칭을 갖는 전하 분포에서는 가우스 법칙을 이용하여 원통형 전하 분포에 의해 발생하는 전기장을 계산할 수 있다. 원통 대칭에서 전기장은 원통의 반지름 방향으로만 존재하며, 가우스 표면으로 원통형 표면을 고려하여 계산한다.

원통 내부에서의 전기장: 전하가 원통의 내부에 균일하게 분포된 경우, 반지름 $r$ 의 거리에서 전기장은 다음과 같이 구할 수 있다.

$\mathbf{E}(r) = \frac{\lambda \cdot r}{2 \pi \epsilon_0 \cdot R^2}$

여기서 $\lambda$ 는 선 전하 밀도이며, $R$ 은 원통의 반지름이다.

원통 외부에서의 전기장: 원통 바깥에서의 전기장은 모든 전하가 원통의 중심 축을 따라 분포된 선 전하로 간주할 수 있다. 따라서 원통 바깥에서의 전기장은 다음과 같다.

$\mathbf{E}(r) = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 \cdot r}$

이와 같이 구대칭과 원통 대칭을 활용하면 가우스 법칙을 이용하여 연속체 전하 분포에서 전기장을 간단하게 계산할 수 있다. 다음으로 평면 대칭 전하 분포의 전기장 계산을 살펴보자.

평면 대칭 전하 분포에서의 전기장 계산

평면 대칭을 갖는 전하 분포에서는, 전하가 무한히 큰 평면에 일정한 밀도로 분포되어 있다고 가정한다. 평면 대칭 전하 분포에서는 전기장이 평면에 수직인 방향으로만 존재하며, 이는 가우스 법칙을 이용해 더욱 간단히 계산할 수 있다.

단일 평면 전하의 전기장
무한히 큰 단일 평면에 면 전하 밀도 $\sigma$ 로 전하가 분포되어 있을 때, 평면의 어느 한쪽에 대한 전기장은 다음과 같다.

$\mathbf{E} = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}$

여기서 전기장은 평면에 수직 방향으로 균일하게 분포하며, 전하 밀도 $\sigma$ 의 값에 따라 크기가 결정된다. 이는 전기장의 크기가 거리와 무관함을 의미한다.

평행 평면 전하 분포
두 개의 무한히 큰 평행 평면이 서로 다른 부호의 전하를 가지며 면 전하 밀도 $\sigma$ 로 분포된 경우, 두 평면 사이의 전기장은 두 전하 밀도의 기여도를 합산하여 계산할 수 있다. 두 평면 사이에서의 전기장은 다음과 같이 계산된다.

$\mathbf{E} = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$

두 평행 평면 사이에서 전기장의 방향은 양전하에서 음전하로 향하게 되며, 그 크기는 거리에 관계없이 일정하다. 두 평면 밖에서는 전기장이 상쇄되어 0이 된다.

연속체 전하 분포의 전기장 계산 요약

연속체 전하 분포에 의한 전기장 계산은 대칭적인 전하 분포를 고려할 때 가우스 법칙을 활용함으로써 간단히 이루어질 수 있다. 대칭성에 따라 구대칭, 원통 대칭, 평면 대칭으로 나누어 전기장을 계산할 수 있으며, 각 대칭성에 따라 전기장의 형태와 크기가 달라진다.

다음으로, 연속체 전하 분포에서의 전기장과 전위의 관계를 논의하겠다.