물리 엔진은 시뮬레이션에서 물체 간의 충돌, 중력, 마찰 등의 물리적 현상을 정확히 계산하는데 사용된다. 그러나 실시간 시뮬레이션에서는 물리 엔진이 매우 빠르게 작동해야 하므로 정확성과 속도 사이에 트레이드오프가 발생한다. 이 장에서는 물리 엔진의 속도와 정확성에 대해 살펴본다.

시간 스텝

물리 엔진에서 가장 중요한 요소 중 하나는 시간 스텝(time step)이다. 시간 스텝은 시뮬레이션에서 시간의 단위를 의미하며, 이를 통해 물체의 위치와 속도를 업데이트한다. 짧은 시간 스텝은 높은 정확성을 제공하지만 계산량이 많아진다. 반면 긴 시간 스텝은 계산 속도를 높여주지만 정확성이 떨어질 수 있다.

시간 스텝을 $\Delta t$로 나타내면, 물리 엔진에서 물체의 상태 업데이트는 다음과 같다:

여기서 $\mathbf{x}(t)$는 시간 $t$에서의 위치, $\mathbf{v}(t)$는 시간 $t$에서의 속도, $\mathbf{a}(t)$는 시간 $t$에서의 가속도이다.

차분 방정식

물리 엔진에서는 주로 차분 방정식을 사용하여 상태를 업데이트한다. 이는 미분 방정식을 근사적으로 풀기 위함이다. 가장 단순한 방법은 오일러 방법(Euler method)이다. 그러나 오일러 방법은 시간이 지남에 따라 오차가 누적될 수 있다.

오일러 방법으로 위치와 속도를 업데이트하는 공식을 보면:

보다 높은 정확성을 원할 경우, 룽게-쿠타 방법(Runge-Kutta method) 같은 고차수 방법을 사용할 수 있다.

충돌 감지와 해결

충돌 감지는 물리 엔진의 중요한 부분이다. 물리적으로 현실적인 충돌을 시뮬레이션하기 위해서는 빠르고 정확하게 충돌을 감지하고 해결해야 한다. 충돌 감지 알고리즘은 다음과 같은 것이 있다:

• 축분리 정리(Separating Axis Theorem, SAT)
• 바운딩 볼륨 계층(Bounding Volume Hierarchies, BVH)

충돌 해결에서는 반발 계수(coefficient of restitution)를 사용하여 두 물체가 충돌 후 어떻게 반응할지를 결정한다. 반발 계수 $e$는 두 물체의 실제 속도를 업데이트하는데 사용된다:

여기서 $m_1$과 $m_2$는 물체 1과 물체 2의 질량이다.

성능 최적화

실시간 시스템에서는 최적화가 매우 중요하다. 물리 엔진의 성능을 최적화하는 방법은 여러 가지가 있다:

• 공간 분할(Spatial Partitioning): Octree, Quadtree, KD-Tree 같은 자료구조를 사용하여 물체 간의 충돌 감지 시간을 줄인다.
• 병렬 처리(Parallel Processing): 여러 물체의 충돌이나 상태 업데이트를 병렬로 처리하여 성능을 향상시킨다.
• 단순화 모델(Simplified Models): 물체의 상세한 물리 특성을 간략하게 모델링하여 계산량을 줄인다.

좀 더 심화된 내용으로 이동하기 전에 이 표를 통해 개념들을 요약한다:

개념	설명
시간 스텝 (Time Step)	시뮬레이션에서 시간의 단위
차분 방정식 (Difference Equation)	미분 방정식을 근사적으로 풀기 위한 방법
오일러 방법 (Euler Method)	차분 방정식의 기본적 방법
룽게-쿠타 방법 (Runge-Kutta Method)	높은 정확성을 제공하는 고차수 차분 방법
충돌 감지 (Collision Detection)	물체 간의 충돌을 파악하는 알고리즘
축분리 정리 (Separating Axis Theorem, SAT)	충돌 감지 알고리즘 중 하나
바운딩 볼륨 계층 (Bounding Volume Hierarchies, BVH)	공간 분할을 사용하는 충돌 감지 방법
반발 계수 (Coefficient of Restitution)	충돌 후 물체 속도를 결정하는 계수
공간 분할 (Spatial Partitioning)	충돌 감지 성능을 최적화하기 위한 방법
병렬 처리 (Parallel Processing)	여러 작업을 동시에 처리하여 성능을 향상시키는 방법
단순화 모델 (Simplified Models)	계산량을 줄이기 위해 물체의 물리 특성을 간략화하는 방법

이제 물리 엔진의 응용 부분으로 넘어가 보자.