연체(Soft Body) 시뮬레이션

연체 충돌 처리

연체 물체 시뮬레이션에서 충돌 처리는 중요한 역할을 한다. 연체 물체는 변형 가능하므로, 이를 다루는 충돌 처리는 강체 충돌 처리와는 다르다. 충돌 처리 과정은 연체 물체의 물리적 특성과 형태를 유지하면서도 충돌 후의 동작을 정확하게 시뮬레이션할 수 있어야 한다.

충돌 감지

연체 물체와 다른 객체(고정된 장애물, 다른 연체 물체 등) 간의 충돌을 정확히 감지하는 것이 첫 번째 단계이다. 이를 위해 다양한 방법이 사용될 수 있다.

볼륨 기반 접근법

볼륨 기반 접근법은 연체 물체를 둘러싸는 단순한 형상(예: bounding box, sphere 등)을 사용하여 초기 충돌 검사를 수행한다. 예를 들어, axis-aligned bounding box (AABB)를 사용하면 각 물체의 최소 및 최대 좌표를 비교하여 충돌 가능성을 빠르게 평가할 수 있다.

피팅된 볼륨의 단순함 때문에 매우 효율적이지만, 정확도가 떨어질 수 있다. 그러므로 초기 필터링 단계로 활용되고, 세부적인 충돌 검사는 다른 방법이 사용되는 경우가 많다.

메쉬 기반 접근법

메쉬 기반 접근법은 충돌 가능성 있는 볼륨을 가진 영역의 모든 하위 요소들(예: 삼각형 또는 사각형)을 검사하여 보다 정확한 충돌 감지를 수행한다. 이 방법은 연체 물체의 실제 변형을 반영할 수 있다.

삼각형 교차 검사(Triangle-Triangle Intersection Test): 이는 두 삼각형이 서로 교차하는지 여부를 검사하는 세부적인 방법이다.

세 삼각형의 꼭짓점들을 $\mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j, \mathbf{v}_k$ 라고 할 때, 두 삼각형의 면 방정식을 사용하여 교차 여부를 계산할 수 있다.

가장자리 교차 검사(Edge Intersection Test): 각 삼각형의 가장자리가 다른 삼각형의 면과 교차하는지 확인한다. 이 방법은 두 메쉬가 정확히 어떤 지점에서 충돌하는지를 더욱 세밀하게 파악하는데 유용하다.

충돌 반응

충돌 감지 후에는 충돌에 따른 반응을 계산하고 물체를 적절히 업데이트해야 한다.

물리적 모델

연체 물체의 충돌 반응 계산을 위해 다양한 물리적 모델이 사용된다. 대표적인 모델로는 스프링-질량 시스템(Spring-Mass Systems)이나 유한 요소 법(Finite Element Method, FEM)이 있다.

스프링-질량 시스템(Spring-Mass System): 물체를 질량-질점 시스템으로 모델링하고, 질점 간의 스프링을 배치하여 물체의 변형과 충돌을 표현한다.

질점 $\mathbf{p}_i$ 와 $\mathbf{p}_j$ 사이의 거리 $\mathbf{d}_{ij} = \mathbf{p}_j - \mathbf{p}_i$ 가 초기 거리 $\mathbf{d}_{ij}^0$ 와 다를 때, 스프링 힘 $\mathbf{f}_{ij}$ 는 후크의 법칙을 따른다:

$\mathbf{f}_{ij} = k_{ij} (\|\mathbf{d}_{ij}\| - \|\mathbf{d}_{ij}^0\|) \frac{\mathbf{d}_{ij}}{\|\mathbf{d}_{ij}\|}$

여기서 $k_{ij}$ 는 스프링 상수이다.

유한 요소 법(FEM): 다차원 탄성 물체의 변형을 수치적으로 해석하는 방법으로, 매우 정교한 시뮬레이션이 가능한다.

충돌 안정화

충돌로 인해 발생하는 불안정성을 해결하기 위해 안정화 기법을 적용할 수 있다.

포지션 베이스 다이나믹스(Position Based Dynamics): 충돌 후 위치 제약 조건을 통해 스프링 힘이나 장애물 침투를 해결하여 물체의 변형을 처리한다.

새로운 위치 $\mathbf{p}_i'$ 는 충돌 조건을 만족하도록 다음과 같이 수정된다:

$\mathbf{p}_i' = \mathbf{p}_i + \mathbf{w}_i \mathbf{\Delta}$

여기서 $\mathbf{w}_i$ 는 위치 보정 벡터이다.

에너지 기반 접근(Energy-Based Approaches): 충돌 시 발생하는 에너지 변화를 기반으로 시스템의 총 에너지가 일정하게 유지되도록 조정한다.

마찰과 점성

연체 물체는 자신의 변형뿐 아니라 표면 마찰과 점성도 고려해야 한다. 이를 위해 모델에 마찰력과 점성력을 추가로 포함할 수 있다.

마찰력(Friction Force): 연체 물체와 다른 객체 간의 마찰은 탄성 복원력과 함께 작용하여 안정한 충돌 반응을 만든다. 마찰 모델로는 콜롬 마찰(Coulomb Friction) 모델이 일반적이다. 마찰력 $\mathbf{f}_{f}$ 는 접촉면에 수직인 힘 $\mathbf{n}$ 와 마찰 계수 $\mu$ 에 따라 계산된다:

$\mathbf{f}_{f} = - \mu |\mathbf{f}_{n}| \frac{\mathbf{v}_{t}}{|\mathbf{v}_{t}|}$

여기서 $\mathbf{v}_{t}$ 는 접촉면을 따라 평행한 속도 성분이다.

점성력(Viscous Force): 연체 물체가 내부에서 변형할 때 발생하는 점성 저항을 모델로, 뉴턴 점성 모델(Newtonian Viscosity Model)을 흔히 사용한다. 점성력 $\mathbf{f}_{v}$ 는 속도 $\mathbf{v}$ 와 점성 계수 $\eta$ 에 비례한다:

$\mathbf{f}_{v} = - \eta \mathbf{v}$

충돌 후 처리

충돌 후에는 시스템의 상태를 업데이트하고 적절한 형태의 물리적 안정성을 유지해야 한다. 이를 위해 사용하는 방법들 중 일부는 다음과 같다.

충격 이후 상태 재설정(Post-Impact Resetting): 충돌 발생 지점을 기준으로 물체의 속도와 위치를 다시 설정하여 불필요한 진동이나 탄성 과출을 방지한다.
하위 시간 스텝(Sub-Stepping): 큰 변형이 예상되는 상황에서 시간 스텝을 줄여서 시뮬레이션의 정밀도를 높이고, 충돌 처리 정확성을 보장한다.
역역학 역추적 (Rewind and Refine): 큰 충돌 발생 후, 작고 정교한 시간 스텝으로 시뮬레이션을 되돌려 충돌 순간을 다시 계산하여 물리적 충돌 처리를 개선한다.

연체 물체 시뮬레이션은 다양한 응용 분야에서 중요한 역할을 하며, 충돌 처리와 같이 많은 기술적 도전이 포함된다. 정확성과 효율성을 높이기 위한 다양한 방법이 존재하며, 이를 적절히 조합하여 실시간 응용에서도 실용적인 솔루션을 구축할 수 있다. 이를 통해 더욱 생생하고 현실적인 시뮬레이션 결과를 얻을 수 있으며, 다양한 엔지니어링 및 엔터테인먼트 응용 분야에 도움이 된다.