불변 변환 모양인 강체의 운동을 정확히 시뮬레이션하기 위해서는 질량 중심과 관성 모멘트를 깊이 있게 이해해야 한다. 이들은 강체의 물리적 특성으로, 시스템의 동역학을 이해하고 예측하는 데 필수적이다.

질량 중심

질량 중심(center of mass)은 물체의 질량이 고르게 분포된 가상의 점이다. 이 점이 물체의 평균 위치 역할을 하며, 물체의 전반적인 움직임을 결정하는 중요한 인자이다.

정의

질량 중심은 다음과 같이 정의할 수 있다:

\mathbf{r}_{\text{cm}} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_i \mathbf{r}_i

여기서: - M은 물체의 총 질량이다. - m_i는 각 질점 i의 질량이다. - \mathbf{r}_i는 각 질점 i의 위치 벡터이다. - n은 총 질점의 개수이다.

또는 연속적인 질량 분포를 가지는 경우, 적분으로 나타낼 수 있다:

\mathbf{r}_{\text{cm}} = \frac{1}{M} \int_{V} \mathbf{r} \, \mathrm{d}m

여기서 V는 물체의 부피이다.

관성 모멘트

관성 모멘트(moment of inertia)는 물체의 질량 분포가 회전 운동에 미치는 영향을 측정하는 물리량이다. 이는 축을 기준으로 물체가 회전할 때 그 저항 정도를 나타낸다.

정의

관성 모멘트는 물체의 각 질점에 대해 다음과 같이 정의된다:

I = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2

여기서: - I는 관성 모멘트이다. - m_i는 각 질점 i의 질량이다. - r_i는 각 질점 i의 회전 축으로부터의 거리이다.

연속적인 질량 분포를 가지는 경우, 적분으로 정의된다:

I = \int_{V} r^2 \, \mathrm{d}m

관성 텐서

3차원 공간에서 관성 모멘트는 스칼라 값이 아닌, 3 \times 3 대칭 행렬인 관성 텐서로 표현된다. 관성 텐서 \mathbf{I}의 성분은 다음과 같이 정의된다:

\mathbf{I} = \begin{bmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{bmatrix}

각 성분은 다음과 같다:

I_{xx} = \int_{V} (y^2 + z^2) \, \mathrm{d}m, \quad I_{yy} = \int_{V} (x^2 + z^2) \, \mathrm{d}m, \quad I_{zz} = \int_{V} (x^2 + y^2) \, \mathrm{d}m

그리고 비대각 성분은 다음과 같이 정의된다:

I_{xy} = I_{yx} = -\int_{V} xy \, \mathrm{d}m, \quad I_{xz} = I_{zx} = -\int_{V} xz \, \mathrm{d}m, \quad I_{yz} = I_{zy} = -\int_{V} yz \, \mathrm{d}m

운동 방정식

강체의 운동은 뉴턴의 운동 방정식과 오일러의 회전 방정식에 의해 서술된다.

뉴턴의 운동 방정식

질량 중심에 대한 운동 방정식은 다음과 같다:

\mathbf{F} = M \mathbf{a}_{\text{cm}}

여기서 \mathbf{F}는 강체에 가해진 외력들의 합이고, \mathbf{a}_{\text{cm}}는 질량 중심의 가속도이다.

오일러의 회전 방정식

강체의 회전에 대한 운동은 오일러의 회전 방정식으로 기술된다:

\mathbf{T} = \mathbf{I} \dot{\boldsymbol{\omega}} + \boldsymbol{\omega} \times (\mathbf{I} \boldsymbol{\omega})

여기서: - \mathbf{T}는 총 외부 토크이다. - \boldsymbol{\omega}는 각속도 벡터이다. - \dot{\boldsymbol{\omega}}는 각가속도 벡터이다.

이렇게 질량 중심과 관성 모멘트를 이해하면 강체의 운동을 보다 정확하게 시뮬레이션할 수 있다.