강체(Rigid Body) 시뮬레이션

강체 운동 방정식

강체 운동 방정식은 강체의 위치, 속도, 그리고 방향을 시간에 따라 어떻게 변화하는지를 설명하는 방정식이다.

위치 및 속도

강체의 선형 운동 방정식은 뉴턴의 운동 법칙에 기반한다.

선형 운동 방정식: 강체의 질량 중심 위치 $\mathbf{x}(t)$ 는 시간 $t$ 에 따라 다음과 같이 변화한다.

$\mathbf{F} = m \mathbf{a}$

여기서 $\mathbf{F}$ 는 강체에 작용하는 총 외력 벡터, $m$ 은 강체의 질량, $\mathbf{a}$ 는 선형 가속도 벡터이다.

선형 속도 및 가속도: 속도 $\mathbf{v}(t)$ 와 위치 $\mathbf{x}(t)$ 는 다음 관계를 만족한다.

$\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{x}}{dt}$

$\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt}$

각속도 및 각가속도

강체의 회전 운동을 설명하기 위해서는 각속도 및 각가속도 개념이 필요하다.

각운동 방정식: 각운동 방정식은 다음과 같이 표현된다.

$\mathbf{\tau} = I \mathbf{\alpha}$

여기서 $\mathbf{\tau}$ 는 강체에 작용하는 총 외력 토크 벡터, $I$ 는 관성 모멘트 텐서, $\mathbf{\alpha}$ 는 각가속도 벡터이다.

각속도 및 각가속도: 각속도 $\mathbf{\omega}(t)$ 는 다음 관계를 만족한다.

$\mathbf{\alpha} = \frac{d\mathbf{\omega}}{dt}$

관성 모멘트 텐서

강체의 관성을 나타내는 관성 모멘트 텐서는 질량 분포에 따라 다음과 같이 정의된다.

$I = \int_{\text{Volume}} \rho(\mathbf{r}) \left( \|\mathbf{r}\|^2 \mathbf{I} - \mathbf{r} \mathbf{r}^T \right) dV$

여기서 $\rho(\mathbf{r})$ 는 위치 $\mathbf{r}$ 에서의 질량 밀도, $\mathbf{r}$ 는 질량 중심에서 $\mathbf{r}$ 까지의 위치 벡터, $\mathbf{I}$ 는 단위 행렬이다.

강체 운동의 통합

강체 운동 방정식을 해석적으로 풀기는 어렵다. 따라서 수치적 통합 방법을 사용한다.

버그-커타 방법

2차-5차 범위의 다양한 계수를 사용하는 Runge-Kutta 방법은 대표적인 수치적 통합 방법 중 하나이다.

보존 형식

선형 운동과 회전 운동은 에너지와 운동량을 보존한다는 점에서 중요하다.

충돌 감지 및 반응

강체 시뮬레이션에서 중요한 부분은 물체 간의 충돌을 감지하고 이에 적절하게 반응하는 것이다. 충돌 감지와 반응은 시뮬레이션의 현실성과 안정성을 크게 좌우한다.

충돌 감지

충돌 감지는 두 가지 기본 단계로 나뉜다: 1. Broad-phase: 잠재적으로 충돌할 수 있는 물체 쌍을 빠르게 필터링. 2. Narrow-phase: 실제로 충돌하는지 세밀한 검사를 수행.

AABB (Axis-Aligned Bounding Box): 각 물체를 포함하는 최소한의 직사각형 혹은 상자를 사용하여 충돌 가능성을 검사한다.
Sphere-Sphere 충돌: 두 구체의 중심 거리와 반지름의 합을 통해 충돌 여부를 체크한다.
Separating Axis Theorem (SAT): 두 다면체가 충돌하는지 검사하는 데 효과적이다. 분리축에 투영하여 중첩 여부를 검사한다.

충돌 반응

충돌이 감지되었을 때, 물체는 반발력과 마찰력에 의해 상호작용한다.

반발력: 뉴턴의 충돌 법칙에 따라 반발 계수를 적용하여 충돌 후의 속도를 결정한다.

$\mathbf{v}_{\text{final}} = -e \mathbf{v}_{\text{initial}}$

여기서 $e$ 는 반발 계수이다.

마찰력: 쿠론 법칙을 적용하여 마찰력을 계산한다.

$\mathbf{F}_{\text{마찰}} = \mu \mathbf{N}$

여기서 $\mu$ 는 마찰 계수, $\mathbf{N}$ 은 법선력이다.

물리적 제약 (Constraints)

강체 시뮬레이션에서 물리적 제약은 물체 사이의 상호 연결을 구현하는 데 사용된다.

힌지 제약 (Hinge Constraint): 두 물체가 특정 축을 중심으로 회전할 수 있게 한다.
슬라이더 제약 (Slider Constraint): 직선 운동을 할 수 있게 하는 제약이다.
고정 제약 (Fixed Constraint): 두 물체를 강체처럼 연결한다.

제약 방정식

제약 방정식은 뉴턴-라그랑주 공식에 따라 다음과 같이 작성된다.

$J \ddot{\mathbf{x}} = b$

여기서 $J$ 는 제약의 야코비, $\ddot{\mathbf{x}}$ 는 가속도, $b$ 는 제약의 감속항이다.

최적화 및 안정성

강체 시뮬레이션을 효율적이고 안정적으로 유지하기 위해 여러 최적화 기법이 사용된다.

시간적 통합의 안정성

세미-임플리시트 방법 (Semi-Implicit Method): 속도를 먼저 업데이트한 후 위치를 업데이트하여 안정성을 증가시킨다.
엔씨테드 초점 (Stable Fluids): 특정 유체 시뮬레이션의 안정성을 위한 기법으로 강체 시뮬레이션에도 적용 가능한다.

데이터 구조

KD-트리 또는 BVH: 충돌 감지의 효율성을 높이기 위해 공간 분할 트리 구조를 사용한다.
스패셜 해시 방식: 공간을 해시 방식으로 나누어 물체의 위치를 빠르게 찾는다.

강체 시뮬레이션은 물리 법칙에 기반한 다양한 모델과 알고리즘을 활용하여 현실적인 움직임을 재현하는 장치이다. 수치적 통합, 충돌 감지 및 반응, 제약 조건, 그리고 최적화 기법 등 여러 요소가 조화를 이루어야 정확하고 효율적인 시뮬레이션을 구현할 수 있다.