강체의 특성 - 실험 도서관

강체 시뮬레이션은 물리 엔진의 핵심 구성 요소 중 하나이다. 강체(rigid body)는 변형이 없는 이상적인 물체로, 외부 힘이나 토크가 가해져도 모양과 크기가 변하지 않는다고 가정한다. 강체의 특성은 이를 정의하고 시뮬레이션하는 데 중요한 역할을한다. 이 절에서는 강체의 주요 특성에 대해 다룬다.

질량

강체의 질량은 그 무게와 밀도를 나타낸다. 질량은 스칼라 값으로, 물체의 크기와 형태를 감안하여 결정된다. 질량 $m$ 은 물체의 중심에 모든 질량이 집중되어 있다고 가정할 수 있는 질량 중심(center of mass)에 배치된다.

질량 중심

질량 중심은 강체의 무게가 균형을 이루는 점이다. 질량 중심은 강체의 질량 분포에 따라 달라지며, 일반적으로 강체의 기하학적 중심과 일치한다. 질량 중심 $\mathbf{c}$ 위치는 벡터로 표현된다.

$\mathbf{c} = \frac{1}{M} \sum_{i} m_{i} \mathbf{r}_{i}$

여기서 $M$ 은 전체 질량, $m_{i}$ 는 개별 파티클의 질량, $\mathbf{r}_{i}$ 는 각 파티클의 위치 벡터이다.

관성 모멘트

관성 모멘트는 물체가 회전하는 데 저항하는 정도를 나타내는 물리량이다. 강체의 회전 운동을 기술하는 데 중요한 역할을 한다. 관성 모멘트는 일반적으로 3x3 대칭 행렬 $\mathbf{I}$ 로 표현된다.

$\mathbf{I} = \begin{bmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{xy} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{xz} & I_{yz} & I_{zz} \end{bmatrix}$

여기서 $I_{xx}$ , $I_{yy}$ , $I_{zz}$ 는 관성 모멘트의 주요 대각선 성분이며, $I_{xy}$ , $I_{xz}$ , $I_{yz}$ 는 서로 다른 축간의 관성 모멘트를 나타낸다.

관성 모멘트 텐서의 변환

관성 모멘트 텐서는 강체가 회전할 때 변환된다. 고정된 공간에서의 관성 모멘트 텐서를 계산하려면 물체의 현재 회전 상태를 반영해야 한다.

$\mathbf{I}^\prime = \mathbf{R} \mathbf{I} \mathbf{R}^T$

여기서 $\mathbf{I}^\prime$ 은 회전 후의 관성 모멘트 텐서, $\mathbf{R}$ 은 회전 행렬이다.

각속도

각속도 $\mathbf{\omega}$ 는 강체의 회전 속도를 나타내는 벡터이다. 각속도는 강체의 특정 축을 기준으로 하는 회전 속도를 기술한다. 각속도와 관성 모멘트 텐서를 통해 각운동량 $\mathbf{L}$ 을 계산할 수 있다.

$\mathbf{L} = \mathbf{I} \mathbf{\omega}$

각가속도

각가속도 $\mathbf{\alpha}$ 는 강체의 회전 운동이 시간이 지남에 따라 어떻게 변하는지를 나타내는 물리량이다. 각가속도는 각속도의 시간에 따른 미분으로 얻어진다.

$\mathbf{\alpha} = \frac{d\mathbf{\omega}}{dt}$

외부 힘과 토크

강체에 외부 힘 $\mathbf{F}$ 와 토크 $\mathbf{\tau}$ 가 가해지면 강체의 선운동과 회전운동이 변화한다. 외부 힘은 강체의 질량 중심에 작용하며 선운동을 생성하고, 토크는 강체의 회전 운동을 생성한다.

$\mathbf{F} = m \mathbf{a}$

$\mathbf{\tau} = \mathbf{I} \mathbf{\alpha}$

여기서 $\mathbf{a}$ 은 가속도이다.