시뮬레이션 공간과 좌표계

물리 엔진에서 시뮬레이션 공간과 좌표계는 매우 중요한 구성 요소이다. 이 장에서는 시뮬레이션 공간의 정의와 다양한 좌표계에 대해 탐구한다. 이론부터 실제 응용 예제까지 포괄적으로 다룬다.

시뮬레이션 공간

시뮬레이션 공간은 물리 엔진이 동작하는 전체 영역을 정의한다. 이 공간은 일반적으로 2차원(2D) 또는 3차원(3D)으로 설정되며, 가상 객체들이 자유롭게 움직이고 상호작용할 수 있는 무대를 제공한다.

2차원 시뮬레이션

2차원 시뮬레이션은 평면 공간에서 이루어지는 물리 시뮬레이션을 말한다. 보통 다음과 같은 형태로 표현된다:

$\mathbf{r} = (x, y)$

여기서 $x$ 와 $y$ 는 평면에서의 좌표를 나타낸다.

3차원 시뮬레이션

3차원 시뮬레이션은 공간적인 움직임과 더 복잡한 상호작용을 허용한다. 벡터로 표현하면 다음과 같다:

$\mathbf{r} = (x, y, z)$

여기서 $x$ , $y$ , $z$ 는 각각 3차원 공간의 좌표를 나타낸다.

좌표계

좌표계는 객체의 위치와 방향을 정의하는 방법이다. 다양한 좌표계가 존재하며 대표적인 예로 데카르트 좌표계, 극좌표계 및 구좌표계가 있다.

데카르트 좌표계

가장 일반적으로 사용되는 좌표계로, 직교 좌표계를 의미한다. n차원(n-D) 공간에서 벡터 $\mathbf{v}$ 는 다음과 같이 표현된다:

$\mathbf{v} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$

극좌표계

2차원 공간에서의 위치를 반지름 $r$ 과 각도 $\theta$ 로 나타내는 방식이다. 변환식은 다음과 같다:

$x = r \cos \theta$

$y = r \sin \theta$

구좌표계

3차원 공간에서의 위치를 반지름 $r$ , 세타 각도 $\theta$ , 파이 각도 $\phi$ 로 나타낸다. 변환식은 다음과 같다:

$x = r \sin \theta \cos \phi$

$y = r \sin \theta \sin \phi$

$z = r \cos \theta$

이러한 좌표계는 특정 시뮬레이션 및 문제의 간소화에 따라 선택적으로 사용된다.

좌표계 변환

물리 엔진에서는 종종 한 좌표계에서 다른 좌표계로 변환해야 할 필요가 있다. 일반적인 3D 좌표 변환은 다음과 같은 행렬 곱셈으로 수행된다:

$\mathbf{r}_{new} = \mathbf{M} \mathbf{r}_{old}$

여기서 $\mathbf{M}$ 은 좌표 변환 행렬이다.

좌표 변환의 예

다음은 2D 데카르트 좌표계를 2D 극좌표계로 변환하는 예이다. 주어진 점 $(x, y)$ 의 데카르트 좌표를 극좌표로 변환하려면 다음 공식을 사용할 수 있다:

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$

$\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$

반대로 극좌표 $(r, \theta)$ 를 데카르트 좌표 $(x, y)$ 로 변환하는 공식은 다음과 같다:

$x = r \cos\theta$

$y = r \sin\theta$

이러한 변환은 원형 운동의 시뮬레이션이나 눈금 조정과 같은 작업에서 매우 유용하다.

시뮬레이션 공간의 경계와 제한

시뮬레이션 공간은 또한 경계 및 제한을 가진다. 이는 특정 객체가 시뮬레이션 공간을 벗어나지 않도록 보장하며, 다양한 물리적 제약과 상호작용 정의를 포함할 수 있다.

경계 조건

다음은 시뮬레이션 공간에서 자주 사용되는 경계 조건의 예이다:

고정 경계: 객체는 특정 시뮬레이션 경계를 넘지 못하게 함으로써 벽과 같은 역할을 한다.
반사 경계: 객체가 경계를 넘는 경우 반사되는 경계로, 빛의 반사와 유사한다.
주기 경계 조건: 객체가 한쪽 경계를 넘으면 반대쪽 경계로 나타나는 조건으로, 토러스형 공간을 형성한다.

동차 변환과 비동차 변환

서로 다른 좌표계 간의 변환은 동차 변환 혹은 비동차 변환을 통해 이루어진다. 이러한 변환은 일반적으로 선형 대수의 기본 개념을 따른다.

동차 변환

동차 변환은 기본적으로 선형 변환과 병진 변환을 조합한 것이다. 3D 공간에서 동차 변환은 4x4 행렬을 사용한다. 일반적인 동차 변환 행렬은 다음과 같다:

$\mathbf{M} = \begin{pmatrix} R & T \\ 0^T & 1 \end{pmatrix}$

여기서 $R$ 은 회전 및 스케일링, $T$ 는 병진 벡터이다.

비동차 변환

비동차 변환은 단순한 선형 변환을 의미하며, 일반적으로 회전, 스케일링, 전단 등의 변환을 포함한다.

시뮬레이션의 스케일과 시간 단위

시뮬레이션의 정확성과 효율성을 위해 스케일과 시간 단위를 설정하는 것이 중요하다. 이는 시뮬레이션 결과의 실용성과 관련이 있다.

공간적 스케일: 실제 세계의 길이 단위에 해당하는 시뮬레이션 단위를 설정한다. 예를 들어, 1유닛을 1미터로 설정할 수 있다.
시간 단위: 시뮬레이션의 시간 진행을 제어하며, 보통 초 단위로 설정한다. 예를 들어, 시뮬레이션이 실시간으로 진행되도록 하기 위해 1프레임을 1/60초로 설정할 수 있다.

이러한 기본적인 구성 요소와 변환 방법들을 이해하면, 물리 엔진에서 시뮬레이션 공간과 좌표계를 효과적으로 설정하고 활용할 수 있다.