MATLAB은 수학적 계산, 데이터 분석, 모델링 및 시뮬레이션을 위한 대표적인 도구 중 하나이다. 특히 운동학 분석에서는 다중 변수의 수치적 계산과 기하학적 변환을 처리할 때 유용하다. Simulink는 MATLAB의 확장 도구로, 운동학 시스템을 시각적으로 모델링하고 시뮬레이션할 수 있는 블록 기반 환경을 제공한다.

MATLAB을 사용한 간단한 시뮬레이션 예시

MATLAB에서는 운동학 방정식을 기반으로 운동 궤적을 시뮬레이션할 수 있다. 예를 들어, 등속 운동을 나타내는 다음과 같은 선형 운동 방정식이 있다:

\mathbf{x}(t) = \mathbf{x}_0 + \mathbf{v}t

여기서: - \mathbf{x}(t)는 시간 t에서의 위치 벡터, - \mathbf{x}_0는 초기 위치 벡터, - \mathbf{v}는 속도 벡터이다.

이 방정식을 사용하여 물체의 궤적을 계산하고 그래프로 나타낼 수 있다. MATLAB 코드를 사용하여 해당 수식을 기반으로 시뮬레이션할 수 있으며, 시뮬레이션 결과를 그래프 형태로 표현할 수 있다.

% 초기 위치 및 속도
x0 = [0; 0; 0];
v = [1; 2; 3];
t = 0:0.1:10;  % 시간 벡터

% 위치 계산
x_t = x0 + v * t;

% 그래프 그리기
plot3(x_t(1, :), x_t(2, :), x_t(3, :));
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('등속 운동의 궤적');

2. Gazebo

Gazebo는 로봇 시뮬레이션을 위한 대표적인 도구로, 특히 로봇의 운동학을 분석하고 제어 알고리즘을 테스트하는 데 자주 사용된다. Gazebo는 실제 물리 기반 환경에서 로봇의 움직임을 시뮬레이션할 수 있으며, URDF(Universal Robot Description Format)를 사용하여 로봇의 구조와 운동학적 특성을 모델링한다.

URDF와 Gazebo

URDF를 사용하면 로봇의 링크와 조인트를 정의하여 로봇의 운동학적 모델을 생성할 수 있다. 예를 들어, 단순한 2자유도 로봇 팔의 URDF 정의는 다음과 같다:

<robot name="simple_arm">
  <link name="base_link">
    <inertial>
      <origin xyz="0 0 0"/>
      <mass value="1.0"/>
      <inertia ixx="0.1" iyy="0.1" izz="0.1"/>
    </inertial>
  </link>

  <joint name="joint1" type="revolute">
    <origin xyz="0 0 1"/>
    <axis xyz="0 0 1"/>
    <limit lower="-1.57" upper="1.57" effort="100" velocity="1.0"/>
  </joint>

  <joint name="joint2" type="revolute">
    <origin xyz="0 0 2"/>
    <axis xyz="0 0 1"/>
    <limit lower="-1.57" upper="1.57" effort="100" velocity="1.0"/>
  </joint>
</robot>

이 URDF 파일을 Gazebo에서 사용하여 2자유도 로봇 팔의 운동을 시뮬레이션할 수 있다. 각 링크와 조인트의 움직임은 Gazebo의 물리 엔진을 통해 처리되며, 시뮬레이션 결과를 시각적으로 확인할 수 있다.

Gazebo는 로봇의 동적 환경 상호작용을 처리할 수 있는 다양한 플러그인을 지원하므로, 복잡한 로봇 운동학과 동역학 시뮬레이션을 수행하는 데 매우 적합한다.

3. V-REP (CoppeliaSim)

V-REP, 현재는 CoppeliaSim이라는 이름으로 더 잘 알려져 있다. 이는 다목적 로봇 시뮬레이션 도구로, 복잡한 로봇 시스템과 물리적 상호작용을 시뮬레이션할 수 있는 강력한 기능을 제공한다. 특히 운동학 및 동역학 시뮬레이션에서 효과적이다. V-REP은 다양한 센서와 액추에이터, 로봇 구조에 대해 실시간 시뮬레이션을 제공한다.

CoppeliaSim에서의 로봇 팔 시뮬레이션

CoppeliaSim에서는 로봇의 각 조인트를 정의하고, 이를 이용해 로봇 팔이 특정 경로를 따라 이동하도록 시뮬레이션할 수 있다. 예를 들어, 로봇 팔의 목표 위치로 이동하기 위한 역운동학(kinematic) 모델을 CoppeliaSim에서 구현할 수 있다. CoppeliaSim은 또한 외부에서 제어 코드와 통신이 가능하므로, Python, C++, MATLAB과 같은 여러 언어를 사용해 로봇을 제어할 수 있다.

CoppeliaSim에서의 역운동학을 통한 경로 계획의 예는 다음과 같다:

\mathbf{q} = \mathbf{q}_0 + \Delta t \cdot \mathbf{J}^{-1}(\mathbf{x}_d - \mathbf{x}(\mathbf{q}))

여기서: - \mathbf{q}는 조인트 변수 벡터, - \mathbf{J}는 Jacobian 행렬, - \mathbf{x}_d는 목표 위치, - \mathbf{x}(\mathbf{q})는 현재 위치이다.

이 식은 역운동학을 기반으로 로봇 팔의 조인트 각도를 계산하는 방식이다.

4. OpenSim

OpenSim은 생체역학적 시뮬레이션 도구로, 근육, 골격 시스템의 운동을 분석하고 시뮬레이션할 수 있다. 이는 특히 인간 또는 동물의 운동을 모사하는 데 사용되며, 의학적 연구나 스포츠 과학에서도 많이 활용된다.

OpenSim은 주로 골격 운동학과 동역학을 연구하기 위해 개발되었으며, 근육의 활성화와 힘 생성 과정까지 시뮬레이션할 수 있다. 이를 통해 근육의 동작에 따른 힘과 모멘트를 계산하고, 이를 바탕으로 운동 경로를 분석할 수 있다.

OpenSim에서의 근육-골격 시스템 시뮬레이션

OpenSim에서 인간의 다리 운동을 시뮬레이션하는 예는 다음과 같다:

\mathbf{F}_{\text{muscle}} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{f}_{\text{iso}}(l_{\text{fiber}}) \cdot \mathbf{v}(t)

여기서: - \mathbf{F}_{\text{muscle}}은 근육에서 생성되는 힘, - \mathbf{A}는 근육의 활성화 수준, - f_{\text{iso}}는 근섬유의 길이에 따른 등척성 힘, - l_{\text{fiber}}는 근섬유의 길이, - \mathbf{v}(t)는 근육의 수축 속도이다.

이 식을 통해 근육의 활성화 상태와 힘 생성 메커니즘을 분석할 수 있으며, 시뮬레이션 결과는 운동 경로와 근육의 작용력을 시각화할 수 있다.

5. Adams

Adams는 다물체 동역학(MBD, Multi-Body Dynamics)을 위한 상용 소프트웨어로, 기계 시스템에서 복잡한 운동과 힘을 분석하는 데 매우 유용하다. 주로 자동차, 항공우주, 기계 공학 분야에서 사용되며, 강체 간의 상호작용을 기반으로 시뮬레이션을 수행한다.

Adams에서의 다물체 운동 시뮬레이션

Adams는 다체 시스템의 움직임을 시뮬레이션할 때 각 체의 질량, 관성, 구속 조건을 고려한다. 다물체 시스템의 운동 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다:

\mathbf{M}(\mathbf{q}) \ddot{\mathbf{q}} + \mathbf{C}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}) + \mathbf{G}(\mathbf{q}) = \mathbf{F}_{\text{ext}}

여기서: - \mathbf{M}(\mathbf{q})는 일반화된 좌표 \mathbf{q}에서의 질량 행렬, - \mathbf{C}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})는 코리올리 및 원심력 항, - \mathbf{G}(\mathbf{q})는 중력 항, - \mathbf{F}_{\text{ext}}는 외부에서 가해지는 힘이다.

이 방정식을 통해 다체 시스템의 각 체가 어떻게 상호작용하며 운동하는지를 분석할 수 있으며, Adams는 이를 시각적으로 표현해준다.

6. ANSYS Motion

ANSYS Motion은 복잡한 기계 시스템의 동역학을 해석할 수 있는 도구이다. 특히, 운동학적 제약을 기반으로 한 시스템 해석과 최적화를 수행할 수 있으며, 다물체 시스템 및 유연체 해석이 가능한다. 기계 부품 간의 접촉, 충돌 등의 물리적 상호작용을 정확하게 시뮬레이션하는 데 강력한 기능을 제공한다.

ANSYS Motion은 다음과 같은 특징을 가지고 있다: - 강체 및 유연체의 결합 해석 - 다양한 운동학적 제약 조건의 처리 - 복잡한 기계 시스템의 충돌 해석

ANSYS Motion에서의 충돌 해석

ANSYS Motion에서는 다물체 시스템의 충돌 해석을 통해 시스템의 충격 하중과 변형을 분석할 수 있다. 충돌 시 물체 간의 힘과 충격량을 계산하여 시스템의 동작을 예측할 수 있다.