강체란 무엇인가?

강체(rigid body)는 변형되지 않는 물체로 간주되며, 외부 힘이 가해져도 물체의 각 점 사이의 거리가 일정하게 유지된다. 이는 실제 세계에서 완벽하게 강체를 구현할 수 없지만, 운동학과 동역학에서 물체의 운동을 단순화하여 분석하는 데 중요한 개념이다.

강체의 운동은 크게 두 가지로 나눌 수 있다: 평행 이동과 회전 운동. 평행 이동에서는 강체의 모든 점이 같은 크기와 방향으로 이동하며, 회전 운동에서는 강체가 특정 축을 중심으로 회전한다.

강체의 위치와 방향

강체의 운동을 설명하기 위해서는 강체의 위치와 방향을 나타낼 필요가 있다. 강체의 위치는 일반적으로 참조 좌표계에서 강체의 기준점(예: 무게 중심)의 위치 벡터로 표현된다. 방향은 강체의 고유한 좌표계를 도입하여 참조 좌표계와의 관계로 정의된다.

강체의 위치는 위치 벡터 \mathbf{r}로 나타낼 수 있으며, 이 벡터는 기준 좌표계에서 강체의 특정 지점(일반적으로 무게 중심)의 좌표를 의미한다.

\mathbf{r}(t) = \begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{bmatrix}

여기서, x(t), y(t), z(t)는 시간 t에서의 기준점의 좌표이다.

회전 행렬

강체의 방향은 참조 좌표계에 대한 강체의 회전으로 표현된다. 회전은 3x3 회전 행렬 \mathbf{R}(t)로 나타낼 수 있으며, 이 행렬은 참조 좌표계에서 강체의 고유 좌표계로 변환하는 역할을 한다. 회전 행렬은 정규 직교 행렬이며, 다음과 같은 성질을 만족한다.

\mathbf{R}(t) \mathbf{R}^T(t) = \mathbf{I}

즉, 회전 행렬의 전치 행렬은 그 역행렬과 같다. 또한, 회전 행렬의 행과 열은 모두 단위 벡터로서 내적이 0이고, 각 벡터의 크기는 1이다.

각속도 벡터

강체의 회전 운동은 각속도 벡터 \boldsymbol{\omega}(t)로 표현된다. 각속도 벡터는 회전축의 방향을 나타내며, 회전의 빠르기를 나타낸다. 각속도 벡터는 다음과 같이 정의할 수 있다.

\boldsymbol{\omega}(t) = \mathbf{R}(t) \frac{d \mathbf{R}^T(t)}{dt}

이 식은 시간에 따라 변화하는 회전 행렬 \mathbf{R}(t)의 시간 미분으로부터 각속도 벡터를 구하는 방법을 보여준다.

질점의 속도

강체의 한 점 P가 위치 벡터 \mathbf{r}_P에 있을 때, 그 점의 속도는 강체의 평행 이동 속도 \mathbf{v}_C와 회전에 의한 기여로 나눌 수 있다. 이때, 회전 운동은 각속도 벡터 \boldsymbol{\omega}(t)에 의해 표현되며, 속도 \mathbf{v}_P는 다음과 같이 주어진다.

\mathbf{v}_P = \mathbf{v}_C + \boldsymbol{\omega} \times (\mathbf{r}_P - \mathbf{r}_C)

여기서 \mathbf{v}_C는 강체의 중심 C의 속도이고, \mathbf{r}_C는 강체의 중심의 위치이다.

질점의 가속도

강체의 특정 점 P에 대한 가속도 \mathbf{a}_P는 평행 이동에 의한 가속도와 회전 운동에 의한 가속도로 나뉜다. 각속도가 변하는 경우, 각가속도 \boldsymbol{\alpha}가 등장하며, 강체의 점 P의 가속도는 다음과 같이 표현할 수 있다.

\mathbf{a}_P = \mathbf{a}_C + \boldsymbol{\alpha} \times (\mathbf{r}_P - \mathbf{r}_C) + \boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times (\mathbf{r}_P - \mathbf{r}_C) \right)

여기서, - \mathbf{a}_C: 중심 C의 가속도 - \boldsymbol{\alpha}: 각가속도 벡터 - \boldsymbol{\omega}: 각속도 벡터

첫 번째 항은 평행 이동에 의한 가속도이고, 두 번째 항은 각가속도에 의한 가속도, 세 번째 항은 원심력으로 인한 가속도를 나타낸다.

운동 에너지

강체의 운동 에너지는 평행 이동에 의한 운동 에너지와 회전 운동에 의한 운동 에너지로 나눌 수 있다. 강체의 전체 운동 에너지는 다음과 같이 주어진다.

T = \frac{1}{2} m \mathbf{v}_C^2 + \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}^T \mathbf{I}_C \boldsymbol{\omega}

여기서, - m: 강체의 질량 - \mathbf{v}_C: 강체 중심의 속도 - \mathbf{I}_C: 강체 중심을 기준으로 한 관성 모멘트 행렬 - \boldsymbol{\omega}: 각속도 벡터

첫 번째 항은 평행 이동에 의한 운동 에너지, 두 번째 항은 회전 운동에 의한 운동 에너지이다.

관성 모멘트

관성 모멘트 \mathbf{I}_C는 강체의 질량 분포와 회전축에 따라 결정되며, 다음과 같은 성질을 갖는다.

\mathbf{I}_C = \int_V \rho(\mathbf{r}) \left( \mathbf{r}^2 \mathbf{I} - \mathbf{r} \mathbf{r}^T \right) dV

여기서, - V: 강체의 부피 - \rho(\mathbf{r}): 위치 \mathbf{r}에서의 질량 밀도 - \mathbf{I}: 단위 행렬 - \mathbf{r}: 질량 요소의 위치 벡터

이 식은 강체의 각 부분이 회전 운동에 기여하는 정도를 나타낸다. 관성 모멘트는 강체의 중심을 기준으로 계산되며, 회전축이 달라지면 관성 모멘트도 달라진다.

관성 모멘트의 축 이동 정리

강체의 관성 모멘트를 강체의 중심이 아닌 임의의 축에 대해 구할 때는 축 이동 정리를 사용할 수 있다. 중심을 기준으로 한 관성 모멘트 \mathbf{I}_C와 임의의 축에 대한 관성 모멘트 \mathbf{I}_O는 다음과 같은 관계를 갖는다.

\mathbf{I}_O = \mathbf{I}_C + m (\mathbf{d}^T \mathbf{d} \mathbf{I} - \mathbf{d} \mathbf{d}^T)

여기서, - \mathbf{I}_O: 임의의 축에 대한 관성 모멘트 - \mathbf{I}_C: 중심에 대한 관성 모멘트 - m: 강체의 총 질량 - \mathbf{d}: 중심에서 임의 축까지의 거리 벡터

이 정리를 사용하여 강체의 관성 모멘트를 다양한 축에 대해 계산할 수 있다.