병렬형 로봇의 운동학

병렬형 로봇이란?

병렬형 로봇은 여러 개의 폐쇄 사슬(Closed Kinematic Chains)로 이루어진 기구로, 각 사슬이 독립적으로 작동하여 하나의 플랫폼을 제어한다. 이 플랫폼은 일반적으로 이동하거나 회전하는 역할을 수행하며, 각 사슬이 병렬로 연결되어 움직임을 지원한다. 병렬형 로봇의 대표적인 예는 스튜어트 플랫폼(Stewart Platform)이다.

병렬형 로봇의 특성

병렬형 로봇의 운동학을 다루기 위해서는 기구의 특성부터 이해해야 한다. 병렬형 로봇은 다음과 같은 특징을 갖는다: - 고강성: 병렬로 연결된 사슬 구조 덕분에 기구의 강성이 높다. - 정밀도: 각 사슬의 움직임이 플랫폼에 영향을 주므로 정밀한 제어가 가능한다. - 작업 공간 제한: 폐쇄 사슬 구조로 인해 병렬형 로봇의 작업 공간은 제한적이다.

병렬형 로봇의 운동학은 로봇의 구성 요소와 링크, 조인트 사이의 관계를 수학적으로 설명하며, 주로 역운동학을 통해 각 링크와 조인트의 위치를 계산한다.

병렬형 로봇의 역운동학

병렬형 로봇의 역운동학(Inverse Kinematics)은 주어진 플랫폼의 위치 및 자세에서 각 링크의 길이와 조인트의 각도를 계산하는 과정이다. 이때, 링크와 조인트는 좌표계와 연관되어 정의되며, 각 링크의 길이는 주어진 플랫폼의 위치와 방향에 따라 달라진다.

역운동학의 기본 공식

병렬형 로봇의 기본 구조는 링크와 조인트로 이루어져 있다. 링크의 좌표는 플랫폼의 이동 및 회전과 관련하여 다음과 같은 변환을 거친다:

플랫폼의 위치를 나타내는 벡터: $\mathbf{p} = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \\ p_z \end{pmatrix}$
각 링크의 고정점(베이스)에 해당하는 좌표는 $\mathbf{b}_i$ , 끝점(플랫폼) 좌표는 $\mathbf{l}_i$ 이다.

플랫폼의 자세는 회전 행렬 $\mathbf{R}$ 로 표현되며, 각 링크의 길이는 다음과 같이 계산된다:

$\mathbf{l}_i = \mathbf{p} + \mathbf{R} \mathbf{b}_i$

각 링크의 길이는 링크의 끝점 좌표와 고정점 좌표 간의 거리로 정의된다:

$L_i = \left\| \mathbf{l}_i - \mathbf{b}_i \right\|$

여기서, $L_i$ 는 각 링크의 길이이다.

병렬형 로봇의 회전 운동

플랫폼의 회전 운동은 회전 행렬 $\mathbf{R}$ 을 사용하여 표현된다. 이 회전 행렬은 플랫폼의 회전 각도와 축을 기반으로 정의되며, 다음과 같은 방식으로 계산된다:

$\mathbf{R} = \mathbf{R}_z(\theta_z) \mathbf{R}_y(\theta_y) \mathbf{R}_x(\theta_x)$

각각의 회전 행렬 $\mathbf{R}_x$ , $\mathbf{R}_y$ , $\mathbf{R}_z$ 는 각 축을 중심으로 한 회전을 나타내며, 다음과 같이 정의된다:

$\mathbf{R}_x(\theta_x)$ : x축을 중심으로 한 회전

$\mathbf{R}_x(\theta_x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta_x & -\sin\theta_x \\ 0 & \sin\theta_x & \cos\theta_x \end{pmatrix}$

$\mathbf{R}_y(\theta_y)$ : y축을 중심으로 한 회전

$\mathbf{R}_y(\theta_y) = \begin{pmatrix} \cos\theta_y & 0 & \sin\theta_y \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\theta_y & 0 & \cos\theta_y \end{pmatrix}$

$\mathbf{R}_z(\theta_z)$ : z축을 중심으로 한 회전

$\mathbf{R}_z(\theta_z) = \begin{pmatrix} \cos\theta_z & -\sin\theta_z & 0 \\ \sin\theta_z & \cos\theta_z & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

플랫폼의 전체 회전 운동은 이 세 가지 회전 행렬의 곱으로 나타낼 수 있다.

병렬형 로봇의 운동학적 제약

병렬형 로봇에서 중요한 부분 중 하나는 운동학적 제약 조건이다. 병렬형 로봇은 여러 개의 링크와 조인트로 이루어진 폐쇄형 기구이므로, 자유도를 제한하는 다양한 제약이 존재한다. 이러한 제약은 플랫폼의 움직임을 결정하는 데 중요한 역할을 하며, 역운동학을 해결할 때 반드시 고려해야 한다.

링크 제약

각 링크는 고정된 길이를 가지고 있으며, 이는 플랫폼의 위치와 자세에 따라 변하지 않는다. 따라서 링크의 길이 $L_i$ 는 일정하게 유지되며, 이 제약은 다음과 같은 방정식으로 표현된다:

$L_i = \left\| \mathbf{p} + \mathbf{R} \mathbf{b}_i - \mathbf{a}_i \right\| = L_{i,\text{fixed}}$

여기서: - $\mathbf{a}_i$ 는 베이스에 있는 고정점의 좌표이다. - $L_{i,\text{fixed}}$ 는 고정된 링크의 길이이다.

이 방정식은 플랫폼의 위치 $\mathbf{p}$ 와 회전 행렬 $\mathbf{R}$ 이 주어졌을 때, 각 링크의 길이를 유지하기 위해 고려해야 할 제약을 나타낸다.

조인트 제약

병렬형 로봇의 각 조인트는 제한된 각도 범위 내에서만 움직일 수 있다. 이 범위는 물리적으로 각 조인트의 구조에 의해 정의된다. 예를 들어, 조인트 각도 $\theta_i$ 는 다음과 같은 제한을 가질 수 있다:

$\theta_{\text{min}} \leq \theta_i \leq \theta_{\text{max}}$

따라서, 역운동학을 풀 때 각 조인트의 각도가 이 범위 내에 있는지 확인해야 하며, 범위를 초과할 경우 해당 각도로 움직임이 불가능하다는 것을 의미한다.

병렬형 로봇의 운동방정식

병렬형 로봇의 운동을 나타내는 기본 운동방정식은 각 링크와 조인트의 움직임을 수학적으로 표현한 것이다. 이 방정식은 플랫폼의 위치와 회전, 각 링크의 길이, 그리고 각 조인트의 각도 사이의 관계를 설명한다.

병렬형 로봇의 기본 운동 방정식은 다음과 같이 표현된다:

$\mathbf{J}(\mathbf{q}) \dot{\mathbf{q}} = \mathbf{v}$

여기서: - $\mathbf{J}(\mathbf{q})$ 는 병렬형 로봇의 야코비 행렬(Jacobian matrix)이다. - $\mathbf{q}$ 는 각 조인트의 각도를 나타내는 벡터이다. - $\dot{\mathbf{q}}$ 는 각 조인트의 각속도를 나타내는 벡터이다. - $\mathbf{v}$ 는 플랫폼의 선속도 및 각속도를 포함한 속도 벡터이다.

야코비 행렬

병렬형 로봇의 야코비 행렬은 각 조인트의 움직임이 플랫폼의 위치와 자세에 어떻게 영향을 미치는지 설명하는 중요한 도구이다. 야코비 행렬은 조인트 공간에서의 변화율을 작업 공간에서의 변화율로 변환하는 역할을 하며, 각 조인트의 위치와 방향이 주어졌을 때, 야코비 행렬을 통해 속도 관계를 설명할 수 있다.

야코비 행렬의 기본적인 형태는 다음과 같다:

$\mathbf{J} = \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{q}}$

여기서: - $\mathbf{x}$ 는 플랫폼의 위치 및 회전 벡터이다. - $\mathbf{q}$ 는 각 조인트의 각도 벡터이다.

병렬형 로봇에서의 야코비 행렬 해석

야코비 행렬 $\mathbf{J}$ 는 병렬형 로봇에서 각 조인트의 변화가 플랫폼의 선속도 및 각속도에 어떻게 영향을 미치는지를 나타낸다. 병렬형 로봇의 구조에 따라 야코비 행렬은 복잡해질 수 있으며, 각 링크의 기하학적 배열과 운동 제약에 따라 다양한 형태를 가질 수 있다.

선속도와 각속도

병렬형 로봇의 플랫폼의 선속도 $\mathbf{v}$ 와 각속도 $\boldsymbol{\omega}$ 는 야코비 행렬과 각 조인트 속도 $\dot{\mathbf{q}}$ 를 통해 다음과 같이 표현된다:

$\begin{pmatrix} \mathbf{v} \\ \boldsymbol{\omega} \end{pmatrix} = \mathbf{J}(\mathbf{q}) \dot{\mathbf{q}}$

여기서: - $\mathbf{v}$ 는 플랫폼의 선속도 벡터로, $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}$ 와 같이 나타낼 수 있다. - $\boldsymbol{\omega}$ 는 플랫폼의 각속도 벡터로, $\boldsymbol{\omega} = \begin{pmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{pmatrix}$ 와 같이 나타낼 수 있다. - $\dot{\mathbf{q}}$ 는 각 조인트의 각속도를 나타내는 벡터이다.

야코비 행렬을 사용하여 조인트 속도와 플랫폼의 속도 사이의 관계를 정의할 수 있다. 이 관계를 통해, 특정 플랫폼 위치에서의 조인트 속도를 계산하거나, 주어진 조인트 속도에서 플랫폼이 어떻게 움직일지를 예측할 수 있다.

병렬형 로봇의 역야코비

야코비 행렬의 역행렬 $\mathbf{J}^{-1}$ 은 플랫폼의 선속도 및 각속도에서 각 조인트의 속도를 계산하는 데 사용된다. 이를 통해 플랫폼의 운동을 제어하기 위해 각 조인트의 움직임을 결정할 수 있다.

역야코비 행렬은 다음과 같이 표현된다:

$\dot{\mathbf{q}} = \mathbf{J}^{-1}(\mathbf{q}) \begin{pmatrix} \mathbf{v} \\ \boldsymbol{\omega} \end{pmatrix}$

역야코비 행렬은 병렬형 로봇의 운동학에서 매우 중요한 역할을 하며, 특히 제어 알고리즘에서 자주 사용된다. 그러나 야코비 행렬의 역행렬이 항상 존재하는 것은 아니다. 따라서 야코비 행렬이 특이점을 가지는 경우에는 대안적인 방법이 필요하다.

특이점(Singularity)

병렬형 로봇에서 특이점은 야코비 행렬이 비가역적이거나 순위가 떨어져서 역운동학을 풀 수 없게 되는 상황을 의미한다. 특이점에서는 플랫폼이 특정 방향으로 움직일 수 없거나, 아주 작은 힘이나 모멘트에도 큰 움직임이 발생할 수 있다.

야코비 행렬이 특이점을 가질 때, 운동학적 계산이 어려워지며, 시스템이 불안정해질 수 있다. 따라서 특이점 분석을 통해 병렬형 로봇의 작업 공간에서 이러한 상황을 회피할 수 있도록 설계해야 한다.

특이점은 야코비 행렬의 행렬식(det)이 0이 되는 경우 발생하며, 이를 방정식으로 나타내면 다음과 같다:

$\det(\mathbf{J}) = 0$

특이점에서 로봇의 작업 공간이 제약을 받아, 제어나 운동 계획에서 문제를 일으킬 수 있으므로 이를 고려한 설계 및 제어 방법이 필요하다.

병렬형 로봇의 작업 공간

병렬형 로봇의 작업 공간(Workspace)은 플랫폼이 도달할 수 있는 위치와 자세의 범위를 나타낸다. 병렬형 로봇의 작업 공간은 각 링크와 조인트의 제한 사항에 의해 정의되며, 병렬형 구조로 인해 일반적으로 작업 공간은 좁고 제한적이다.

작업 공간은 두 가지로 나눌 수 있다: - 입력 공간(Input Workspace): 조인트 각도의 범위에 따라 결정되는 공간이다. - 출력 공간(Output Workspace): 플랫폼이 도달할 수 있는 위치와 자세의 범위이다.

출력 공간은 병렬형 로봇의 구조와 각 조인트의 제한에 따라 정의되며, 로봇 설계 시 중요한 고려 요소이다. 병렬형 로봇의 출력 공간을 넓히기 위해서는 링크의 길이나 조인트의 범위를 조정하거나, 로봇의 기하학적 구조를 변경할 수 있다.

병렬형 로봇의 작업 공간 분석

병렬형 로봇의 작업 공간 분석은 로봇 설계 및 제어에서 매우 중요한 부분이다. 병렬형 로봇은 폐쇄 사슬 구조로 인해 작업 공간이 제한적이므로, 이를 효과적으로 설계하고 분석하는 것이 필수적이다. 작업 공간 분석은 플랫폼의 가능한 위치와 자세를 계산하고, 특정 작업을 수행할 수 있는 범위를 평가하는 과정이다.

작업 공간의 정의

병렬형 로봇의 작업 공간은 플랫폼이 도달할 수 있는 모든 위치와 방향을 나타내며, 일반적으로 다음 두 가지로 분류된다: - 가용 작업 공간(Reachable Workspace): 플랫폼이 어떤 자세로든 도달할 수 있는 공간이다. - 가용 자세 작업 공간(Orientation Workspace): 플랫폼이 특정 자세로 도달할 수 있는 공간이다.

작업 공간의 계산

작업 공간을 계산하는 방법은 크게 두 가지로 나눌 수 있다: 1. 기하학적 방법(Geometrical Method): 로봇의 링크 길이와 조인트 범위, 폐쇄 사슬의 구조를 바탕으로 작업 공간을 직접 계산하는 방법이다. 이 방법은 주로 병렬형 로봇의 설계 초기 단계에서 사용된다. 2. 수치적 방법(Numerical Method): 작업 공간의 경계와 각 링크의 위치를 반복적으로 계산하여 작업 공간을 추정하는 방법이다. 수치적 방법은 더 정밀한 작업 공간 분석이 필요할 때 사용된다.

작업 공간 분석의 목표는 로봇이 특정 작업을 수행할 수 있는 범위를 정확하게 평가하는 것이다. 이를 통해 로봇의 설계가 적절한지, 작업을 수행할 수 있는지 판단할 수 있다.

병렬형 로봇의 제한 요소

병렬형 로봇의 작업 공간에는 다음과 같은 제한 요소들이 있다: - 링크 길이 제한: 링크의 길이가 고정되어 있어 플랫폼의 이동 범위가 제한된다. - 조인트 범위 제한: 조인트 각도의 제한으로 인해 플랫폼의 자세 변화 범위가 제한된다. - 특이점(Singularity): 작업 공간 내에서 야코비 행렬이 특이점을 가지는 위치에서는 로봇의 움직임이 제한되거나 불안정해질 수 있다.

특이점은 특히 병렬형 로봇에서 중요한 문제로, 작업 공간 내의 특이점 위치를 파악하고 이를 회피하는 것이 중요하다.

병렬형 로봇의 제어 방법

병렬형 로봇의 제어는 각 링크와 조인트의 움직임을 정밀하게 조절하여 플랫폼을 원하는 위치와 자세로 이동시키는 과정이다. 병렬형 로봇은 여러 개의 폐쇄 사슬로 이루어져 있으므로, 제어 알고리즘은 각 사슬 간의 상호작용을 고려해야 한다. 병렬형 로봇의 제어는 주로 역운동학과 동적 제어를 기반으로 한다.

역운동학을 통한 제어

병렬형 로봇의 역운동학은 주어진 플랫폼의 위치 및 자세에서 각 링크의 길이와 조인트의 각도를 계산하는 과정이다. 이를 통해 플랫폼이 도달해야 하는 목표 위치에 도달하기 위한 각 조인트의 제어 명령을 계산할 수 있다.

동적 제어

동적 제어는 로봇의 속도와 가속도를 고려하여 제어하는 방법이다. 병렬형 로봇의 동적 제어는 링크의 질량, 조인트의 마찰, 중력 등을 고려하여 플랫폼의 동작을 정밀하게 제어한다. 병렬형 로봇은 여러 개의 링크와 조인트가 동시에 움직이므로, 동적 제어는 각 링크 간의 상호작용을 잘 처리해야 한다.

동적 제어에서 자주 사용되는 방정식은 뉴턴-오일러 방정식과 라그랑주 방정식이다. 이 방정식들을 통해 병렬형 로봇의 힘과 토크를 계산하고, 각 조인트에 필요한 제어 명령을 생성할 수 있다.

실시간 제어

병렬형 로봇의 제어는 실시간으로 이루어져야 한다. 각 조인트의 움직임을 실시간으로 모니터링하고, 필요한 제어 명령을 즉시 적용하여 로봇의 플랫폼이 원하는 위치와 자세를 정확히 유지할 수 있도록 해야 한다. 이를 위해서는 피드백 제어 시스템이 사용된다.

피드백 제어 시스템에서는 센서를 통해 로봇의 현재 위치와 자세를 실시간으로 측정하고, 목표 위치와의 차이를 보정하여 제어 명령을 생성한다. 병렬형 로봇의 피드백 제어 시스템은 주로 PID 제어가 사용된다.

병렬형 로봇의 동적 모델

병렬형 로봇의 동적 모델은 로봇의 각 링크와 조인트가 움직일 때 발생하는 힘과 토크를 계산하는 데 사용된다. 동적 모델링은 로봇의 질량 분포, 관성 모멘트, 마찰, 중력 등을 고려하여 시스템의 물리적인 거동을 설명한다.

라그랑주 역학

병렬형 로봇의 동적 모델을 구하기 위한 일반적인 방법 중 하나는 라그랑주 역학이다. 라그랑주 역학은 시스템의 운동 에너지 $T$ 와 위치 에너지 $V$ 를 기반으로 하며, 운동 방정식은 다음과 같이 유도된다:

$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = Q_i$

여기서: - $L$ 은 라그랑지안으로, $L = T - V$ (운동 에너지에서 위치 에너지를 뺀 값)이다. - $q_i$ 는 $i$ 번째 조인트의 위치 변수를 나타낸다. - $\dot{q}_i$ 는 $i$ 번째 조인트의 속도 변수를 나타낸다. - $Q_i$ 는 $i$ 번째 조인트에 작용하는 외부 힘 또는 토크이다.

운동 에너지

병렬형 로봇의 운동 에너지는 각 링크와 조인트의 질량과 속도에 의해 결정된다. 각 링크의 질량 $m_i$ 와 관성 모멘트 $\mathbf{I}_i$ 에 따라 운동 에너지는 다음과 같이 계산된다:

$T = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \left( m_i \mathbf{v}_i^T \mathbf{v}_i + \boldsymbol{\omega}_i^T \mathbf{I}_i \boldsymbol{\omega}_i \right)$

여기서: - $\mathbf{v}_i$ 는 $i$ 번째 링크의 선속도이다. - $\boldsymbol{\omega}_i$ 는 $i$ 번째 링크의 각속도이다.

위치 에너지

병렬형 로봇의 위치 에너지는 중력에 의한 위치 에너지를 고려하며, 각 링크의 질량과 위치에 의해 결정된다. 위치 에너지는 다음과 같이 정의된다:

$V = \sum_{i=1}^{n} m_i g h_i$

여기서: - $g$ 는 중력 가속도이다. - $h_i$ 는 $i$ 번째 링크의 높이이다.

라그랑지안을 통한 동적 방정식

운동 에너지와 위치 에너지를 사용하여 라그랑지안을 정의하고, 라그랑주 방정식을 통해 병렬형 로봇의 동적 모델을 유도할 수 있다. 동적 모델은 각 조인트의 움직임과 이에 대한 힘, 토크 사이의 관계를 설명하며, 이를 바탕으로 제어 알고리즘을 설계할 수 있다.

병렬형 로봇의 동적 제어

병렬형 로봇의 동적 제어는 로봇이 움직일 때 발생하는 힘과 토크를 계산하고 이를 제어하는 방법이다. 동적 제어는 주어진 목표 위치에 빠르고 정확하게 도달하도록 하며, 로봇이 안정적으로 동작하도록 보장한다.

피드백 제어 시스템

병렬형 로봇의 동적 제어에서 가장 많이 사용되는 방법은 피드백 제어 시스템이다. 피드백 제어 시스템에서는 로봇의 현재 위치와 목표 위치 간의 차이를 실시간으로 모니터링하고, 이를 보정하여 제어 명령을 생성한다.

피드백 제어 시스템의 대표적인 방법으로 PID 제어가 사용된다. PID 제어는 다음과 같은 세 가지 요소로 구성된다: - 비례 제어(Proportional control, P): 현재 오류의 크기에 비례하여 제어 명령을 생성한다. - 적분 제어(Integral control, I): 과거 오류의 누적에 따라 제어 명령을 조정한다. - 미분 제어(Derivative control, D): 오류의 변화율에 따라 제어 명령을 생성하여 미래의 오류를 예측한다.

PID 제어는 각 조인트에 필요한 토크를 계산하고, 이를 통해 로봇이 안정적으로 목표 위치에 도달할 수 있도록 한다.

적응 제어(Adaptive Control)

병렬형 로봇의 동적 모델은 링크의 질량이나 조인트의 마찰 등과 같은 물리적 파라미터에 따라 달라질 수 있다. 따라서 시스템의 파라미터가 변화하는 경우, 적응 제어(Adaptive Control)를 사용하여 실시간으로 제어 파라미터를 조정할 수 있다.

적응 제어는 시스템의 현재 상태를 기반으로 모델 파라미터를 추정하고, 이에 따라 제어 명령을 조정하여 로봇의 동작을 최적화한다. 적응 제어는 비선형 시스템이나 파라미터가 불확실한 시스템에서 특히 유용하다.

최적 제어(Optimal Control)

최적 제어는 병렬형 로봇의 움직임을 최적화하는 방법이다. 목표 위치에 도달하는 데 필요한 에너지를 최소화하거나, 주어진 시간 내에 목표를 달성하는 등의 최적화 문제를 해결하는 데 사용된다.

LQR(Linear Quadratic Regulator)는 최적 제어 방법 중 하나로, 제어 에너지와 상태 오류를 최소화하는 제어 입력을 계산한다. LQR은 병렬형 로봇의 동적 모델을 기반으로 제어 입력을 생성하며, 최적의 경로를 따라 로봇이 움직이도록 한다.