변위란 무엇인가?

변위(Displacement)는 물체가 특정한 시간 동안 이동한 위치의 변화를 의미한다. 변위는 이동 경로의 시작점에서 끝점까지의 직선 거리와 방향을 나타내는 벡터량이다. 이는 물체가 이동한 전체 경로를 반영하지 않고, 시작점과 끝점의 위치 차이만을 측정한다.

변위의 수학적 정의

변위를 수학적으로 정의하기 위해, 우선 물체의 위치(Position)를 나타내는 벡터 $\mathbf{r}$를 도입한다. 물체가 시간 $t_0$에서의 위치 $\mathbf{r}(t_0)$에서 시간 $t_1$에서의 위치 $\mathbf{r}(t_1)$로 이동했다고 가정하자. 이 경우, 변위 $\mathbf{\Delta r}$는 다음과 같이 정의된다:

여기서: - $\mathbf{r}(t_0)$는 시간 $t_0$에서의 물체의 위치를 나타내는 벡터, - $\mathbf{r}(t_1)$는 시간 $t_1$에서의 물체의 위치를 나타내는 벡터, - $\mathbf{\Delta r}$는 물체의 변위를 나타내는 벡터이다.

변위의 벡터적 특성

변위는 벡터량이므로 크기와 방향을 모두 가진다. 변위 벡터의 크기 $|\mathbf{\Delta r}|$는 물체가 이동한 직선 거리이며, 이는 다음과 같이 계산된다:

여기서: - $\Delta x = x_1 - x_0$는 물체가 $x$축에서 이동한 거리, - $\Delta y = y_1 - y_0$는 물체가 $y$축에서 이동한 거리, - $\Delta z = z_1 - z_0$는 물체가 $z$축에서 이동한 거리를 나타낸다.

2차원 좌표계에서의 변위

만약 물체가 2차원 평면에서 움직인다고 가정하면, 변위 벡터는 다음과 같이 간단해진다:

여기서 $\mathbf{i}$와 $\mathbf{j}$는 각각 $x$축과 $y$축의 단위 벡터를 나타낸다.

3차원 좌표계에서의 변위

물체가 3차원 공간에서 움직이는 경우, 변위 벡터는 다음과 같이 정의된다:

여기서: - $x_1, y_1, z_1$는 시간 $t_1$에서의 물체의 위치 좌표, - $x_0, y_0, z_0$는 시간 $t_0$에서의 물체의 위치 좌표, - $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$는 각각 $x$, $y$, $z$ 축의 단위 벡터를 나타낸다.

변위와 경로의 차이점

변위와 경로 길이는 혼동하기 쉬운 개념이지만, 이 둘은 근본적으로 다르다. 경로는 물체가 이동한 실제 경로의 길이를 의미하며, 이는 이동한 곡선 또는 복잡한 경로를 반영한다. 반면, 변위는 이동한 직선 거리와 방향을 나타내며, 물체의 시작점과 끝점만을 고려한다.

다음은 경로와 변위의 차이를 시각적으로 보여주는 다이어그램이다.

이 다이어그램에서: - 곡선 경로는 물체가 실제로 이동한 경로를 나타낸다. - 직선 경로는 변위를 나타내며, 시작점과 끝점을 직선으로 연결한 벡터이다.

변위 벡터의 방향

변위 벡터의 방향은 시작점에서 끝점으로 향하는 방향을 나타낸다. 만약 물체가 한 위치에서 다른 위치로 이동하면, 변위 벡터는 그 두 점을 연결하는 직선의 방향을 가진다. 이는 변위가 벡터량이라는 점에서 중요한 특징이며, 이를 통해 물체의 위치 변화를 보다 명확하게 설명할 수 있다.

변위의 시간 의존성

변위는 시간과 밀접한 관계가 있으며, 물체의 운동을 기술할 때 시간의 함수로 나타낼 수 있다. 시간 $t_0$에서 $t_1$까지의 변위는 두 시간 사이의 위치 변화를 반영한다. 이러한 변위는 시간의 함수로 표현될 수 있으며, 이를 통해 물체의 운동을 분석하는 기초가 된다.