Booil Jung

고유값과 고유벡터 완전 정복

행렬은 단순히 숫자를 사각형 격자에 배열한 것이 아니다. 행렬은 벡터 공간을 변환하는 동적인 연산자이며, 모든 선형 변환의 본질을 담고 있다. 그렇다면 이 변환의 ‘영혼’ 또는 ‘DNA’는 무엇일까? 어떤 행렬이 공간을 어떻게 늘리고, 회전시키고, 뒤트는지를 가장 근본적으로 설명하는 특성은 무엇일까? 그 해답은 바로 고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)에 있다.1

독일어 ‘eigen’은 ‘고유한’, ‘특유의’라는 의미를 가진다.2 이름에서 알 수 있듯이, 고유값과 고유벡터는 행렬, 즉 선형 변환 그 자체가 가진 고유한 특성을 나타낸다. 어떤 복잡한 변환이 일어나더라도, 그 속에는 방향이 변하지 않는 특별한 벡터들(고유벡터)이 존재하며, 이 벡터들은 단지 특정 비율(고유값)만큼 크기만 변할 뿐이다.

이 개념은 순수 수학의 영역을 넘어 우리 세계를 설명하는 강력한 도구로 자리 잡았다. 구글의 페이지랭크 알고리즘은 웹페이지의 중요도를 결정하기 위해 거대한 링크 행렬의 고유벡터를 계산하고 6, 양자역학에서는 슈뢰딩거 방정식을 고유값 문제로 풀어 원자의 안정적인 에너지 상태를 찾아낸다.8 또한, 공학자들은 다리나 건물의 진동을 분석하여 공명으로 인한 붕괴를 막기 위해 고유값을 사용한다.10

이 자습서는 고유값과 고유벡터의 세계를 탐험하는 완전한 안내서가 될 것이다. 우리는 가장 단순한 기하학적 직관에서 출발하여 엄밀한 수학적 정의와 계산법을 익히고, 대각화와 같은 핵심 이론을 심도 있게 파고들 것이다. 나아가, 이 개념들이 현대 과학과 기술의 다양한 분야에서 어떻게 세상을 움직이는지 구체적인 응용 사례를 통해 살펴볼 것이다. 이 여정을 통해 독자들은 고유값과 고유벡터가 단순한 계산 절차를 넘어, 복잡한 시스템의 근본적인 구조를 드러내는 강력한 렌즈임을 이해하게 될 것이다.

고유값과 고유벡터의 엄밀한 수학적 정의에 앞서, 이들이 기하학적으로 무엇을 의미하는지 직관적으로 이해하는 것이 중요하다. 행렬을 숫자의 집합이 아닌, 공간을 움직이고 변형시키는 동적인 힘으로 상상해 보자.

선형대수학의 중심에는 선형 변환(linear transformation)이라는 개념이 있다. 이는 한 벡터를 다른 벡터로 옮기는 규칙으로, 행렬 곱셈을 통해 구현된다. $n \times n$ 행렬 A와 벡터 v가 주어졌을 때, Av는 행렬 A가 벡터 v에 가하는 변환의 결과를 나타내는 새로운 벡터이다.11

이 변환은 여러 가지 형태로 나타날 수 있다 6:

2차원 평면 위의 모든 벡터들이 행렬 변환에 의해 새로운 위치로 이동하는 모습을 상상해 보라. 대부분의 벡터는 원래의 방향과 크기가 모두 변하게 된다. 이처럼 공간 전체가 역동적으로 움직이는 와중에, 우리는 특별한 벡터에 주목하게 된다.

복잡한 변환 속에서도, 어떤 벡터들은 변환 후에도 자신의 원래 방향을 그대로 유지한다. 방향이 바뀌지 않거나, 정확히 180도 반대 방향으로 뒤집힐 뿐, 여전히 원래 벡터가 놓여 있던 직선 위에 존재한다.2 이 특별한 벡터들이 바로 해당 변환의 고유벡터(eigenvector)이다.

고유벡터는 변환의 ‘축’ 또는 ‘골격’과 같다.11 공간의 모든 벡터들이 이 축을 중심으로 움직이고 변형된다. 고유벡터는 변환의 영향을 받지 않는다는 의미가 아니라, 변환의 효과가 가장 단순하게 나타나는 방향이라는 의미이다.

예를 들어, 수평 방향으로만 2배 늘리는 변환을 생각해 보자.

고유벡터는 하나로 유일하게 정해지지 않는다. 어떤 고유벡터와 같은 방향(또는 반대 방향)에 있는 모든 0이 아닌 벡터는 같은 고유벡터의 성질을 가진다. 이 고유벡터들이 모여 이루는 직선이나 평면, 즉 부분 공간을 고유공간(eigenspace)이라고 부른다.6 고유공간은 변환에 의해 자기 자신으로 사상되는 안정적인 공간이다.

고유벡터가 변환의 ‘방향’을 알려준다면, 고유값(eigenvalue) $\lambda$는 그 방향으로 얼마나 변했는지, 즉 ‘크기’의 변화를 알려주는 스칼라 값이다.4 고유값은 고유벡터가 변환에 의해 얼마나 늘어나거나 줄어드는지를 나타내는 배율이다.

고유값 $\lambda$의 값에 따라 변환의 성격이 다음과 같이 결정된다:

몇 가지 기본적인 변환의 고유값과 고유벡터를 살펴보면 직관을 더욱 확고히 할 수 있다.

이처럼 고유값과 고유벡터를 찾는 것은 단순히 방정식을 푸는 행위가 아니라, 주어진 선형 변환의 가장 본질적인 기하학적 특성, 즉 변하지 않는 축과 그 축에서의 스케일링 효과를 밝혀내는 과정이다. 이 기하학적 통찰은 행렬의 대수적 속성들이 왜 중요한지, 그리고 왜 이 개념들이 수많은 물리적, 데이터 기반 문제에 적용될 수 있는지를 이해하는 열쇠가 된다.

기하학적 직관을 바탕으로 이제 고유값과 고유벡터를 수학적으로 엄밀하게 정의하고 계산하는 방법을 살펴보자. 이 과정은 직관을 구체적인 수식으로 변환하고, 어떤 행렬이 주어지더라도 그 고유한 특성을 찾아낼 수 있는 체계적인 도구를 제공한다.

1장에서 살펴본 기하학적 관계, 즉 “행렬 A에 의한 변환 결과 Av가 원래 벡터 v와 방향이 같고 크기만 $\lambda$배 변한다”는 것을 하나의 방정식으로 표현할 수 있다.

$n \times n$ 정방행렬 A에 대하여, 0이 아닌 벡터 v와 스칼라 $\lambda$가 다음 방정식을 만족할 때, \(Av = \lambda v\) $\lambda$를 행렬 A의 고유값(eigenvalue)이라 하고, v를 고유값 $\lambda$에 대응하는 고유벡터(eigenvector)라고 한다.4

여기서 v는 영벡터가 아니어야 한다는 조건이 매우 중요하다. 만약 v=0이라면 A0 = \lambda 0은 모든 $\lambda$에 대해 항상 성립하므로 의미 있는 정보를 주지 못하기 때문이다.19

고유값 $\lambda$를 어떻게 찾을 수 있을까? 해답은 고유값 방정식 자체에 숨어 있다. 우리는 이 방정식을 논리적으로 변형하여 $\lambda$를 구하기 위한 새로운 방정식을 유도할 것이다.

  1. 방정식 재정렬: 고유값 방정식 Av = $\lambda$v에서 우변을 좌변으로 이항한다. \(Av - \lambda v = 0\) 항등행렬 도입: 좌변의 두 항을 행렬 연산으로 묶기 위해, 스칼라 $\lambda$를 행렬 형태로 바꿔준다. 벡터 v에 항등행렬 I를 곱해도 v는 변하지 않으므로($Iv = v$), $\lambda v$를 $\lambda I v$로 쓸 수 있다.12 \(Av - \lambda I v = 0\) 벡터 인수분해: 이제 공통 인수인 벡터 v를 묶어낸다. \((A - \lambda I)v = 0\) 비자명 해의 조건: 이 방정식은 v에 대한 동차 선형 연립방정식이다. 우리는 정의에 따라 v $\neq$ 0인 비자명 해(non-trivial solution)를 찾고 있다. 동차 선형 연립방정식이 비자명 해를 가질 필요충분조건은 계수 행렬, 즉 (A - $\lambda$I)가 비가역(singular, non-invertible) 행렬이어야 한다는 것이다.24 만약 (A -

    $\lambda$I)가 가역(invertible)이라면, 유일한 해는 v = (A - \lambda I)^{-1}0 = 0인 자명한 해(trivial solution)뿐이기 때문이다.

  2. 행렬식 조건: 정방행렬이 비가역일 필요충분조건은 그 행렬식이 0이라는 것이다. 따라서 비자명 해 v가 존재하려면 다음 조건이 반드시 만족되어야 한다. \(\det(A - \lambda I) = 0\) 이 방정식을 행렬 A의 특성방정식(characteristic equation)이라고 한다.24

특성방정식 $\det(A - \lambda I) = 0$의 좌변은 $\lambda$에 대한 다항식이며, 이를 특성다항식(characteristic polynomial)이라고 한다.28 행렬 A의 고유값들은 바로 이 특성다항식의 근(root)이다.29

따라서 고유값을 찾는 과정은 특성방정식을 세우고, 이 다항방정식을 풀어 모든 근 $\lambda$를 찾는 것으로 귀결된다. $n \times n$ 행렬의 경우, 특성다항식은 n차 다항식이므로, 중근을 포함하여 n개의 고유값을 가진다 (복소수 범위까지 포함).

고유값 $\lambda$를 구했다면, 이제 각 고유값에 대응하는 고유벡터를 찾을 차례이다. 이는 앞서 유도한 동차 연립방정식 (A - \lambda I)v = 0으로 돌아가서 해결한다.32

구체적인 고유값(예: $\lambda_1$)을 이 식에 대입하면, (A - $\lambda_1$I)는 모든 원소가 숫자로 이루어진 행렬이 된다. 이제 우리는 이 행렬의 영공간(null space), 즉 (A - \lambda_1 I)v = 0을 만족하는 모든 벡터 v의 집합을 찾으면 된다.31 이 영공간에 속하는 모든 0이 아닌 벡터가 바로 고유값 $\lambda_1$에 대응하는 고유벡터이다.

고유벡터는 유일하지 않다. 어떤 고유벡터 v에 0이 아닌 임의의 상수 c를 곱한 cv 역시 같은 고유값에 대한 고유벡터가 된다.3 이는 고유벡터가 ‘방향’을 나타내기 때문이다. 따라서 고유벡터를 구할 때는 보통 계산이 간편한 정수 벡터를 선택하거나, 크기를 1로 만드는 정규화(normalization) 과정을 거친다.15

아래 표는 2x2와 3x3 행렬에 대한 고유값과 고유벡터를 구하는 전체 과정을 단계별로 보여준다.

표 2.1: 2x2 행렬의 고유값 및 고유벡터 계산

단계 설명 예제: $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \ 2 & 1 \end{pmatrix}$
1 특성방정식 설정 행렬 (A - \lambda I)를 구성한다. $A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2 & 3 \ 2 & 1 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 3 \ 2 & 1-\lambda \end{pmatrix}$
2 특성다항식 계산 $\det(A - \lambda I) = 0$을 계산한다. $(2-\lambda)(1-\lambda) - (3)(2) = 0$ $\lambda^2 - 3\lambda + 2 - 6 = 0$ $\lambda^2 - 3\lambda - 4 = 0$
3 고유값 계산 특성방정식을 푼다. $(\lambda-4)(\lambda+1) = 0$ 따라서 고유값은 $\lambda_1 = 4$, $\lambda_2 = -1$ 이다.
4 고유벡터 계산 (for $\lambda_1 = 4$) $(A - 4I)v = 0$을 푼다. $\begin{pmatrix} 2-4 & 3 \ 2 & 1-4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 3 \ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}$ $-2v_1 + 3v_2 = 0 \implies 2v_1 = 3v_2$. $v_1=3, v_2=2$로 두면, 고유벡터는 $v_1 = \begin{pmatrix} 3 \ 2 \end{pmatrix}$ 이다.
5 고유벡터 계산 (for $\lambda_2 = -1$) $(A - (-1)I)v = 0$ 즉, $(A + I)v = 0$을 푼다. $\begin{pmatrix} 2+1 & 3 \ 2 & 1+1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}$ $3v_1 + 3v_2 = 0 \implies v_1 = -v_2$. $v_1=1, v_2=-1$로 두면, 고유벡터는 $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \ -1 \end{pmatrix}$ 이다.

계산 과정 참조: 16

표 2.2: 3x3 행렬의 고유값 및 고유벡터 계산

단계 설명 예제: $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \ -1 & 2 & -1 \ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$
1 특성방정식 설정 행렬 (A - \lambda I)를 구성한다. $A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & -1 & 0 \ -1 & 2-\lambda & -1 \ 0 & -1 & 1-\lambda \end{pmatrix}$
2 특성다항식 계산 $\det(A - \lambda I) = 0$을 계산한다. (예: 1행에 대한 여인수 전개) $(1-\lambda) \begin{vmatrix} 2-\lambda & -1 \ -1 & 1-\lambda \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} -1 & -1 \ 0 & 1-\lambda \end{vmatrix} = 0$ $(1-\lambda)[(2-\lambda)(1-\lambda)-1] + [-(1-\lambda)] = 0$ $(1-\lambda)[\lambda^2-3\lambda+2-1] - (1-\lambda) = 0$ $(1-\lambda)(\lambda^2-3\lambda+1) - (1-\lambda) = 0$ $(1-\lambda)(\lambda^2-3\lambda) = 0 \implies -\lambda(\lambda-1)(\lambda-3) = 0$
3 고유값 계산 특성방정식을 푼다. 따라서 고유값은 $\lambda_1 = 3$, $\lambda_2 = 1$, $\lambda_3 = 0$ 이다.
4 고유벡터 계산 (for $\lambda_1 = 3$) $(A - 3I)v = 0$을 푼다. $\begin{pmatrix} -2 & -1 & 0 \ -1 & -1 & -1 \ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}$ 행렬을 행 간소 사다리꼴로 변환하면 $v_1=v_3, v_2=-2v_3$을 얻는다. $v_3=1$로 두면, 고유벡터는 $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \ -2 \ 1 \end{pmatrix}$ 이다.
5 고유벡터 계산 (for $\lambda_2 = 1$) $(A - I)v = 0$을 푼다. $\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \ -1 & 1 & -1 \ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}$ 행렬을 변환하면 $v_2=0, v_1=-v_3$을 얻는다. $v_3=1$로 두면, 고유벡터는 $v_2 = \begin{pmatrix} -1 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}$ 이다.
6 고유벡터 계산 (for $\lambda_3 = 0$) $(A - 0I)v = Av = 0$을 푼다. $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \ -1 & 2 & -1 \ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}$ 행렬을 변환하면 $v_1=v_3, v_2=v_3$을 얻는다. $v_3=1$로 두면, 고유벡터는 $v_3 = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix}$ 이다.

계산 과정 참조: 31

이처럼 고유값과 고유벡터를 계산하는 과정은 추상적인 정의를 구체적인 계산 절차로 연결하는 다리 역할을 한다. 이 절차를 이해하고 나면, 어떤 행렬이 주어져도 그 행렬의 핵심적인 특성을 분석할 준비가 된 것이다.

고유값과 고유벡터를 계산하는 방법을 익혔으니, 이제 이와 관련된 더 깊은 개념들을 탐구할 시간이다. 이 개념들은 행렬의 구조를 더욱 근본적으로 이해하고, 행렬을 더 간단한 형태로 분해하는 강력한 도구를 제공한다.

하나의 고유값 $\lambda$에 대응하는 고유벡터는 유일하지 않다. 사실, 그 고유값에 대응하는 모든 고유벡터들의 집합에 영벡터를 추가하면, 이는 벡터공간의 성질을 만족하는 부분공간(subspace)을 이룬다. 이 부분공간을 고유값 $\lambda$에 대한 고유공간(eigenspace)이라고 하며, $E_{\lambda}$로 표기한다.44

수학적으로, $E_{\lambda}$는 동차 연립방정식 $(A - \lambda I)v = 0$의 해공간, 즉 행렬 (A - $\lambda$I)의 영공간(null space)과 같다.36 영공간은 항상 부분공간이므로, 고유공간 역시 부분공간의 모든 성질(덧셈에 대해 닫혀 있고, 스칼라 곱에 대해 닫혀 있음)을 만족한다. 기하학적으로 고유공간은 원점을 지나는 직선, 평면, 또는 더 높은 차원의 공간으로 나타난다.

하나의 고유값이 여러 번 나타날 수 있다. 이를 설명하기 위해 두 가지 ‘중복도’ 개념이 사용된다.

이 두 중복도 사이에는 매우 중요한 관계가 있다. 어떤 고유값 $\lambda$에 대해서든, 그 기하적 중복도는 대수적 중복도보다 크거나 같을 수 없다. \(1 \le \text{GM}(\lambda) \le \text{AM}(\lambda)\) 이 부등식은 행렬의 가장 중요한 성질 중 하나인 대각화 가능성을 결정하는 핵심 열쇠가 된다.47

많은 경우, 행렬 A가 나타내는 복잡한 선형 변환을 더 단순한 형태로 분해할 수 있다. 대각화(diagonalization)는 행렬 A를 세 행렬의 곱, $A = PDP^{-1}$로 표현하는 과정이다.14

대각화의 의미와 힘:

대각화는 좌표계의 변환으로 이해할 수 있다. 행렬 P는 표준 좌표계에서 고유벡터로 이루어진 고유기저(eigenbasis)로의 ‘변환’을 수행한다. 이 고유기저에서는 원래의 복잡한 변환 A가 단순히 각 축을 고유값만큼 스케일링하는 대각행렬 D로 표현된다. $P^{-1}$는 다시 원래의 표준 좌표계로 돌아오는 역할을 한다.51 즉, 복잡한 변환을 (1) 고유기저로 이동, (2) 단순한 스케일링, (3) 원래 기저로 복귀라는 세 단계로 분해하는 것이다.

대각화의 가장 큰 장점 중 하나는 행렬의 거듭제곱을 매우 쉽게 계산할 수 있다는 점이다. \(A^k = (PDP^{-1})^k = (PDP^{-1})(PDP^{-1})\cdots(PDP^{-1}) = PD(P^{-1}P)D(P^{-1}P)\cdots DP^{-1} = PD^kP^{-1}\) 대각행렬 D의 거듭제곱 $D^k$는 단순히 각 대각 원소를 k제곱하는 것이므로 계산이 매우 간단하다.49 이 속성은 마르코프 연쇄나 미분방정식 시스템처럼 시간이 지남에 따라 변화하는 시스템을 분석하는 데 결정적인 역할을 한다.1

대각화 가능성 정리 (The Diagonalization Theorem):

$n \times n$ 행렬 A가 대각화 가능하다는 것은 다음 조건들과 동치이다 49:

  1. A가 n개의 선형 독립인 고유벡터를 갖는다.
  2. 모든 고유값에 대해, 기하적 중복도와 대수적 중복도가 같다 ($\text{GM}(\lambda) = \text{AM}(\lambda)$).54

고유값과 고유벡터의 세계는 다양한 현상을 포함한다. 이를 몇 가지 중요한 범주로 나누어 볼 수 있다.

결론적으로, 대수적 중복도와 기하적 중복도 사이의 관계는 행렬의 ‘성격’을 결정하는 최종 심판관과 같다. 이 관계는 변환이 순수한 ‘늘림/줄임’으로 분해될 수 있는지(대각화 가능), 아니면 분해할 수 없는 ‘비틀림’ 요소를 포함하는지(결함 있음)를 판별한다. 이 구분은 단순한 수학적 호기심을 넘어, 시스템의 동적 거동을 이해하는 데 깊은 물리적 의미를 가진다.

지금까지 우리는 특성방정식을 직접 풀어 고유값을 찾는 대수적인 방법을 배웠다. 하지만 이 방법은 작은 크기의 행렬에나 적용 가능하며, 현실의 대규모 문제에서는 거의 사용되지 않는다. 이 장에서는 컴퓨터가 실제로 거대 행렬의 고유값을 계산하는 데 사용하는 강력한 수치적 알고리즘들을 소개한다.

왜 우리는 대수적 방법만으로는 부족할까? 그 이유는 아벨-루피니 정리(Abel-Ruffini theorem)에 있다. 이 정리에 따르면, 일반적인 5차 이상의 다항방정식은 사칙연산과 거듭제곱근만으로는 해를 구할 수 있는 일반 공식이 존재하지 않는다. $n \times n$ 행렬의 특성방정식은 n차 다항식이므로, n $\ge$ 5인 행렬에 대해서는 특성방정식의 근, 즉 고유값을 대수적으로 정확히 구하는 것이 불가능하다.61

따라서 실제 공학, 과학, 데이터 분석 문제에서 마주치는 거대한 행렬(수천, 수만 차원)의 고유값을 찾기 위해서는 반드시 반복적인(iterative) 수치해석적 방법이 필요하다.

거듭제곱법은 가장 개념적으로 간단하고 직관적인 고유값 알고리즘이다. 이 방법은 행렬의 모든 고유값 중 절댓값이 가장 큰 주 고유값(dominant eigenvalue)과 그에 대응하는 고유벡터를 찾아낸다.62

거듭제곱법이 단 하나의 (가장 큰) 고유값만 찾는 반면, QR 알고리즘은 현대 수치 선형대수 라이브러리에서 행렬의 모든 고유값을 찾는 표준적인 방법으로 사용되는 매우 강력하고 안정적인 알고리즘이다.61

QR 알고리즘은 대수적 해법에서 수치적 수렴으로의 패러다임 전환을 상징한다. 이는 현대 응용 수학의 핵심 주제로, 이론적으로 완벽한 해를 찾는 대신, 대규모 문제에 대해 계산적으로 실현 가능한 근사 해를 찾는 것의 중요성을 보여준다.

고유값과 고유벡터는 이론적인 개념을 넘어, 다양한 과학 및 공학 분야에서 복잡한 문제를 해결하는 데 사용되는 실용적인 도구이다. 이 장에서는 고유값과 고유벡터가 어떻게 현실 세계의 문제들을 해결하는지 구체적인 사례를 통해 살펴본다. 각 사례에서 우리는 (1) 해결하고자 하는 문제, (2) 문제를 모델링하는 행렬, (3) 고유값과 고유벡터의 해석이라는 일관된 틀로 접근할 것이다.

표 5.1: 고유값 및 고유벡터 응용 요약

응용 분야 핵심 문제 관련 행렬 고유값의 의미 고유벡터의 의미
주성분 분석 (PCA) 데이터의 차원 축소 및 핵심 구조 파악 공분산 행렬 (Covariance Matrix) 각 주성분이 설명하는 데이터의 분산(정보량) 주성분(Principal Components), 데이터 분산이 가장 큰 방향
페이지랭크 (PageRank) 웹페이지의 상대적 중요도 순위 결정 구글 행렬 (Google Matrix) 시스템의 안정성 (주 고유값 = 1) 페이지랭크 벡터, 웹페이지의 중요도 점수
양자역학 양자 시스템의 허용된 에너지 준위 결정 해밀토니안 연산자 (Hamiltonian Operator) 양자화된 에너지 준위 정상 상태(Stationary States)의 파동함수
진동 분석 구조물의 공명 방지를 위한 고유 진동수 파악 강성/질량 행렬 (Stiffness/Mass Matrix) 고유 진동수의 제곱 (진동의 빠르기) 모드 형상 (Mode Shapes), 진동 시의 변형 형태
경제/금융 동적 시스템의 안정성 분석 및 포트폴리오 최적화 전이/공분산 행렬 (Transition/Covariance Matrix) 안정성(크기<1), 리스크의 크기 안정 상태, 독립적인 리스크 포트폴리오
스펙트럼 군집화 비선형적 데이터의 군집 발견 그래프 라플라시안 (Graph Laplacian) 군집의 개수 (0의 개수) 데이터를 선형 분리 가능한 저차원 공간으로 사영
  1. Machine Learning & Linear Algebra - Eigenvalue and eigenvector by Jonathan Hui, accessed July 20, 2025, https://jonathan-hui.medium.com/machine-learning-linear-algebra-eigenvalue-and-eigenvector-f8d0493564c9
  2. Eigen Intuitions: Understanding Eigenvectors and Eigenvalues - Towards Data Science, accessed July 20, 2025, https://towardsdatascience.com/eigen-intuitions-understanding-eigenvectors-and-eigenvalues-630e9ef1f719/
  3. Chapter 12 Eigenvalues and Eigenvectors Linear Algebra for Data Science, accessed July 20, 2025, https://shainarace.github.io/LinearAlgebra/eigen.html
  4. Eigenvalues and eigenvectors - Wikipedia, accessed July 20, 2025, https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors
  5. Math Origins: Eigenvectors and Eigenvalues Mathematical Association of America, accessed July 20, 2025, https://old.maa.org/press/periodicals/convergence/math-origins-eigenvectors-and-eigenvalues
  6. Eigenvectors and Eigenvalues explained visually - Setosa.IO, accessed July 20, 2025, https://setosa.io/ev/eigenvectors-and-eigenvalues/
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  8. chem.libretexts.org, accessed July 20, 2025, https://chem.libretexts.org/Bookshelves/Physical_and_Theoretical_Chemistry_Textbook_Maps/Physical_Chemistry_(LibreTexts)/03%3A_The_Schrodinger_Equation_and_a_Particle_in_a_Box/3.03%3A_The_Schrodinger_Equation_is_an_Eigenvalue_Problem#:~:text=Both%20time%2Ddependent%20and%20time,levels%20of%20the%20quantum%20system.&text=The%20object%20on%20the%20left,an%20example%20of%20an%20operator.
  9. Unlocking Eigenvalues in Quantum Mechanics - Number Analytics, accessed July 20, 2025, https://www.numberanalytics.com/blog/eigenvalues-in-quantum-mechanics-for-quantum-computing
  10. Applications of Eigenvalues and Eigenvectors - GeeksforGeeks, accessed July 20, 2025, https://www.geeksforgeeks.org/engineering-mathematics/applications-of-eigenvalues-and-eigenvectors/
  11. How to intuitively understand eigenvalue and eigenvector? - Mathematics Stack Exchange, accessed July 20, 2025, https://math.stackexchange.com/questions/243533/how-to-intuitively-understand-eigenvalue-and-eigenvector
  12. I need an intuitive explanation of eigenvalues and eigenvectors - Math Stack Exchange, accessed July 20, 2025, https://math.stackexchange.com/questions/1814197/i-need-an-intuitive-explanation-of-eigenvalues-and-eigenvectors
  13. 고유벡터/고유값을 어떻게 직관적으로 이해할 수 있을까? : r/learnmath - Reddit, accessed July 20, 2025, https://www.reddit.com/r/learnmath/comments/10zznq9/how_can_i_intuitively_understand/?tl=ko
  14. 고유값, 고유벡터, 고유값 분해 - Ruby, Data - 티스토리, accessed July 20, 2025, https://jaaamj.tistory.com/66
  15. 머신러닝 - 19. 고유값(eigenvalue), 고유벡터(eigenvector), 고유값 분해(eigen decomposition) - 귀퉁이 서재 - 티스토리, accessed July 20, 2025, https://bkshin.tistory.com/entry/%EB%A8%B8%EC%8B%A0%EB%9F%AC%EB%8B%9D-19-%ED%96%89%EB%A0%AC
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