힐베르트 공간(Hilbert space)은 유한 차원 유클리드 공간에서 익숙한 기하학적 직관, 즉 길이, 거리, 각도, 직교성과 같은 개념들을 무한 차원의 추상적인 공간으로 확장한 현대 수학의 핵심적인 구조이다.1 이 공간은 함수나 수열과 같은 추상적 객체들을 마치 기하학적 벡터처럼 다룰 수 있게 하는 강력하고 일관된 이론적 틀을 제공한다.2 힐베르트 공간은 대수적 구조(벡터 공간), 기하학적 구조(내적), 그리고 해석학적 구조(완비성)가 유기적으로 결합된 결정체로서, 함수해석학의 발전에 지대한 공헌을 하였다.
그 역사적 뿌리는 20세기 초로 거슬러 올라간다. 독일의 위대한 수학자 다비트 힐베르트(David Hilbert)와 그의 제자 에르하르트 슈미트(Erhard Schmidt)는 1906년에서 1908년 사이, 적분 방정식에 관한 연구를 수행하던 중 오늘날 $L^2$ 공간으로 알려진 제곱 적분 가능 함수 공간의 성질을 깊이 탐구하였다.1 이것이 무한 차원 내적 공간에 대한 최초의 체계적인 연구로, 힐베르트 공간 개념의 효시가 되었다. 이후 1929년, 헝가리 출신의 천재 수학자 존 폰 노이만(John von Neumann)은 이러한 구체적인 함수 공간의 성질들을 추상화하여 ‘완비 내적 공간’이라는 공리적 정의를 확립함으로써 힐베르트 공간 이론을 현대적인 형태로 완성시켰다.1 이처럼 힐베르트 공간 이론의 발전 과정은 구체적인 문제 해결의 필요성에서 출발하여 보편적이고 강력한 일반 이론으로 승화하는 수학 발전의 전형적인 양상을 보여준다.
힐베르트 공간의 학문적 중요성은 순수 수학의 영역을 넘어 과학과 공학의 전 분야에 걸쳐 지대한 영향을 미치고 있다는 점에서 찾을 수 있다. 물리학, 특히 양자역학에서는 힐베르트 공간이 없이는 이론을 기술하는 것 자체가 불가능하다. 양자 시스템의 상태는 힐베르트 공간의 벡터로, 관측 가능한 물리량은 그 공간 위의 작용소로 표현된다.2 또한, 신호의 시간적 정보와 주파수 정보를 연결하는 푸리에 해석은 $L^2$ 힐베르트 공간 위에서 가장 자연스럽고 강력한 형태로 전개된다.1 더 나아가 통계학과 현대 기계 학습 이론에서는 재생산 커널 힐베르트 공간(RKHS)이라는 특수한 힐베르트 공간을 이용하여 고차원 데이터의 비선형 패턴을 분석하는 등, 그 응용 범위는 지금도 계속해서 확장되고 있다.6
본 보고서는 이처럼 현대 수학과 과학의 근간을 이루는 힐베르트 공간에 대한 심층적인 고찰을 목적으로 한다. 제1장에서는 내적, 노름, 완비성과 같은 기본 개념들을 통해 힐베르트 공간을 공리적으로 엄밀하게 정의하고, 바나흐 공간과의 관계를 규명한다. 제2장에서는 직교성, 정규 직교 기저 등 힐베르트 공간의 풍부한 기하학적 구조를 탐구한다. 제3장에서는 유클리드 공간, 수열 공간 $\ell^2$, 함수 공간 $L^2$와 같은 대표적인 예시들을 살펴본다. 제4장에서는 사영 정리, 리스 표현 정리와 같이 힐베르트 공간 이론의 근간을 이루는 핵심적인 정리들을 증명하고 그 의미를 분석한다. 제5장에서는 힐베르트 공간 위에 정의되는 선형 작용소와 스펙트럼 이론을 다룬다. 마지막으로 제6장에서는 양자역학, 신호 처리, 기계 학습 등 구체적인 응용 분야에서 힐베르트 공간이 어떻게 활용되는지를 상세히 고찰함으로써 이론과 실제의 연결을 명확히 할 것이다.
힐베르트 공간을 이해하기 위한 첫걸음은 그 구조를 구성하는 기본 요소들을 순차적으로 쌓아 올리는 것이다. 이 과정은 대수적 구조인 벡터 공간에서 시작하여 기하학적 개념인 내적을 도입하고, 이를 통해 해석학의 핵심인 완비성으로 나아가는 논리적 여정이다.
힐베르트 공간의 가장 근본적인 구성 요소는 내적(inner product)이다. 내적은 벡터 공간에 기하학적 구조를 부여하는 연산이다. 체 $\mathbb{F}$ (여기서 $\mathbb{F}$는 실수 집합 $\mathbb{R}$ 또는 복소수 집합 $\mathbb{C}$이다) 위의 벡터 공간 $V$가 주어졌을 때, 내적 $\langle \cdot, \cdot \rangle$은 $V$의 두 벡터 $x, y$를 입력받아 스칼라 값 $\langle x, y \rangle \in \mathbb{F}$를 반환하는 함수, 즉 사상 $\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{F}$로서 다음의 세 가지 공리를 만족해야 한다.8
이러한 내적이 정의된 벡터 공간을 내적 공간(inner product space) 또는 준-힐베르트 공간(pre-Hilbert space)이라 부른다.4 내적은 두 벡터 간의 유사도나 각도와 같은 기하학적 관계를 정량화하는 역할을 한다.2 가장 친숙한 예는 $n$차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$에서의 표준 내적, 즉 점곱(dot product)이다. 두 벡터 $x=(x_1, \dots, x_n)$과 $y=(y_1, \dots, y_n)$에 대하여 내적은 $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i$로 정의된다.10
내적의 도입은 자연스럽게 공간에 길이와 거리의 개념을 부여한다. 내적의 양의 정부호성 공리 $\langle x, x \rangle \ge 0$는 $\langle x, x \rangle$를 벡터 $x$의 길이 제곱으로 해석할 수 있는 근거를 제공한다. 이로부터 노름(norm) 또는 벡터의 길이(length)를 다음과 같이 정의할 수 있다.12 \(\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}\) 이렇게 내적으로부터 유도된 노름을 ‘내적과 연관된 놈(associated norm)’이라고 부른다.12 이 노름은 다시 두 벡터 $x$와 $y$ 사이의 거리(metric)를 정의하는 자연스러운 방법을 제공한다. \(d(x, y) = \|x - y\| = \sqrt{\langle x-y, x-y \rangle}\) 이 거리 함수 $d$는 거리 공간의 공리(비음성, 동일성, 대칭성, 삼각 부등식)를 모두 만족한다. 따라서 모든 내적 공간은 필연적으로 노름 공간(normed space)이자 거리 공간(metric space)이 되며, 이는 공간에 위상(topology) 구조를 부여한다.1 위상 구조의 존재는 열린 집합, 닫힌 집합, 수렴, 연속성과 같은 해석학의 핵심 개념들을 내적 공간 위에서 논할 수 있게 되는 기반을 마련해준다.
이처럼 힐베르트 공간의 구조는 단일 개념인 ‘내적’에서부터 유기적으로 파생되는 연쇄적인 특징을 보인다. 대수적 구조인 벡터 공간에 기하학적 연산인 내적이 더해지면, 이는 자연스럽게 해석학적 구조인 노름, 거리, 위상으로 이어진다. $\text{내적} \to \text{노름} \to \text{거리} \to \text{위상}$으로 이어지는 이 논리적 흐름은 힐베르트 공간 이론이 갖는 내적 일관성과 강력함의 근원이다. 하나의 내적 연산이 기하학과 해석학을 아우르는 풍부한 구조를 모두 생성한다는 사실은 힐베르트 공간이 다른 추상 공간들에 비해 상대적으로 다루기 쉬운 이유를 설명하는 핵심적인 통찰이라 할 수 있다.
해석학적 논의를 엄밀하게 전개하기 위해서는 극한 연산이 잘 정의되어야 한다. 이를 보장하는 핵심적인 성질이 바로 완비성(completeness)이다.4 완비성을 이해하기 위해서는 먼저 코시 수열(Cauchy sequence)의 개념을 알아야 한다. 거리 공간 $(X, d)$ 안의 점렬(sequence) ${x_n}_{n=1}^\infty$이 코시 수열이라는 것은, 수열의 항들이 진행될수록 서로에게 “무한히 가까워지는” 것을 의미한다. 수학적으로는, 임의의 양수 $\epsilon > 0$에 대하여 적당한 자연수 $N$이 존재하여, $m, n > N$이기만 하면 항상 $d(x_m, x_n) < \epsilon$이 성립하는 수열을 말한다.14
모든 수렴하는 수열은 코시 수열이지만, 그 역은 항상 성립하지 않는다. 예를 들어, 유리수의 집합 $\mathbb{Q}$에서 원주율 $\pi$의 십진 표현 3, 3.1, 3.14, 3.141,... 로 구성된 수열은 코시 수열이지만, 그 극한값인 $\pi$는 $\mathbb{Q}$에 속하지 않으므로 $\mathbb{Q}$ 안에서는 수렴하지 않는다. 이처럼 “수렴하는 것처럼 보이는” 모든 코시 수열이 실제로 그 공간 안의 한 점으로 수렴할 때, 그 공간을 완비(complete)하다고 한다.2 실수의 집합 $\mathbb{R}$은 유리수 공간 $\mathbb{Q}$의 이러한 ‘구멍’들을 모두 메운 완비 공간의 대표적인 예이다.14
완비성은 극한 연산에 대해 공간이 ‘닫혀 있음’을 보장하기 때문에 지극히 중요하다. 이 성질이 없다면, 미분이나 적분과 같은 해석학의 근본적인 도구들을 자유롭게 사용할 수 없게 된다.16 예를 들어, 함수들의 수열의 극한으로 새로운 함수를 정의하고자 할 때, 완비성은 그 극한 함수가 여전히 같은 공간 안에 존재함을 보장해준다.
이제 앞서 논의된 개념들을 종합하여 힐베르트 공간을 공식적으로 정의할 수 있다.
정의: 힐베르트 공간(Hilbert space)은 완비 내적 공간(complete inner product space)이다.1
즉, 힐베르트 공간은 다음 두 가지 핵심적인 요건을 모두 만족하는 벡터 공간이다.
이 정의는 유한 차원 유클리드 공간을 무한 차원으로 일반화한 개념이다.3 유한 차원 내적 공간은 항상 완비이므로 자동적으로 힐베르트 공간이 된다. 그러나 무한 차원에서는 완비성이 자명하지 않으며, 이것이 힐베르트 공간을 단순한 내적 공간과 구별하는 결정적인 특징이 된다.
힐베르트 공간을 함수해석학의 더 넓은 맥락에서 이해하기 위해서는 바나흐 공간(Banach space)과의 관계를 살펴보는 것이 필수적이다. 바나흐 공간은 완비 노름 공간으로 정의된다.14 모든 힐베르트 공간은 내적으로부터 유도된 노름을 가지며 완비이므로, 정의상 항상 바나흐 공간이다.18 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 힐베르트 공간은 바나흐 공간의 특수한 부분 집합이다.19
그렇다면 어떤 바나흐 공간이 힐베르트 공간이 될 수 있는가? 그 판별 기준을 제공하는 것이 바로 평행사변형 법칙(parallelogram identity)이다. 기하학적으로 평행사변형의 두 대각선 길이의 제곱의 합은 네 변의 길이의 제곱의 합과 같다는 이 법칙은, 힐베르트 공간의 모든 벡터 $x, y$에 대하여 다음과 같은 항등식으로 표현된다.1 \(\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2)\) 이 법칙은 단순한 기하학적 등식을 넘어, 한 공간의 해석학적 구조(노름)와 기하학적 구조(내적)가 양립 가능한지를 판별하는 시금석의 역할을 한다. 모든 내적 공간에서는 내적의 성질을 이용하여 이 법칙이 성립함을 쉽게 증명할 수 있다. 더 중요한 것은 그 역인데, 폰 노이만-요르단 정리(Jordan-von Neumann theorem)에 따르면 어떤 바나흐 공간의 노름이 평행사변형 법칙을 만족한다면, 그 노름은 반드시 어떤 내적으로부터 유도된 것임이 보장된다. 즉, 이 법칙을 만족하는 노름이 주어지면, ‘편극 항등식(polarization identity)’을 통해 내적을 복원하거나 정의할 수 있다. 예를 들어 복소 벡터 공간에서는 다음과 같이 내적을 정의할 수 있다. \(\langle x, y \rangle = \frac{1}{4} \left( \|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 + i\|x+iy\|^2 - i\|x-iy\|^2 \right)\) 평행사변형 법칙은 이렇게 정의된 연산이 실제로 내적의 모든 공리(켤레 대칭성, 선형성, 양의 정부호성)를 만족함을 보장하는 핵심적인 조건이다. 따라서 이 법칙은 수많은 바나흐 공간 중에서 어떤 공간이 ‘숨겨진’ 내적 구조를 가지고 있는지를 밝혀내는 역할을 한다. 평행사변형 법칙이 성립하지 않는 $L^p(p \neq 2)$ 공간과 같은 바나흐 공간에서는 각도나 직교성과 같은 개념이 자연스럽게 정의되지 않으며, 이는 기하학적 직관의 적용을 크게 제한한다.21 힐베르트 공간의 이론이 일반적인 바나흐 공간 이론보다 더 구체적이고 강력한 기하학적 결과를 많이 도출할 수 있는 이유가 바로 여기에 있다. 아래 표는 두 공간의 핵심적인 차이점을 요약한 것이다.
표 1: 힐베르트 공간과 바나흐 공간의 비교
| 특징 (Feature) | 바나흐 공간 (Banach Space) | 힐베르트 공간 (Hilbert Space) | ||
|---|---|---|---|---|
| 정의 (Definition) | 완비 노름 공간 (Complete normed space) 17 | 완비 내적 공간 (Complete inner product space) 18 | ||
| 핵심 구조 (Core Structure) | 노름 (Norm): $ | x | $ | 내적 (Inner Product): $\langle x, y \rangle$ |
| 기하학적 개념 (Geometric Concepts) | 길이, 거리 (Length, Distance) | 길이, 거리, 각도, 직교성 (Length, Distance, Angle, Orthogonality) | ||
| 평행사변형 법칙 | 일반적으로 성립하지 않음 (Generally not satisfied) 21 | 항상 성립 (Always satisfied) 1 | ||
| 쌍대 공간 (Dual Space) | $B^*$ (일반적으로 $B$와 동형이 아님) | $H^* \cong H$ (리스 표현 정리에 의해 동형) 1 | ||
| 대표 예시 (Key Examples) | $L^p (p \neq 2)$, $C[a,b]$ | $L^2$, $\ell^2$, $\mathbb{R}^n$ 22 |
힐베르트 공간의 가장 큰 특징은 유한 차원 유클리드 기하학의 직관을 무한 차원으로 확장할 수 있다는 점이다. 이러한 기하학적 구조의 중심에는 직교성이라는 개념이 있다.
힐베르트 공간 $H$에서 두 벡터 $x, y$가 직교(orthogonal)한다는 것은 그들의 내적이 0인 경우를 의미하며, $x \perp y$로 표기한다.4 \(x \perp y \iff \langle x, y \rangle = 0\) 이 개념은 유한 차원에서의 수직 관계를 직접적으로 일반화한 것이다. 직교성을 이용하면 피타고라스 정리를 무한 차원으로 확장할 수 있다. 두 벡터 $x, y$가 직교할 때, \(\|x+y\|^2 = \langle x+y, x+y \rangle = \langle x,x \rangle + \langle x,y \rangle + \langle y,x \rangle + \langle y,y \rangle = \|x\|^2 + \|y\|^2\) 가 성립한다. 즉, \(\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 \iff x \perp y\) 이다.
내적 공간의 가장 기본적이고 중요한 부등식 중 하나는 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequality)이다. 이는 내적의 절댓값이 각 벡터의 노름의 곱을 넘을 수 없음을 나타낸다.13 \(|\langle x, y \rangle| \le \|x\| \|y\|\) 이 부등식의 증명은 여러 가지 방법이 있지만, 가장 일반적인 방법 중 하나는 $y \neq 0$일 때 임의의 스칼라 $t \in \mathbb{F}$에 대해 $|x - ty|^2 \ge 0$라는 자명한 사실에서 출발하는 것이다.13 복소 힐베르트 공간의 경우,
$t = \frac{\langle x, y \rangle}{|y|^2}$를 선택하여 전개하면 부등식을 유도할 수 있다.25 이 부등식은 수학 전반에 걸쳐 매우 중요하게 사용된다. 예를 들어, 이 부등식은 내적 연산 $\langle \cdot, \cdot \rangle$이 연속적인 사상임을 보장한다. 또한, 실수 힐베르트 공간에서는 이 부등식 덕분에 $-1 \le \frac{\langle x, y \rangle}{|x||y|} \le 1$이 항상 성립하므로, 두 벡터 사이의 각도 $\theta$를 $\cos\theta = \frac{\langle x, y \rangle}{|x||y|}$로 모순 없이 정의할 수 있다.26
유한 차원 벡터 공간에서 기저(basis)가 모든 벡터를 생성하는 기본 단위의 역할을 하듯이, 힐베르트 공간에서도 유사한 개념을 생각할 수 있다. 그러나 무한 차원에서는 그 개념이 더 정교해진다.
먼저 정규 직교 집합(orthonormal set)은 그 집합에 속한 모든 벡터의 노름이 1이고, 임의의 서로 다른 두 벡터가 서로 직교하는 집합을 말한다.27 즉, 집합 ${e_k}{k \in I}$가 정규 직교 집합이라는 것은 $\langle e_i, e_j \rangle = \delta{ij}$ (크로네커 델타)를 만족한다는 의미이다.
힐베르트 공간 $H$의 정규 직교 기저(orthonormal basis)는 ‘최대’ 정규 직교 집합으로 정의된다. 이는 더 이상 새로운 벡터를 추가하여 정규 직교성을 유지할 수 없는 집합을 의미한다. 이와 동등한 정의는, 정규 직교 집합 ${e_k}$의 모든 유한 선형 결합으로 이루어진 집합(span)의 폐포(closure)가 전체 힐베르트 공간 $H$가 되는 것이다.1
임의의 벡터 $x \in H$와 정규 직교 수열 ${e_k}_{k=1}^n$에 대하여, $x$를 ${e_k}$의 선형 결합으로 근사할 때, 최적의 계수는 푸리에 계수 $\langle x, e_k \rangle$이다. 이로부터 베셀 부등식(Bessel’s inequality)이 유도된다. \(\sum_{k=1}^\infty |\langle x, e_k \rangle|^2 \le \|x\|^2\) 이 부등식은 정규 직교 수열이 반드시 기저가 아니더라도 항상 성립하며, 푸리에 계수 제곱의 합이 유한함을 보여준다.23
분해가능(separable) 힐베르트 공간, 즉 가산개의 조밀한 부분집합을 갖는 공간에서는 항상 정규 직교 기저를 찾을 수 있다. 이를 구성하는 구체적인 방법이 그람-슈미트 정규직교화 과정(Gram-Schmidt process)이다.23 가산개의 선형 독립인 벡터들의 집합 ${v_k}$가 주어졌을 때, 이 과정은 재귀적으로 정규 직교 벡터들의 집합 ${e_k}$를 다음과 같이 만들어낸다.
정규 직교 기저 ${e_k}_{k=1}^\infty$가 주어지면, 힐베르트 공간 $H$의 모든 벡터 $x$는 다음과 같은 푸리에 급수(Fourier series) 형태로 유일하게 표현될 수 있다.28 \(x = \sum_{k=1}^\infty \langle x, e_k \rangle e_k\) 여기서 계수 $\langle x, e_k \rangle$는 벡터 $x$를 기저벡터 $e_k$ 방향으로 사영시킨 성분으로 해석할 수 있다. 이 급수의 수렴은 힐베르트 공간의 노름 위상에서의 수렴을 의미한다.
이 표현과 함께, 베셀 부등식은 등식으로 강화되는데, 이를 파세발 항등식(Parseval’s identity)이라 한다. \(\|x\|^2 = \sum_{k=1}^\infty |\langle x, e_k \rangle|^2\) 이 항등식은 ${e_k}$가 정규 직교 기저일 필요충분조건이며, 기하학적으로는 벡터의 길이(노름) 제곱이 각 직교 성분들의 길이 제곱의 합과 같다는 피타고라스 정리의 무한 차원 일반화로 볼 수 있다.
여기서 무한 차원 기저의 본질에 대한 깊은 이해가 필요하다. 힐베르트 공간의 정규 직교 기저는 유한 차원 선형대수학에서 배우는 하멜 기저(Hamel basis)와 근본적으로 다르다. 하멜 기저는 ‘유한’ 선형 결합만으로 공간의 모든 벡터를 표현하지만, 정규 직교 기저는 ‘무한’ 급수, 즉 극한의 개념을 통해 벡터를 표현한다. 이러한 차이는 힐베르트 공간의 완비성이라는 해석학적 속성이 대수적 개념인 기저와 결합된 필연적인 결과이다. 무한 차원 공간에서는 유한 합만으로는 공간의 모든 점에 도달할 수 없다. 예를 들어, $\ell^2$ 공간의 표준 기저 ${e_k}$의 유한 선형 결합으로는 $(1, 1/2, 1/4, \dots)$와 같은 벡터를 정확히 표현할 수 없다. 그러나 완비성 덕분에 무한 급수 $\sum c_k e_k$의 수렴이 보장되고, 이를 통해 모든 벡터를 표현할 수 있게 된다. 따라서 힐베르트 공간의 기저는 벡터를 근사하는 무한 급수의 극한으로 벡터를 표현하는, 대수학과 해석학이 융합된 개념인 것이다.1
추상적인 정의와 이론을 구체화하기 위해, 힐베르트 공간의 대표적인 예시들을 살펴보는 것은 매우 중요하다. 이 예시들은 이론의 실제적인 모습을 보여줄 뿐만 아니라, 다양한 응용 분야의 토대가 된다.
힐베르트 공간의 가장 간단하고 직관적인 예시는 유한 차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$과 유니터리 공간 $\mathbb{C}^n$이다.11
$n$-차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$: 실수로 이루어진 $n$-튜플 $(x_1, \dots, x_n)$들의 집합이다. 두 벡터 $x, y \in \mathbb{R}^n$에 대한 표준 내적(standard inner product)은 점곱(dot product)으로 정의된다.10 \(\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i\) 이 내적으로부터 유도되는 노름은 유클리드 노름 $|x| = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}$이다.
$n$-차원 유니터리 공간 $\mathbb{C}^n$: 복소수로 이루어진 $n$-튜플 $(z_1, \dots, z_n)$들의 집합이다. 두 벡터 $z, w \in \mathbb{C}^n$에 대한 표준 내적은 다음과 같이 정의된다.10 \(\langle z, w \rangle = \sum_{i=1}^n z_i \overline{w_i}\) 여기서 $\overline{w_i}$는 켤레 복소수이다.
모든 유한 차원 노름 공간은 완비(complete)라는 것이 잘 알려진 사실이므로, 내적이 정의된 $\mathbb{R}^n$과 $\mathbb{C}^n$은 자명하게 힐베르트 공간이 된다. 이 공간들은 무한 차원 힐베르트 공간 이론을 구축하기 위한 직관의 원천이 된다.
무한 차원 힐베르트 공간의 가장 대표적인 원형은 수열 공간 $\ell^2$이다. 이 공간은 제곱의 합이 유한한 복소수열(또는 실수열) 전체의 집합으로 정의된다.29 \(\ell^2 = \left\{ x = (x_n)_{n=1}^\infty, x_n \in \mathbb{C} \quad \middle| \quad \sum_{n=1}^\infty |x_n|^2 < \infty \right\}\) 이 공간에서 두 수열 $x = (x_n)$과 $y = (y_n)$ 사이의 내적은 다음과 같이 정의된다.29 \(\langle x, y \rangle = \sum_{n=1}^\infty x_n \overline{y_n}\) 코시-슈바르츠 부등식을 수열에 적용한 횔더 부등식(Hölder’s inequality)에 의해 이 급수는 항상 절대 수렴하므로 내적은 잘 정의된다. $\ell^2$ 공간이 완비성을 만족한다는 사실은 리스-피셔 정리(Riesz-Fischer theorem)의 일부로서 증명될 수 있다. 따라서 $\ell^2$는 완비 내적 공간, 즉 힐베르트 공간이다.22
$\ell^2$ 공간은 모든 분해가능(separable) 무한차원 힐베르트 공간과 등거리 동형(isometrically isomorphic)이라는 놀라운 성질을 갖는다. 이는 $\ell^2$ 공간이 분해가능 힐베르트 공간의 유일한 ‘모델’ 역할을 한다는 것을 의미하며, 어떤 분해가능 힐베르트 공간이든 그 구조는 $\ell^2$와 본질적으로 동일하다는 것을 시사한다.23
물리학, 공학, 확률론 등에서 가장 중요하게 사용되는 힐베르트 공간은 함수 공간 $L^2$이다. 측도 공간 $(X, \mathcal{M}, \mu)$가 주어졌을 때, $L^2(X)$ 공간은 그 위에서 정의된 복소수 값 함수 중에서 절댓값 제곱의 르베그 적분 값이 유한한 함수들의 집합으로 정의된다.30 (단, 측도가 0인 집합을 제외하고 거의 모든 곳에서 같은 함수들은 동일한 원소로 간주한다.) \(L^2(X) = \left\{ f: X \to \mathbb{C} \quad \middle| \quad \int_X |f(x)|^2 d\mu(x) < \infty \right\}\) $L^2(X)$ 공간에서 두 함수 $f$와 $g$의 내적은 다음과 같이 정의된다.30 \(\langle f, g \rangle = \int_X f(x) \overline{g(x)} d\mu(x)\) 이 적분 또한 횔더 부등식에 의해 항상 수렴한다. 리스-피셔 정리에 따르면, $L^2$ 공간은 완비성을 만족하므로 힐베르트 공간이다.1 이 공간은 푸리에 해석, 편미분 방정식의 해 공간, 양자역학의 파동함수 공간 등 수많은 분야에서 핵심적인 역할을 수행한다.1 예를 들어, 구간 $[0, 2\pi]$ 위의 $L^2[0, 2\pi]$ 공간은 고전적인 푸리에 급수 이론을 엄밀하게 전개하는 자연스러운 무대가 된다.
힐베르트 공간의 풍부한 구조는 몇 가지 강력하고 우아한 기본 정리들에 의해 뒷받침된다. 이 정리들은 힐베르트 공간의 기하학적, 해석학적 특성을 깊이 있게 드러내며, 이론의 근간을 형성하고 다양한 응용의 초석이 된다.
힐베르트 공간의 완비성과 내적 구조가 결합하여 만들어내는 가장 중요한 결과 중 하나는 사영 정리(Projection Theorem)이다. 이 정리는 기하학적인 근사 문제에 대한 해의 존재성과 유일성을 보장한다.
정리: 힐베르트 공간 $H$의 임의의 닫힌(closed) 볼록(convex) 부분집합 $C$와 $H$ 안의 임의의 점 $x$에 대하여, $x$에 가장 가까운 $C$ 안의 점이 유일하게 존재한다. 즉, $|x-y_0| = \inf_{y \in C} |x-y|$를 만족하는 $y_0 \in C$가 유일하게 존재한다.
이 정리의 가장 중요하고 빈번하게 사용되는 특별한 경우는 $C$가 닫힌 선형 부분공간(closed linear subspace) $V$일 때이다. 이 경우, 정리는 다음과 같이 서술될 수 있다.
직교 분해 정리: 힐베르트 공간 $H$와 그 안의 닫힌 선형 부분공간 $V$가 주어졌을 때, 임의의 벡터 $x \in H$는 $v \in V$와 $w \in V^\perp$의 합으로 유일하게 분해될 수 있다. \(x = v + w, \quad \text{여기서 } v \in V, w \in V^\perp\) 여기서 $V^\perp = {z \in H \mid \langle z, v \rangle = 0 \text{ for all } v \in V}$는 $V$의 직교 여공간(orthogonal complement)이다. 이 분해에서 벡터 $v$를 $x$의 $V$ 위로의 직교 사영(orthogonal projection)이라 하고 $P_V(x)$로 표기한다.28 이 사영된 벡터 $P_V(x)$가 바로 $V$ 안에서 $x$에 대한 최적 근사(best approximation) 벡터이다.28 즉, 모든 $y \in V$에 대하여 $|x - P_V(x)| \le |x - y|$가 성립하며, 등호는 $y = P_V(x)$일 때만 성립한다.
이 정리는 힐베르트 공간의 완비성에 깊이 의존한다. 증명 과정에서 거리 최소화 수열을 구성하고, 이 수열이 코시 수열임을 보인 뒤 완비성을 이용하여 그 극한의 존재를 보장하기 때문이다.4 이러한 강력한 결과는 일반적인 바나흐 공간에서는 성립하지 않으며, 힐베르트 공간의 뛰어난 기하학적 특성을 단적으로 보여준다. 사영 정리는 푸리에 급수, 최소 제곱법, 신호 처리, 통계학 등에서 데이터를 특정 부분공간으로 투영하여 노이즈를 제거하거나 주요 특징을 추출하는 데 핵심적인 이론적 기반을 제공한다.28
리스 표현 정리(Riesz Representation Theorem)는 힐베르트 공간 이론의 정점에 있는 결과 중 하나로, 힐베르트 공간과 그 쌍대 공간 사이의 근본적인 관계를 규명한다.
정리: 힐베르트 공간 $H$ 위의 모든 유계 선형 범함수(bounded linear functional) $f: H \to \mathbb{F}$ (즉, $f \in H^$)에 대하여, 다음을 만족하는 유일한 벡터 $y_f \in H$가 존재한다.33 \(f(x) = \langle x, y_f \rangle \quad \text{for all } x \in H\) 또한, 이 대응 관계는 등거리(isometry) 성질을 가진다. 즉, 범함수의 노름과 대응하는 벡터의 노름이 같다.35 \(\|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H\) 이 정리의 중요성은 아무리 강조해도 지나치지 않다. 함수해석학에서 쌍대 공간 $V^$는 공간 $V$ 위에 정의된 선형 ‘측정’들의 집합으로, 종종 $V$ 자체보다 더 다루기 어렵고 추상적인 대상으로 여겨진다. 그러나 리스 표현 정리는 힐베르트 공간 $H$의 경우, 모든 추상적인 ‘측정’($f \in H^*$)이 실제로는 $H$ 안에 있는 어떤 구체적인 ‘기준 벡터’($y_f \in H$)와의 내적을 취하는 행위와 본질적으로 동일하다고 말해준다.35
이는 힐베르트 공간 $H$가 자기 자신의 연속 쌍대 공간 $H^$와 (실수 공간의 경우 등거리 동형, 복소수 공간의 경우 반선형 등거리 동형으로) 사실상 동일하다는 것을 의미한다.1 이러한 ‘자기-쌍대성(self-duality)’ 덕분에 우리는 더 이상 추상적인 쌍대 공간 $H^$를 다룰 필요 없이, 친숙한 공간 $H$ 안에서 모든 문제를 해결할 수 있다. 예를 들어, 변분법이나 최적화 문제에서 범함수의 구배(gradient)를 찾아야 할 때, 이 정리는 그 구배가 추상적인 객체가 아니라 원래 공간의 특정 벡터임을 보장해준다. 이는 양자역학에서 상태 벡터를 나타내는 켓 벡터 $\ket{\psi}$와 측정 연산을 나타내는 브라 벡터 $\bra{\phi}$ 사이의 관계를 정당화하고, 재생산 커널 힐베르트 공간(RKHS) 이론의 기초를 형성하는 등 이론과 응용 모두에서 지대한 역할을 한다.
힐베르트 공간 이론의 위력은 기존의 수학 이론을 얼마나 더 명확하고 일반적인 관점에서 조망할 수 있게 하는지를 통해 드러난다. 그 대표적인 사례가 바로 고전적인 푸리에 급수 이론이다.
주기가 $2\pi$인 연속함수들의 공간을 생각해보자. 이 공간은 내적 $\langle f, g \rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\overline{g(x)}dx$을 부여하면 준-힐베르트 공간이 된다. 이 공간의 완비화(completion)는 바로 힐베르트 공간 $L^2[-\pi, \pi]$이다.38
이 힐베르트 공간의 관점에서, 복소 지수 함수들의 집합 ${e^{inx}}_{n \in \mathbb{Z}}$는 단순한 주기함수들의 모임이 아니라, $L^2[-\pi, \pi]$ 공간의 정규 직교 기저를 이룬다는 사실이 증명될 수 있다.39 따라서 $L^2[-\pi, \pi]$에 속하는 임의의 함수 $f(x)$는 이 기저에 대한 벡터 분해로 이해될 수 있다.
| 수렴성: 고전 이론에서 복잡하게 다루어졌던 푸리에 급수의 수렴 문제는 힐베르트 공간의 노름 수렴(mean-square convergence) 개념으로 명쾌하게 설명된다. 파세발 항등식 $|f|^2 = \sum_{n=-\infty}^\infty | \hat{f}(n) | ^2$은 푸리에 급수가 $L^2$ 노름 하에서 항상 원래 함수로 수렴함을 보장한다. |
이처럼 힐베르트 공간이라는 추상적인 틀은 고전 해석학의 강력한 도구인 푸리에 급수를 더욱 깊고 일반적인 수준에서 이해하게 하고, 그 구조를 명확하게 밝혀준다.41 이는 함수를 무한 차원 벡터로, 함수 공간을 기하학적 공간으로 바라보는 관점의 위력을 실감하게 하는 대표적인 사례이다.
힐베르트 공간 자체의 구조를 이해했다면, 다음 단계는 그 공간 위에서 작용하는 함수, 즉 작용소(operator)를 연구하는 것이다. 특히 선형 작용소 이론은 힐베르트 공간 이론의 핵심적인 부분이며, 양자역학, 미분방정식 등 수많은 응용 분야와 직접적으로 연결된다.
두 힐베르트 공간 $H_1, H_2$ 사이의 선형 작용소(linear operator) $T: H_1 \to H_2$는 벡터 공간의 선형 변환과 동일하다. 함수해석학에서는 무한 차원의 특성상 작용소의 연속성(continuity)이 중요한데, 선형 작용소의 경우 연속성은 유계성(boundedness)과 동치이다. 작용소 $T$가 유계라는 것은, 0이 아닌 모든 $x \in H_1$에 대해 $\frac{|Tx|{H_2}}{|x|{H_1}}$의 값이 어떤 상수 $M$을 넘지 않는다는 의미이다.
힐베르트 공간의 내적 구조는 모든 유계 선형 작용소에 대해 그에 대응하는 독특한 파트너를 정의할 수 있게 한다. 유계 선형 작용소 $T: H_1 \to H_2$가 주어졌을 때, 그의 수반 작용소(adjoint operator) $T^: H_2 \to H_1$는 다음 관계식을 모든 $x \in H_1, y \in H_2$에 대해 만족하는 유일한 유계 선형 작용소로 정의된다.42 \(\langle Tx, y \rangle_{H_2} = \langle x, T^*y \rangle_{H_1}\) 수반 작용소의 존재와 유일성은 리스 표현 정리에 의해 보장된다. 각 $y \in H_2$에 대해, $x \mapsto \langle Tx, y \rangle$는 $H_1$ 위의 유계 선형 범함수를 정의하므로, 리스 표현 정리에 의해 이 범함수를 내적으로 표현하는 유일한 벡터가 $H_1$에 존재해야 한다. 이 벡터를 $T^y$로 정의하는 것이다.42 수반 작용소는 유한 차원 행렬의 켤레 전치(conjugate transpose) 개념을 무한 차원으로 일반화한 것으로, 작용소의 성질을 분석하는 데 핵심적인 역할을 한다.
수반 작용소와의 관계를 기준으로, 힐베르트 공간 위의 유계 선형 작용소들은 다음과 같은 중요한 클래스로 분류될 수 있다.
유한 차원 선형대수학에서 행렬의 고윳값과 고유벡터는 행렬의 작용을 이해하는 데 결정적인 정보를 제공한다. 스펙트럼 이론(Spectral Theory)은 이러한 개념을 무한 차원 힐베르트 공간의 작용소로 일반화하는 이론이다.44
유계 선형 작용소 $T$의 스펙트럼 $\sigma(T)$는 복소수 $\lambda$ 중에서 $T - \lambda I$가 유계인 역원을 갖지 않는 $\lambda$들의 집합으로 정의된다.44 유한 차원에서는 스펙트럼이 고윳값의 집합과 정확히 일치하지만, 무한 차원에서는 상황이 더 복잡하며, 스펙트럼은 다음과 같이 세 종류로 나뉜다.44
스펙트럼 이론의 정점은 스펙트럼 정리(Spectral Theorem)이다. 가장 간단한 형태의 스펙트럼 정리는 콤팩트 자기수반 작용소에 대해 적용된다.
스펙트럼 정리 (콤팩트 자기수반 작용소): 힐베르트 공간 $H$ 위의 콤팩트 자기수반 작용소 $T$에 대하여, $H$는 $T$의 고유벡터들로 구성된 정규 직교 기저 ${e_k}$를 갖는다. 이 기저에 대하여 $T$는 다음과 같이 대각화된다. \(Tx = \sum_{k=1}^\infty \lambda_k \langle x, e_k \rangle e_k\) 여기서 $\lambda_k$는 $e_k$에 대응하는 실수 고윳값이다. 이 정리는 유한 차원 대칭 행렬이 직교 행렬에 의해 대각화될 수 있다는 정리의 완벽한 무한 차원 일반화이다. 이는 복잡한 작용소를 간단한 스칼라 곱의 합으로 분해할 수 있게 해주며, 양자역학에서 관측가능량의 측정 결과를 이해하는 근본적인 원리가 된다.43
힐베르트 공간 이론의 진정한 가치는 순수 수학의 아름다움을 넘어, 현대 과학과 공학의 가장 근본적인 문제들을 해결하는 강력한 언어와 도구를 제공한다는 데 있다. 본 장에서는 양자역학, 신호 처리, 기계 학습이라는 세 가지 핵심 분야를 중심으로 힐베르트 공간의 구체적인 응용을 심도 있게 고찰한다.
20세기 초, 고전 물리학의 패러다임을 뒤흔든 양자역학의 등장은 새로운 수학적 틀을 요구했다. 힐베르트 공간은 이 요구에 완벽하게 부응하며 양자 이론의 수학적 형식주의(mathematical formalism)의 근간이 되었다.1
공리적 접근: 양자역학의 기본 공리는 힐베르트 공간의 언어로 기술된다.
브라-켓 표기법 (Bra-Ket Notation): 물리학자 폴 디랙(Paul Dirac)이 고안한 이 표기법은 힐베르트 공간의 구조를 직관적으로 활용한다.
| 내적: 두 상태 $\ket{\phi}$와 $\ket{\psi}$의 내적은 브라와 켓을 결합하여 $\braket{\phi | \psi}$로 표기한다. 이는 수학적으로 $\langle \psi, \phi \rangle$에 해당한다 (물리학의 관례상 두 번째 인수에 켤레를 취함).50 |
물리적 해석:
확률 진폭과 보른 규칙(Born Rule): 시스템이 상태 $\ket{\psi}$에 있을 때, 관측가능량 $A$를 측정하여 고윳값 $\lambda_n$에 해당하는 고유상태 $\ket{\phi_n}$을 발견할 확률은 내적 $\braket{\phi_n|\psi}$의 절댓값 제곱으로 주어진다. 이 복소수 $\braket{\phi_n|\psi}$를 확률 진폭(probability amplitude)이라 한다.48 \(\text{Prob}(\lambda_n) = |\braket{\phi_n|\psi}|^2\)
| 규격화(Normalization): 모든 가능한 측정 결과의 확률의 합은 1이어야 하므로, 상태 벡터는 항상 노름이 1이 되도록 규격화되어야 한다: $\braket{\psi | \psi} = 1$.48 이는 파동함수의 절댓값 제곱을 확률밀도로 해석했을 때, 전체 공간에 대한 적분 값이 1이어야 한다는 조건 $\int | \Psi(x) | ^2 dx = 1$과 직접적으로 연결된다.48 이 규격화 조건 때문에 양자역학의 상태 공간으로 제곱 적분 가능한 함수 공간, 즉 힐베르트 공간 $L^2$가 자연스럽게 선택되는 것이다.54 |
신호 처리(signal processing)는 소리, 이미지, 통신 신호 등 시간에 따라 변하는 데이터를 분석하고 조작하는 분야이다. 유한한 에너지를 갖는 신호는 자연스럽게 힐베르트 공간 $L^2(\mathbb{R})$의 원소로 모델링될 수 있다. 이 관점에서 푸리에 해석은 $L^2$ 공간 위의 강력한 분석 도구가 된다.
푸리에 변환(Fourier Transform): 신호를 시간 영역에서 주파수 영역으로 변환하는 푸리에 변환은 $L^2(\mathbb{R})$ 공간에서 자기 자신으로 가는 유니터리 작용소로 해석될 수 있다. 유니터리 작용소라는 것은 신호의 에너지(즉, $L^2$ 노름)가 변환 전후에 보존됨을 의미한다(플랑슈렐 정리, Plancherel’s theorem). 이는 시간 영역에서의 신호 에너지와 주파수 영역에서의 스펙트럼 에너지가 동일함을 보장한다.
힐베르트 변환(Hilbert Transform): 신호 처리에서 중요한 또 다른 작용소는 힐베르트 변환이다. 실수 신호 $u(t)$의 힐베르트 변환 $\hat{u}(t)$는 코시 주요값(Cauchy principal value)을 이용하여 다음과 같은 합성곱으로 정의된다.55 \(\hat{u}(t) = H[u](t) = \frac{1}{\pi} \text{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{u(\tau)}{t - \tau} d\tau\) 푸리에 영역에서 이 변환은 신호의 양의 주파수 성분에는 $-i$를, 음의 주파수 성분에는 $+i$를 곱하는 것과 같다. 이는 모든 주파수 성분의 위상을 90도만큼 지연시키는 효과를 가져온다. 힐베르트 변환은 원래 신호 $u(t)$와 결합하여 분석 신호(analytic signal) $z(t) = u(t) + i\hat{u}(t)$를 구성하는 데 사용된다. 이 분석 신호의 크기 $|z(t)|$는 원래 신호의 순간적인 포락선(envelope)을, 위상의 시간 미분은 순간 주파수(instantaneous frequency)를 제공하여 비정상(non-stationary) 신호 분석에 매우 유용하게 사용된다.56
최근 수십 년간 힐베르트 공간 이론은 통계학과 컴퓨터 과학의 한 분야인 기계 학습(machine learning)에서 새로운 부흥기를 맞이했다. 특히, 재생산 커널 힐베르트 공간(Reproducing Kernel Hilbert Space, RKHS)이라는 특별한 함수 힐베르트 공간은 서포트 벡터 머신(SVM)과 같은 커널 메소드(kernel methods)의 이론적 기반을 제공한다.7
RKHS의 정의와 재생산 성질: RKHS $H$는 함수들의 힐베르트 공간으로서, 점 평가 범함수(point evaluation functional) $L_x(f) = f(x)$가 모든 $x$에 대해 연속(즉, 유계)이라는 특별한 성질을 만족하는 공간이다.6 이 연속성 조건에 리스 표현 정리를 적용하면, 각 점
$x$에 대해 $H$ 안에 유일한 함수 $K_x$가 존재하여 모든 $f \in H$에 대해 다음의 재생산 성질(reproducing property)이 성립한다. \(f(x) = L_x(f) = \langle f, K_x \rangle_H\) 여기서 함수 $k(x, y) := K_y(x) = \langle K_x, K_y \rangle_H$를 이 공간의 재생산 커널(reproducing kernel)이라 부른다.6
커널 트릭(Kernel Trick): RKHS 이론의 핵심적인 응용은 ‘커널 트릭’에 대한 수학적 정당성을 부여하는 것이다. 많은 기계 학습 알고리즘은 데이터 포인트들의 내적에만 의존한다. 커널 함수 $k(x, y)$를 사용하면, 입력 데이터 $x$를 어떤 고차원 (심지어 무한 차원) 특징 공간 $H$로 보내는 비선형 매핑 $\phi: \mathcal{X} \to H$를 명시적으로 계산하지 않고도, 그 특징 공간에서의 내적 $\langle \phi(x), \phi(y) \rangle_H$를 단순히 $k(x, y)$ 계산으로 대체할 수 있다. 이를 통해 저차원에서는 비선형적인 문제를 고차원 특징 공간에서는 선형적인 문제로 변환하여 해결할 수 있다.
표현자 정리(Representer Theorem): RKHS 이론은 왜 커널 메소드가 작동하는지에 대한 깊은 통찰을 제공한다. 표현자 정리는 데이터에 대한 손실 함수와 RKHS 노름으로 표현되는 정규화 항을 최소화하는 넓은 범위의 학습 문제에서, 최적의 해 $f^*$가 반드시 다음과 같이 훈련 데이터 $x_i$에 대응하는 커널 함수의 유한 선형 결합으로 표현됨을 보장한다.6 \(f^*(\cdot) = \sum_{i=1}^n \alpha_i k(x_i, \cdot)\) 이 정리는 무한 차원일 수 있는 함수 공간에서의 최적화 문제를, 유한한 개수의 계수 ${\alpha_i}_{i=1}^n$를 찾는 유한 차원 문제로 극적으로 축소시킨다. 이는 RKHS가 함수해석학의 추상적인 구조와 통계적 학습의 실용적인 목표를 연결하는 결정적인 다리 역할을 함을 보여준다. ‘재생산 성질’은 함수 값의 평가라는 국소적 연산을 내적이라는 전역적 구조와 연결하는 핵심 고리이며, 표현자 정리는 이 성질을 이용하여 무한 차원 탐색 문제를 실용적으로 해결 가능한 유한 차원 문제로 변환하는 것이다.
힐베르트 공간은 20세기 수학의 가장 위대한 성과 중 하나로, 현대 수학과 과학의 지형을 근본적으로 바꾸어 놓았다. 본 고찰을 통해 확인하였듯이, 힐베르트 공간은 유한 차원 유클리드 기하학의 명료한 직관을 무한 차원의 세계로 확장함으로써, 대수학, 기하학, 해석학이라는 수학의 세 가지 큰 흐름을 하나의 일관된 틀 안에서 융합시키는 통일적인 역할을 수행한다. 내적이라는 단일 개념에서 출발하여 노름, 거리, 완비성, 직교성, 사영 등 풍부한 구조가 연쇄적으로 파생되는 과정은 그 이론의 내적 완결성과 우아함을 보여준다.
이론의 발전 과정 또한 주목할 만하다. 힐베르트와 폰 노이만의 연구에서 보듯, 적분 방정식이나 양자역학과 같은 구체적인 물리적, 수학적 문제에서 제기된 필요성이 추상적인 공리 체계의 정립으로 이어졌고, 이렇게 정립된 강력한 이론은 다시 원래의 응용 분야는 물론, 신호 처리, 통계학, 기계 학습과 같은 전혀 새로운 분야에까지 심오한 해결책과 통찰을 제공하는 선순환 구조를 만들어냈다.61 이는 이론과 응용이 상호 발전의 원동력이 되는 과학 발전의 이상적인 모델을 제시한다.
힐베르트 공간 이론의 영향력은 미래에도 계속해서 증대될 것이다. 양자 컴퓨터의 기본 단위인 큐비트(qubit)의 상태 공간은 힐베르트 공간으로 모델링되며, 양자 알고리즘과 양자 오류 정정 이론의 발전은 힐베르트 공간 위의 작용소 이론에 깊이 의존한다.61 또한, 빅데이터 시대에 고차원 데이터의 기하학적 구조를 분석하고 비선형 패턴을 학습하는 데 RKHS와 같은 힐베르트 공간 기법의 중요성은 더욱 커질 전망이다.
결론적으로, 힐베르트 공간은 단순한 수학적 대상을 넘어, 무한을 다루는 인간의 지성이 창조해낸 가장 강력하고 아름다운 개념적 도구 중 하나이다. 그 깊이와 넓이를 탐구하는 여정은 앞으로도 여러 세대의 수학자, 과학자, 공학자들에게 끝없는 지적 영감과 도전의 원천이 될 것이다.
| 힐베르트 공간 | 백과사전 - HyperAI超神经, 8월 2, 2025에 액세스, https://hyper.ai/kr/wiki/4303 |
| (*) 상태함수, 상태 벡터, 벡터공간 - 새 자연철학 세미나 | 녹색아카데미, 8월 2, 2025에 액세스, https://greenacademy.re.kr/?kboard_content_redirect=145 |
| 대학원과정 | 일반 - 고려대학교 수학과, 8월 2, 2025에 액세스, https://math-legacy.korea.ac.kr/math/grad/normal.do |