세상에는 다루기 까다로운 함수들이 넘쳐난다. $\sin(x)$, $e^x$, $\ln(x)$ 같은 초월함수들은 그 자체로는 사칙연산처럼 간단히 값을 계산할 수 없다. 만약 이런 복잡한 함수들을 우리가 아주 잘 알고 있는 단순한 형태로 ‘번역’할 수 있다면 어떨까? 마치 복잡한 기계를 레고 블록처럼 간단한 부품들의 조합으로 이해할 수 있다면 말이다.
테일러 급수(Taylor Series)는 바로 이 혁명적인 아이디어를 현실로 만든다. 아무리 복잡하게 생긴 함수라도, 특정 조건만 만족하면 우리가 초등학생 때부터 익숙하게 다뤄온 다항식(polynomial)의 무한한 합으로 표현하거나 근사할 수 있다는 것이 테일러 급수의 핵심이다.1
그렇다면 왜 하필 다항식일까? 다항식은 수학, 과학, 공학 분야에서 거의 ‘치트키’에 가깝다. 덧셈, 뺄셈, 곱셈만으로 이루어져 있어 값 계산이 매우 쉽고, 미분과 적분은 눈 감고도 할 수 있을 만큼 간단하다. 컴퓨터가 가장 좋아하는 형태의 함수이기도 하다.2 복잡하고 다루기 힘든 대상을, 다루기 쉬운 대상의 합으로 분해해서 이해하려는 시도, 이것이 테일러 급수의 출발점이다.
이 자습서는 테일러 급수에 대한 모든 것을 담고 있다. 단순한 공식 암기를 넘어, ‘왜 이런 공식이 나왔을까?’라는 근본적인 질문에 답하며 기본 직관부터 시작할 것이다. 공식을 해부하며 각 항의 의미를 파헤치고, 주요 함수들을 직접 전개해보는 실전 훈련을 거친다. 나아가 이 급수가 언제 유효하고 언제 우리를 배신하는지, 그 한계와 오차까지 낱낱이 분석할 것이다. 마지막으로 물리학, 공학, 컴퓨터 과학 등 현실 세계에서 테일러 급수가 어떻게 강력한 무기로 사용되는지 구체적인 사례들을 통해 확인하게 될 것이다.
이 여정의 근간에는 하나의 심오한 철학이 깔려 있다. 바로 ‘국소적 정보(Local Information)로부터 전역적 행동(Global Behavior)을 재구성한다’는 개념이다. 테일러 급수는 함수의 한 점 $a$와 그 바로 주변의 미분계수라는 지극히 ‘지역적인’ 정보만을 가지고 함수 전체의 모습을 그려낸다.6 이는 마치 고생물학자가 작은 DNA 조각 하나로 공룡 전체의 모습을 복원하는 것과 같다.8 이 자습서를 끝까지 따라온다면, 테일러 급수가 단순한 근사 도구를 넘어, 함수의 본질적인 구조를 파헤치는 해석학의 강력한 렌즈임을 깨닫게 될 것이다.
테일러 급수라는 거대한 개념을 이해하기 위해, 처음으로 돌아가 가장 단순한 아이디어에서부터 시작해보자. 목표는 단 하나, “복잡한 함수 $f(x)$를 간단한 다항식으로 흉내 내는 것”이다.
어떤 함수 $f(x)$를 특정 지점 $x=a$ 근처에서 근사하고 싶다고 가정하자. 어떻게 하면 가장 비슷하게 흉내 낼 수 있을까? 단계적으로 정보를 추가하며 근사의 정밀도를 높여보자.
가장 원시적인 방법은 점 $a$에서의 함수값 $f(a)$ 하나만 사용하는 것이다. 즉, 함수 $f(x)$를 $f(a)$라는 상수 함수로 근사하는 것이다.
\(T_0(x) = f(a)\) 이 근사는 $x=a$라는 한 지점에서만큼은 원래 함수와 값이 정확히 일치한다는 최소한의 조건을 만족시킨다.8 하지만 그 외의 지점에서는 오차가 매우 클 것이다. 이것이 우리의 출발점, 0차 근사다.
0차 근사는 함수의 ‘위치’ 정보만 사용했다. 여기에 ‘변화 방향’, 즉 기울기 정보를 추가하면 훨씬 더 나은 근사를 얻을 수 있다. 점 $a$에서 함수값뿐만 아니라 1차 미분계수(기울기)까지 같도록 직선을 만들어보자. 이 직선은 다름 아닌 점 $(a, f(a))$에서의 접선이다.
\(T_1(x) = f(a) + f'(a)(x-a)\) 이 1차 테일러 다항식 $T_1(x)$는 점 $a$ 근처에서 함수가 어느 방향으로, 얼마나 빠르게 변하는지를 모방한다.8 상수 근사보다는 훨씬 더 그럴싸한 흉내 내기다. 물리학에서는 이를 ‘선형 근사(linear approximation)’라고 부르며 매우 빈번하게 사용한다.10
접선은 훌륭한 근사지만, 원래 함수가 휘어져 있다면 직선인 접선은 금방 멀어지게 된다. 이제 ‘휘어지는 정도(곡률)’ 정보까지 추가해보자. 점 $a$에서 함수값, 기울기, 그리고 2차 미분계수까지 같도록 포물선을 만들면 근사는 더욱 정교해진다.
\(T_2(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2\) 이 2차 테일러 다항식 $T_2(x)$는 함수의 오목/볼록성까지 흉내 내기 때문에 1차 근사보다 훨씬 넓은 범위에서 원래 함수에 바싹 달라붙는다.1 아래 그림처럼 차수가 높아질수록 근사 다항식은 원래 함수의 모양을 더욱 정교하게 따라간다.8
그림 1: 함수 f(x)(파란색)를 중심점 a에서 0차(주황색), 1차(빨간색), 2차(초록색) 테일러 다항식으로 근사하는 과정. 차수가 높아질수록 근사가 더 정확해진다.
이러한 정보의 점진적 추가 과정은 테일러 급수의 핵심 철학을 보여준다. 0차는 ‘위치’만, 1차는 ‘위치+방향’을, 2차는 ‘위치+방향+굽힘’ 정보를 추가한다. 각 항이 추가될 때마다 근사 다항식은 원래 함수의 더 높은 차원의 ‘모양’을 학습하는 셈이다.
이러한 논리를 계속 확장하면, 점 $a$에서 0차부터 $n$차 도함수까지 모두 원래 함수 $f(x)$와 일치시키는 $n$차 다항식을 만들 수 있다. 이를 $n$차 테일러 다항식(Taylor Polynomial)이라 부른다.5
\(T_n(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\) 이를 합의 기호 시그마($\Sigma$)를 사용하면 다음과 같이 깔끔하게 표현할 수 있다.
\(T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\) 여기서 $f^{(k)}(a)$는 $f(x)$의 $k$번 미분한 도함수에 $a$를 대입한 값이고, $k=0$일 때는 미분하지 않은 원래 함수 $f(a)$를 의미한다.
그렇다면 이 차수를 무한대까지 보내면 어떻게 될까? 즉, $n \to \infty$일 때 테일러 다항식의 극한을 생각할 수 있다. 이것이 바로 테일러 급수(Taylor Series)다. 이는 유한한 ‘근사’를 넘어 함수 ‘자체’를 다항식의 무한 합으로 완벽하게 표현하려는 위대한 시도다.1
테일러 급수의 일반 공식은 다음과 같다.
\(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\) 이 공식은 단순한 기호의 나열이 아니다. 각 구성 요소는 함수의 모양을 재구성하는 데 필수적인 역할을 한다.13
결론적으로, 테일러 급수는 $f^{(n)}(a)$를 통해 함수의 국소적 DNA를 추출하고, $(x-a)^n$을 통해 그 영향력을 공간에 퍼뜨리며, $n!$을 통해 전체적인 균형과 수렴을 조절하는, 매우 정교하게 설계된 시스템이다.
테일러 급수에서 기준점 $a$를 0으로 설정한 특별한 경우를 수학자 콜린 매클로린의 이름을 따 매클로린 급수(Maclaurin Series)라고 부른다.16
\(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots\) 왜 이 경우가 특별히 중요할까?
첫째, 계산이 훨씬 간단해진다. $(x-a)^n$ 항이 $x^n$으로 바뀌면서 다루기가 매우 편해진다.
둘째, 실용성이 매우 높다. 물리학이나 공학에서는 많은 시스템을 원점($x=0$)을 기준으로 분석하거나, 원점 근처에서의 행동이 중요할 때가 많다. 특히 $e^x, \sin(x), \cos(x)$와 같이 원점에 대해 대칭적인 특성을 가진 함수들은 매클로린 급수에서 매우 아름답고 깔끔한 형태로 표현된다.18 앞으로 우리가 다룰 대부분의 예제도 매클로린 급수가 될 것이다. 사실상 매클로린 급수는 “중심이 0인 테일러 급수”를 부르는 또 다른 이름일 뿐이다.17
이제 이론을 실제 무기로 만들어 볼 시간이다. 가장 자주 사용되는 중요한 함수들의 매클로린 급수($a=0$인 경우)를 직접 유도해보자. 이 과정은 단순히 공식을 적용하는 계산 연습이 아니다. 미분이라는 도구를 통해 각 함수 속에 숨겨진 아름다운 패턴을 발견하는 탐험과 같다.8
지수함수 $f(x) = e^x$는 테일러 급수의 가장 완벽한 예제다.
Step 1: 미분 패턴 찾기
$e^x$의 가장 큰 특징은 미분해도 자기 자신이라는 점이다.
$f(x) = e^x$
$f’(x) = e^x$
$f’‘(x) = e^x$
…
$f^{(n)}(x) = e^x$
몇 번을 미분해도 함수 형태가 전혀 변하지 않는다.8
Step 2: x=0에서 미분계수 계산
위의 모든 도함수에 $x=0$을 대입하면, 그 값은 항상 $e^0 = 1$이 된다.
$f(0) = 1$
$f’(0) = 1$
$f’‘(0) = 1$
…
$f^{(n)}(0) = 1$
모든 차수의 미분계수가 1이라는 놀랍도록 단순한 결과를 얻는다.21
Step 3: 매클로린 급수 공식에 대입
이제 $f^{(n)}(0) = 1$을 매클로린 급수 공식 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$에 대입하자.
\(e^x = \frac{1}{0!}x^0 + \frac{1}{1!}x^1 + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \dots\) $0! = 1$이고 $x^0 = 1$이므로, 최종적인 급수는 다음과 같다.
\(e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots\) 22
이것이 바로 지수함수의 매클로린 급수다. 모든 계수가 $1/n!$인 아름다운 형태를 띤다.
삼각함수는 미분할 때마다 주기적으로 모습이 바뀌는 특징이 있다.
Step 1: 미분 패턴 찾기
$f(x) = \sin(x)$를 계속 미분해보자.
$f(x) = \sin(x)$
$f’(x) = \cos(x)$
$f’‘(x) = -\sin(x)$
$f’’‘(x) = -\cos(x)$
$f^{(4)}(x) = \sin(x)$
$\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos$ 순서로 4번마다 원래 함수로 돌아오는 주기적인 패턴을 보인다.24
$\cos(x)$ 역시 마찬가지다.
Step 2: x=0에서 미분계수 계산
이 패턴에 $x=0$을 대입하면 미분계수들이 흥미로운 규칙을 보인다.
For $\sin(x)$:
$f(0) = \sin(0) = 0$
$f’(0) = \cos(0) = 1$
$f’‘(0) = -\sin(0) = 0$
$f’’‘(0) = -\cos(0) = -1$
$f^{(4)}(0) = \sin(0) = 0$
미분계수는 $0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, \dots$ 패턴을 반복한다.26 짝수 차수 미분계수는 모두 0이다.
For $\cos(x)$:
$f(0) = \cos(0) = 1$
$f’(0) = -\sin(0) = 0$
$f’‘(0) = -\cos(0) = -1$
$f’’‘(0) = \sin(0) = 0$
$f^{(4)}(0) = \cos(0) = 1$
미분계수는 $1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, \dots$ 패턴을 반복한다.28 홀수 차수 미분계수는 모두 0이다.
Step 3: 매클로린 급수 공식에 대입
이 미분계수들을 공식에 넣으면 0이 되는 항들이 사라지면서 매우 흥미로운 결과가 나타난다.
$\sin(x)$: 짝수 차수 항이 모두 사라지고 홀수 차수 항만 남는다.
\(\sin(x) = \frac{1}{1!}x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 - \frac{1}{7!}x^7 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\) 26
$\cos(x)$: 홀수 차수 항이 모두 사라지고 짝수 차수 항만 남는다.
\(\cos(x) = \frac{1}{0!}x^0 - \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 - \frac{1}{6!}x^6 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\) 12
이 결과는 우연이 아니다. $\sin(x)$는 원점 대칭인 기함수(odd function)이고, 기함수는 홀수 차수 항만으로 구성된 다항식으로 표현된다. 반대로 $\cos(x)$는 y축 대칭인 우함수(even function)이며, 우함수는 짝수 차수 항만으로 구성된 다항식으로 표현된다. 테일러 급수가 함수의 근본적인 대칭성 구조를 대수적으로 완벽하게 번역해내고 있는 것이다.18
로그 함수 $f(x) = \ln(1+x)$는 앞선 예제들과는 다른 특징을 보여준다.
Step 1 & 2: 미분 및 미분계수 계산
$f(x) = \ln(1+x)$를 반복해서 미분하고 $x=0$을 대입하면 다음과 같은 패턴을 발견할 수 있다.
$f(x) = \ln(1+x) \implies f(0) = 0$
$f’(x) = (1+x)^{-1} \implies f’(0) = 1$
$f’‘(x) = -(1+x)^{-2} \implies f’‘(0) = -1$
$f’’‘(x) = 2(1+x)^{-3} \implies f’’‘(0) = 2$
$f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1}(n-1)!(1+x)^{-n} \implies f^{(n)}(0) = (-1)^{n-1}(n-1)! (단, $n \ge 1$).12
Step 3: 공식 대입 및 정리
$f(0)=0$이므로 $n=1$부터 시작한다. $f^{(n)}(0)$을 공식에 대입하면,
\(\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{n!}x^n\) $n! = n \cdot (n-1)!$이므로 $(n-1)!$이 약분되어 매우 간단한 형태가 된다.
\(\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots\) 8
이 급수는 앞의 지수, 삼각함수와 달리 모든 $x$에서 성립하지는 않는다. 이 문제는 3장에서 자세히 다룰 것이다.
우리가 고등학교 때 배운 이항정리 $(a+b)^n$은 $n$이 자연수일 때만 성립했다. 하지만 테일러 급수를 이용하면 지수 $k$가 실수나 분수일 때도 적용되는 일반화된 이항 급수를 얻을 수 있다. 이는 아이작 뉴턴이 발견한 초기 형태의 테일러 급수 중 하나로, 그 역사적 의미가 깊다.12
유도 과정은 위와 동일하다. $f(x) = (1+x)^k$를 반복 미분하여 $x=0$에서의 계수를 찾으면 다음과 같은 급수를 얻는다.
\((1+x)^k = 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3 + \dots\) 이 급수는 $k$가 자연수일 때는 유한 다항식이 되어 우리가 아는 이항정리와 정확히 일치한다.
이 장에서 유도한 결과들과 다른 중요한 급수들을 매번 다시 유도하는 것은 비효율적이다. 아래 표는 자주 사용되는 매클로린 급수를 정리한 것이니, 필요할 때마다 참고하면 학습과 문제 해결에 큰 도움이 될 것이다. 각 함수의 급수 형태와 수렴 반경(3장에서 배울 내용)을 비교하며 패턴을 찾아보는 것도 좋은 공부가 된다.8
| 함수 | 매클로린 급수 (시그마 및 전개형) | 수렴 반경 (R) |
|---|---|---|
| $e^x$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$ | $\infty$ |
| $\sin(x)$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$ | $\infty$ |
| $\cos(x)$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$ | $\infty$ |
| $\ln(1+x)$ | $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ | $1$ |
| $\frac{1}{1-x}$ | $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots$ | $1$ |
| $(1+x)^k$ | $1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{k(k-1)\dots(k-n+1)}{n!}x^n$ | $1$ |
테일러 급수는 강력하지만 만병통치약은 아니다. 이 무한급수가 항상 원래 함수와 같다는 보장은 없다. 이 장에서는 테일러 급수를 언제, 어디서, 얼마나 믿을 수 있는지, 그리고 그 명백한 한계는 무엇인지 수학적으로 엄밀하게 파헤쳐 본다. 이는 테일러 급수를 단순한 ‘마법’이 아닌 정교한 ‘과학’으로 이해하는 과정이다.
테일러 급수는 무한개의 항을 더하는 것이므로 실제 계산에서는 유한한 $n$차 테일러 다항식 $T_n(x)$을 사용해 함수를 근사할 수밖에 없다.1 그렇다면 이 근사는 얼마나 정확할까? 원래 함수 $f(x)$와 근사 다항식 $T_n(x)$ 사이의 차이, 즉 오차는 얼마일까?
이 질문에 답하는 것이 바로 테일러 정리(Taylor’s Theorem)다. 테일러 정리는 함수 $f(x)$가 $n$차 테일러 다항식 $T_n(x)$과 나머지 항(remainder term) $R_n(x)$의 합으로 표현될 수 있다고 말한다.1
\(f(x) = T_n(x) + R_n(x)\) 여기서 $R_n(x)$는 우리가 $n$차 항까지만 사용했기 때문에 발생하는 절단 오차(truncation error)를 나타낸다. 이 오차의 크기를 알 수 있다면 근사의 정확도를 평가할 수 있다. 오차를 표현하는 여러 형태가 있지만, 가장 유용한 것 중 하나는 라그랑주 나머지 항(Lagrange remainder) 공식이다. \(R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\) 이 공식에서 $c$는 기준점 $a$와 우리가 값을 구하려는 지점 $x$ 사이 어딘가에 존재하는 어떤 값이다.36 이 공식은 놀랍게도 테일러 다항식의 다음 항, 즉
$(n+1)$차 항과 형태가 매우 유사하다. 단, 미분계수가 $f^{(n+1)}(a)$가 아닌 $f^{(n+1)}(c)$라는 점이 결정적인 차이다. 이 공식을 통해 우리는 오차의 크기를 정량적으로 추정할 수 있는 강력한 도구를 얻게 된다.
그렇다면 언제 테일러 ‘급수’가 원래 함수 $f(x)$와 완벽하게 같아질까? $f(x) = \lim_{n\to\infty} T_n(x)$가 성립하려면, 오차를 나타내는 나머지 항 $R_n(x)$가 $n$이 무한대로 갈 때 0으로 사라져야 한다.
이것이 바로 테일러 급수가 원래 함수로 수렴하기 위한 필요충분조건이다.12 \(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \quad \iff \quad \lim_{n\to\infty} R_n(x) = 0\) 2장에서 살펴본 $e^x$, $\sin(x)$, $\cos(x)$ 같은 함수들은 모든 실수 $x$에 대해 이 조건을 만족한다. 예를 들어 $\cos(x)$의 경우, $(n+1)$차 도함수는 $\pm\sin(z)$ 또는 $\pm\cos(z)$이므로 그 절댓값은 항상 1보다 작거나 같다 ($|f^{(n+1)}(c)| \le 1$). 따라서 나머지 항의 크기는 다음과 같이 제한된다. \(|R_n(x)| \le \frac{1}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}\) $x$와 $a$가 어떤 값이든, $n$이 무한대로 갈 때 $n!$이 분모에서 훨씬 더 빠르게 증가하기 때문에 이 값은 0으로 수렴한다. 따라서 $e^x$, $\sin(x)$, $\cos(x)$의 테일러 급수는 모든 실수 구간에서 원래 함수와 정확히 일치한다.12 이렇게 자신의 테일러 급수와 일치하는 ‘착한’ 함수들을 해석 함수(analytic function)라고 부른다.
| 모든 테일러 급수가 모든 $x$에 대해 수렴하는 것은 아니다. 기하급수 $\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \dots$는 $ | x | < 1$일 때만 수렴하고, $ | x | \ge 1$이면 발산한다. |
이처럼 멱급수가 수렴하는 $x$값의 범위를 수렴 구간(interval of convergence)이라 하고, 그 구간의 중심($a$)으로부터 경계까지의 거리를 수렴 반경(radius of convergence) $R$이라고 한다.33
수렴 반경은 테일러 급수의 ‘유효 기간’이나 ‘작동 범위’와 같다. 이 범위를 벗어나는 순간, 테일러 급수는 더 이상 원래 함수를 대변하지 못하고 무의미한 값으로 발산해버린다. 따라서 어떤 급수를 다룰 때 수렴 반경을 확인하는 것은 필수적인 과정이다.2
수렴 반경 $R$은 보통 비율 판정법(Ratio Test)을 사용하여 구한다. 급수의 $n$번째 항을 $c_n(x-a)^n$이라 할 때, 다음 극한값을 계산한다.
\(L = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n(x-a)^n} \right| = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right| |x-a|\) 비율 판정법에 따라 급수는 $L < 1$일 때 수렴한다. 따라서,
\(|x-a| < \frac{1}{\lim_{n\to\infty} |c_{n+1}/c_n|} = R\) 이것이 수렴 반경 $R$을 구하는 공식이다.41
| 만약 $\lim | c_{n+1}/c_n | = 0$이면 $R=\infty$ (모든 $x$에서 수렴). |
| 만약 $\lim | c_{n+1}/c_n | = \infty$이면 $R=0$ ($x=a$에서만 수렴). |
자신의 테일러 급수와 일치하는 해석 함수가 있다는 것을 배웠다. 그렇다면 무한히 미분 가능한($C^\infty$) 모든 함수는 해석 함수일까? 놀랍게도 답은 ‘아니오’다. 이는 테일러 급수의 가장 심오하고 충격적인 한계점을 보여준다.
고전적인 반례로 다음 함수를 생각해보자.
\(f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^2} & \text{if } x \neq 0 \\ 0 & \text{if } x = 0 \end{cases}\) 이 함수는 $x=0$에서 완벽하게 매끄러우며, 무한히 미분 가능하다. 그런데 로피탈의 정리를 반복해서 사용해보면 $x=0$에서의 모든 차수의 미분계수가 0이라는 충격적인 결과를 얻을 수 있다.
\(f^{(n)}(0) = 0 \quad \text{for all } n \ge 0\) 이 함수의 매클로린 급수를 구하면 어떻게 될까? 모든 계수가 0이므로, 급수는 그냥 0이다 ($T(x) = 0 + 0\cdot x + 0\cdot x^2 + \dots = 0$). 이 급수는 모든 $x$에 대해 0으로 수렴하지만, 원래 함수 $f(x)$는 $x \neq 0$에서 0이 아니다. 따라서 이 함수는 자신의 테일러 급수와 전혀 다른 값을 갖는다.5
이 예제는 테일러 급수가 만능이 아니며, ‘무한히 미분 가능’이라는 조건만으로는 함수를 완벽하게 재구성하기에 부족할 수 있음을 보여준다.
그렇다면 수렴 반경은 도대체 무엇에 의해 결정되는 걸까? 실수 축만 봐서는 알 수 없는 비밀이 복소 평면에 숨어 있다. 실수 함수 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$를 생각해보자. 이 함수는 모든 실수 $x$에 대해 완벽하게 매끄럽다. 그런데 이 함수의 매클로린 급수의 수렴 반경은 $R=1$이다. 왜 하필 1일까?
관점을 복소 평면으로 확장하여 $f(z) = \frac{1}{1+z^2}$를 생각해보자. 이 함수는 분모가 0이 되는 지점, 즉 $z^2 = -1$인 $z = i$와 $z = -i$에서 정의되지 않는다. 이런 점을 특이점(singularity)이라고 한다. 매클로린 급수의 중심은 $a=0$이다. 복소 평면에서 중심 0으로부터 가장 가까운 특이점($i$ 또는 $-i$)까지의 거리는 정확히 1이다.
테일러 급수의 수렴 반경은 전개 중심으로부터 가장 가까운 특이점까지의 거리와 같다. 이것이 수렴 반경의 본질이다. 실수 축 위에서는 보이지 않던 ‘벽’이 복소 평면에 존재하며, 이 벽이 수렴의 한계를 결정하는 것이다.34 이는 테일러 급수의 수렴성이 함수의 내재적인 구조와 얼마나 깊이 연결되어 있는지를 보여주는 강력한 증거다.
지금까지 배운 테일러 급수는 단순한 수학적 유희가 아니다. 물리학, 공학, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에서 복잡한 문제를 해결하는 데 사용되는 강력하고 실용적인 도구다. 이 장에서는 테일러 급수가 어떻게 이론의 세계를 넘어 현실의 문제를 풀어내는지 구체적인 사례를 통해 살펴본다. 핵심 아이디어는 ‘근사’와 ‘단순화’다. 현실의 복잡하고 비선형적인 시스템을 우리가 다룰 수 있는 선형적이거나 단순한 다항식의 세계로 끌어내리는 ‘번역기’ 역할을 하는 것이다.
물리학자들은 복잡한 자연 현상을 이해하기 위해 종종 모델을 단순화해야 한다. 테일러 급수는 이때 가장 강력한 무기 중 하나다.
물리학에서 가장 유명하고 빈번하게 사용되는 근사법일 것이다. 예를 들어, 흔들리는 진자의 운동을 기술하는 방정식은 다음과 같다.
\(\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0\) 여기서 $\theta$는 진자가 수직선과 이루는 각도, $g$는 중력가속도, $L$은 진자의 길이다. 이 방정식은 $\sin\theta$ 항 때문에 풀기 매우 어려운 비선형 미분방정식이다.
하지만 만약 진자가 작은 각도로 진동한다면($\theta \approx 0$), 우리는 $\sin\theta$의 매클로린 급수를 이용할 수 있다.
\(\sin\theta = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \dots\) 여기서 $\theta$가 매우 작다면 $\theta^3$ 이상의 고차항들은 무시할 수 있을 만큼 작아진다. 따라서 과감하게 1차항까지만 사용하여 근사할 수 있다.
\(\sin\theta \approx \theta\) 이 근사를 원래 방정식에 대입하면,
\(\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\theta = 0\) 이것은 우리가 해를 잘 알고 있는 단순 조화 진동자(Simple Harmonic Oscillator)의 방정식으로 변환된다. 이처럼 풀 수 없던 문제를 풀 수 있는 문제로 바꿔주는 것이 테일러 근사의 힘이다. 이 작은 각도 근사는 진자 운동뿐만 아니라 광학에서의 굴절, 전자기학, 천문학 등 물리학 전반에서 복잡한 현상을 분석 가능하게 만드는 핵심적인 기법이다.10
컴퓨터는 0과 1밖에 모르지만, 우리는 컴퓨터를 이용해 복잡한 수학 함수들을 계산한다. 그 배경에는 테일러 급수의 원리가 숨어 있다.
계산기나 컴퓨터 프로그램이 $\sin(37^\circ)$나 $e^{0.5}$ 같은 초월함수의 값을 어떻게 계산할까? 원론적으로는 해당 함수의 테일러 급수를 유한 개의 항까지만 계산하여 근사값을 구하는 것이다.
예를 들어, $\sin(x)$의 값을 구하려면 매클로린 급수를 이용해 다음과 같이 계산할 수 있다.
\(\sin(x) \approx x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}\) 항을 더 많이 포함할수록 계산 결과는 실제 값에 더 가까워진다. 컴퓨터는 이런 다항식 계산을 엄청나게 빠른 속도로 수행할 수 있다.2
하지만 여기서 현실적인 뉘앙스를 알아둘 필요가 있다. 현대의 고성능 수치 계산 라이브러리나 계산기는 순수한 테일러 급수보다 더 효율적인 방법을 사용한다. 특정 구간에서 오차를 최소화하도록 최적화된 체비쇼프 다항식(Chebyshev polynomials)이나, 하드웨어적으로 구현하기 쉬운 CORDIC 알고리즘 등이 대표적이다. 이런 알고리즘들은 테일러 급수보다 더 적은 계산으로 더 높은 정밀도를 얻을 수 있기 때문이다. 그럼에도 불구하고, 이 모든 방법의 이론적 기반에는 ‘함수를 다항식으로 근사한다’는 테일러 급수의 아이디어가 깔려 있다.50
테일러 급수는 다른 수학 분야의 문제를 풀거나, 서로 다른 개념들을 연결하는 아름다운 다리 역할을 하기도 한다.
수학에서 가장 아름다운 공식으로 꼽히는 오일러 공식(Euler’s Formula), $e^{ix} = \cos x + i \sin x$를 증명하는 가장 직관적인 방법 중 하나가 바로 매클로린 급수를 이용하는 것이다.
$e^z$의 매클로린 급수에서 시작한다:
\(e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \dots\) $z$에 $ix$를 대입한다:** \(e^{ix} = 1 + (ix) + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \dots\)
$i$의 거듭제곱 성질($i^2=-1, i^3=-i, i^4=1, \dots$)을 이용하여 정리한다:
$$e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} + \dots$$
실수부와 허수부로 묶는다: \(e^{ix} = \left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots\right) + i\left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots\right)\)
결과를 확인한다: 괄호 안의 두 급수는 각각 $\cos(x)$와 $\sin(x)$의 매클로린 급수와 정확히 일치한다.
\(e^{ix} = \cos x + i \sin x\) 이 증명은 전혀 상관없어 보이던 지수함수와 삼각함수가 복소 평면 위에서 깊고 본질적인 관계를 맺고 있음을 명확하게 보여준다.5
어떤 함수들은 그 부정적분을 우리가 아는 초등함수(다항함수, 삼각함수, 지수/로그함수 등)로 표현할 수 없다. 대표적인 예가 정규분포 곡선에 등장하는 $f(x) = e^{-x^2}$이다. $\int e^{-x^2} dx$는 초등함수로 표현되지 않는다.
하지만 이 함수의 정적분 값은 필요할 때가 많다. 이때 테일러 급수가 해결사로 나선다.
피적분함수 $e^{-x^2}$를 매클로린 급수로 전개한다. ($e^u$의 급수에 $u=-x^2$를 대입)
\[e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \dots\]이 다항식 급수를 항별로 적분한다. 다항식의 적분은 매우 쉽다.
\(\int_0^1 e^{-x^2} dx \approx \int_0^1 \left(1 - x^2 + \frac{x^4}{2}\right) dx = \left[x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10}\right]_0^1 = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} \approx 0.767\) 이처럼 해석적으로 풀 수 없는 적분 문제도 테일러 급수를 이용하면 원하는 정밀도로 근사값을 구할 수 있다.2
지금까지 우리는 테일러 급수라는 거대한 산을 함께 넘었다. 그 여정을 통해 테일러 급수가 단순히 복잡한 공식을 넘어, 세상을 이해하는 하나의 강력한 사고방식임을 알게 되었다.
핵심을 다시 한번 요약하자면, 테일러 급수는 어떤 함수를 특정 지점($a$)에서의 ‘국소적 정보’(모든 차수의 미분계수)만을 이용하여, 우리가 다루기 가장 쉬운 형태인 ‘다항식’으로 근사하거나 재구성하는 우아하고 강력한 도구다.4 이는 복잡한 대상을 가장 본질적인 요소들로 분해하여 이해하려는 과학적 사고의 정수와 맞닿아 있다.
우리는 테일러 급수의 무한한 힘을 보았다. 풀 수 없던 미분방정식을 풀 수 있는 형태로 바꾸고(작은 각도 근사), 계산 불가능해 보이던 함수의 값을 계산하며(수치 계산), 전혀 달라 보이던 지수함수와 삼각함수를 하나로 묶어주는(오일러 공식) 마법을 목격했다.
동시에 우리는 그 명백한 한계 또한 직시했다. 모든 급수가 모든 곳에서 유효하지 않다는 수렴 반경의 존재, 그리고 심지어 무한히 미분 가능하더라도 자신의 테일러 급수와 전혀 다른 값을 갖는 ‘배신’의 가능성까지. 이는 우리에게 어떤 도구를 사용하든 그 작동 원리와 한계를 명확히 이해해야 한다는 중요한 교훈을 준다.
결론적으로 테일러 급수는 복잡한 현상을 이해 가능한 단순한 요소들로 분해하고 분석하려는 인간 지성의 위대한 성취 중 하나다. 이 자습서를 통해 당신이 테일러 급수를 어려운 계산 공식이 아닌, 복잡한 세상을 꿰뚫어 보는 깊이 있는 ‘사고의 틀’로 받아들일 수 있게 되었다면, 이 긴 여정은 성공적이었을 것이다.8 이제 이 강력한 렌즈를 손에 쥐었으니, 당신이 마주할 수많은 수학적, 과학적 문제들을 더 깊고 명확하게 분석해 나갈 수 있기를 바란다.
| 테일러와 매크로린 다항식이란?(1) (동영상) | 급수 | Khan Academy - 칸아카데미, accessed July 30, 2025, https://ko.khanacademy.org/math/integral-calculus/ic-series/ic-taylor-polynomials/v/maclaurin-and-taylor-series-intuition |
| What is the Taylor Series? - The Certificate in Quantitative Finance | CQF, accessed July 30, 2025, https://www.cqf.com/blog/quant-finance-101/what-is-the-taylor-series |
| Maclaurin Expansion of sin(x) | The Infinite Series Module - UBC Blogs, accessed July 30, 2025, https://blogs.ubc.ca/infiniteseriesmodule/units/unit-3-power-series/taylor-series/maclaurin-expansion-of-sinx/ |
| sin(x)의 매클로린 급수 (동영상) | 급수 | Khan Academy - 칸아카데미, accessed July 30, 2025, https://ko.khanacademy.org/math/integral-calculus/ic-series/ic-maclaurin-series/v/sine-taylor-series-at-0-maclaurin |
| Interval and Radius of Convergence | Brilliant Math & Science Wiki, accessed July 30, 2025, https://brilliant.org/wiki/taylor-series-interval-and-radius-of-convergence/ |