물리적 현상, 예를 들어 전기 회로의 전류 흐름, 기계 시스템의 진동, 열의 전도 등을 수학적으로 모델링하면 종종 복잡한 선형 상미분 방정식(Linear Ordinary Differential Equations, LODEs)으로 표현됩니다.1 이러한 방정식들은 시간($t$)에 따라 시스템이 어떻게 변화하는지를 설명합니다. 그러나 시간 영역($t$-domain)에서 이러한 미분 방정식을 직접 푸는 것은, 특히 비동차(non-homogeneous) 방정식이나 불연속적인 입력이 주어질 때, 매우 번거롭고 단편적인 접근법을 요구할 수 있습니다. 예를 들어, 해를 구하기 위해 동차 해(homogeneous solution)와 특수 해(particular solution)를 별도로 계산한 후 이를 합쳐야 하는 과정은 복잡성을 가중시킵니다.4
이러한 복잡성을 해결하기 위해 수학자들은 ‘적분 변환(Integral Transform)’이라는 강력한 도구를 개발했습니다. 적분 변환은 특정 함수를 한 영역(예: 시간 영역)에서 다른 영역(예: 주파수 영역)으로 변환하는 수학적 “기계”와 같습니다. 이 변환의 핵심 아이디어는 미적분 연산(미분, 적분)을 더 간단한 대수적 연산(곱셈, 나눗셈)으로 바꾸는 데 있습니다.1 라플라스 변환은 이러한 적분 변환 중 가장 널리 사용되는 것 중 하나로, 미분 방정식을 대수 방정식으로 변환하여 문제 해결 과정을 극적으로 단순화합니다.
라플라스 변환은 그 유용성 덕분에 다양한 학문 및 공학 분야에서 필수적인 도구로 자리 잡았습니다. 전기 회로 분석 2, 제어 시스템 공학 5, 기계 진동 분석 7, 신호 처리 2는 물론, 의료 영상(MRI, ECG 분석)이나 금융 공학과 같은 예상치 못한 분야에서도 복잡한 문제를 해결하는 데 사용됩니다.7 이 자습서를 통해 우리는 라플라스 변환이 어떻게 이러한 문제들을 단순화하고 해결하는 데 강력한 힘을 발휘하는지 탐구할 것입니다.
이러한 변환 과정은 단순히 계산의 편의를 넘어, 시스템을 분석하는 관점 자체를 근본적으로 바꿉니다. 시간 영역에서 시스템의 출력인 $y(t)$를 구하는 것은 마치 영화를 한 프레임씩 따라가며 시스템의 ‘행동’을 관찰하는 것과 같습니다. 반면, 라플라스 변환은 시스템의 전체 동역학을 지배하는 미분 방정식을 ‘전달 함수’ $G(s)$라는 단일 대수 방정식으로 압축합니다.8 이 전달 함수는 특정 입력 신호와 무관하게 시스템의 고유한 특성-자연 주파수, 감쇠, 안정성 등-을 모두 담고 있습니다. 따라서 라플라스 변환은 시스템의 시간적 ‘행동’($y(t)$)을 분석하는 것에서 시스템의 내재적 ‘본질’($G(s)$)을 분석하는 것으로 관점을 전환시킵니다. 이는 훨씬 더 강력하고 일반화된 접근법으로, 시스템의 본질을 이해하면 단 하나의 입력이 아닌 모든 가능한 입력에 대한 행동을 예측할 수 있게 해줍니다.
시간 영역의 함수 $f(t)$ ($t \ge 0$에 대해 정의됨)의 라플라스 변환은 $\mathcal{L}{f(t)}$로 표기하며, 다음과 같은 이상적분(improper integral)으로 정의됩니다. 이 정의는 주로 공학에서 사용되는 단측 라플라스 변환(unilateral Laplace transform)입니다.1 \(F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} \, dt\) 여기서 각 구성 요소는 다음과 같습니다:
이 변환은 18세기 수학자 피에르시몽 라플라스(Pierre-Simon Laplace)의 연구에서 비롯되었으며, 이후 올리버 헤비사이드(Oliver Heaviside)와 같은 여러 학자들의 기여를 통해 현재의 형태로 발전했습니다.10
라플라스 변환의 핵심은 복소 변수 $s$에 대한 이해입니다. $s$는 실수부($\sigma$, 시그마)와 허수부($\omega$, 오메가)로 구성됩니다.7 \(s = \sigma + j\omega\)
정의에 사용된 적분은 모든 $s$ 값에 대해 항상 수렴(유한한 값을 가짐)하지는 않습니다. 이 적분이 수렴하는 $s$ 값들의 집합을 ‘수렴 영역(Region of Convergence, ROC)’이라고 합니다.4 예를 들어, 함수 $f(t) = e^{at}$의 라플라스 변환을 계산해 봅시다. \(\mathcal{L}\{e^{at}\} = \int_{0}^{\infty} e^{at} e^{-st} \, dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t} \, dt = \left[ -\frac{1}{s-a}e^{-(s-a)t} \right]_{0}^{\infty}\) 이 적분이 수렴하려면 $t \to \infty$일 때 $e^{-(s-a)t}$가 0으로 가야 합니다. $s = \sigma + j\omega$이므로, $e^{-(\sigma-a)t}e^{-j\omega t}$의 크기는 $e^{-(\sigma-a)t}$입니다. 이 값이 0으로 수렴하기 위한 조건은 $\sigma - a > 0$, 즉 $\text{Re}(s) > a$입니다. 따라서 $e^{at}$의 라플라스 변환은 $F(s) = \frac{1}{s-a}$이며, 이 변환의 ROC는 $\text{Re}(s) > a$입니다. ROC는 변환의 유효성을 보장하는 근본적인 개념입니다.
라플라스 변환은 푸리에 변환의 일반화된 형태로 볼 수 있습니다. 라플라스 변환의 정의를 다시 살펴보면, 이는 함수 $f(t)e^{-\sigma t}$에 대한 푸리에 변환과 구조적으로 동일하다는 것을 알 수 있습니다.4 \(F(s) = F(\sigma + j\omega) = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-(\sigma+j\omega)t} \, dt = \int_{0}^{\infty} [f(t)e^{-\sigma t}]e^{-j\omega t} \, dt = \mathcal{F}\{f(t)e^{-\sigma t}\}\) 이 관계는 라플라스 변환의 강력한 직관을 제공합니다. 푸리에 변환은 안정적이고 절대 적분 가능한 신호에 대해서만 주파수 분석을 제공합니다. 하지만 $e^{at}$와 같이 발산하는 함수나 램프 함수($t$)는 푸리에 변환을 직접 적용할 수 없습니다.12 라플라스 변환은 이러한 함수에 감쇠 인자 $e^{-\sigma t}$를 먼저 곱하여 수렴하도록 “길들인” 후에 푸리에 변환을 수행하는 것과 같습니다.4
결과적으로, $s$-평면($\sigma$축과 $j\omega$축으로 이루어진 복소 평면)은 신호나 시스템의 안정성과 진동 특성을 보여주는 완벽한 지도가 됩니다. 푸리에 변환이 이 지도의 $j\omega$축(순수한 진동)만을 보여준다면, 라플라스 변환은 전체 평면을 탐색합니다. $j\omega$축은 정상 상태(steady-state) 분석에 해당하고, $\sigma$축을 따라 좌우로 움직이는 것은 시스템의 과도(transient) 응답, 즉 감쇠하거나 발산하는 현상을 분석하는 것을 의미합니다. 이것이 바로 라플라스 변환이 푸리에 변환만으로는 다루기 힘든 시스템의 안정성 분석에 필수적인 이유입니다.14
라플라스 변환은 문제 해결 과정을 단순화하는 여러 강력한 대수적 특성을 가집니다.
가장 기본적이고 중요한 특성은 선형성입니다. 두 함수 $f_1(t)$와 $f_2(t)$의 라플라스 변환이 각각 $F_1(s)$와 $F_2(s)$일 때, 이들의 선형 결합의 라플라스 변환은 각 변환의 선형 결합과 같습니다.5 \(\mathcal{L}\{a f_1(t) + b f_2(t)\} = a \mathcal{L}\{f_1(t)\} + b \mathcal{L}\{f_2(t)\} = a F_1(s) + b F_2(s)\) 이 특성 덕분에 복잡한 함수를 더 간단한 함수들의 합으로 분해하여 분석할 수 있으며, 이는 나중에 배울 부분 분수 전개의 이론적 기반이 됩니다.
$s$-이동 정리는 시간 영역에서 함수에 지수 함수 $e^{at}$가 곱해지면, $s$-영역에서는 주파수 변수 $s$가 $s-a$로 이동하는 효과를 나타낸다는 것을 보여줍니다.8 \(\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)\) 증명: \(\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = \int_{0}^{\infty} (e^{at}f(t))e^{-st} \, dt = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-(s-a)t} \, dt = F(s-a)\) 이 정리는 $e^{at}\cos(bt)$와 같은 감쇠 진동 함수의 변환을 쉽게 구하는 데 매우 유용합니다.15
$t$-이동 정리는 시간적으로 지연된 신호를 다룹니다. 이를 표현하기 위해 단위 계단 함수(Unit Step Function) 또는 헤비사이드 함수(Heaviside Function) $u(t)$가 사용됩니다. $u(t-a)$는 $t=a$에서 0에서 1로 바뀌는 함수로, 신호가 $t=a$ 시점에서 “켜지는” 것을 모델링합니다.
시간 이동 정리는 다음과 같습니다 7: \(\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\} = e^{-as}F(s)\) 이 특성은 시간 지연이 있는 시스템이나 특정 시간 이후에 인가되는 입력을 분석하는 데 필수적입니다. 예를 들어, 스위치가 $t=3$초에 닫히는 회로를 해석할 때 유용하게 사용됩니다.15
실제 문제 해결 과정은 $s$-영역에서 일련의 전략적인 대수적 조작을 포함하며, 이러한 조작은 변환의 특성에 의해 지배됩니다. 아래 표는 이러한 “게임의 규칙”을 중앙에서 관리하여 문제 해결 시 인지 부하를 줄이고 오류를 방지하는 데 도움을 줍니다. 이는 단순한 암기에서 패턴 인식 및 전략적 적용이라는 더 높은 수준의 기술로 나아가는 발판이 됩니다.
| 특성 이름 | 시간 영역 $f(t)$ | s-영역 $F(s)$ |
|---|---|---|
| 선형성 | $a f_1(t) + b f_2(t)$ | $a F_1(s) + b F_2(s)$ |
| 주파수 이동 | $e^{at}f(t)$ | $F(s-a)$ |
| 시간 이동 | $f(t-a)u(t-a)$ | $e^{-as}F(s)$ |
| 시간 척도조정 | $f(at)$, ($a>0$) | $\frac{1}{a}F(\frac{s}{a})$ |
| 시간 영역 미분 | $\frac{df(t)}{dt}$ | $sF(s) - f(0)$ |
| 시간 영역 적분 | $\int_{0}^{t} f(\tau) \, d\tau$ | $\frac{F(s)}{s}$ |
| 주파수 영역 미분 | $t f(t)$ | $-\frac{dF(s)}{ds}$ |
| 주파수 영역 적분 | $\frac{f(t)}{t}$ | $\int_{s}^{\infty} F(\sigma) \, d\sigma$ |
가장 기본적인 함수들의 라플라스 변환은 정의로부터 직접 유도할 수 있으며, 모든 변환의 기초가 됩니다.
삼각함수 $\sin(at)$와 $\cos(at)$의 변환은 오일러 공식($e^{jat} = \cos(at) + j\sin(at)$)과 지수 함수의 변환 결과를 이용하면 매우 효율적으로 유도할 수 있습니다.17 \(\mathcal{L}\{e^{jat}\} = \mathcal{L}\{\cos(at) + j\sin(at)\} = \mathcal{L}\{\cos(at)\} + j\mathcal{L}\{\sin(at)\}\) 한편, 지수 함수의 변환 공식으로부터 $\mathcal{L}{e^{jat}} = \frac{1}{s-ja}$ 입니다. 이 분수를 유리화하면, \(\frac{1}{s-ja} = \frac{s+ja}{(s-ja)(s+ja)} = \frac{s+ja}{s^2+a^2} = \frac{s}{s^2+a^2} + j\frac{a}{s^2+a^2}\) 실수부와 허수부를 비교하면 다음 결과를 얻습니다:
이 표는 시간 영역과 $s$-영역 사이를 번역하는 “사전” 역할을 합니다. 실제 문제 해결에서 가장 자주 참조되는 자료이며, 표준적인 함수 형태를 즉시 인식하게 하여 문제 해결의 효율성을 극대화합니다.5 이는 라플라스 변환을 강력한 “요리책” 접근법으로 만들어주는 기반입니다.20
| 시간 영역 함수 $f(t)$ | s-영역 함수 $F(s)$ |
|---|---|
| $\delta(t)$ (단위 임펄스) | $1$ |
| $u(t)$ (단위 계단) | $\frac{1}{s}$ |
| $t$ | $\frac{1}{s^2}$ |
| $t^n$ ($n$은 양의 정수) | $\frac{n!}{s^{n+1}}$ |
| $e^{-at}$ | $\frac{1}{s+a}$ |
| $t e^{-at}$ | $\frac{1}{(s+a)^2}$ |
| $\sin(at)$ | $\frac{a}{s^2+a^2}$ |
| $\cos(at)$ | $\frac{s}{s^2+a^2}$ |
| $e^{-at}\sin(bt)$ | $\frac{b}{(s+a)^2+b^2}$ |
| $e^{-at}\cos(bt)$ | $\frac{s+a}{(s+a)^2+b^2}$ |
| $\sinh(at)$ | $\frac{a}{s^2-a^2}$ |
| $\cosh(at)$ | $\frac{s}{s^2-a^2}$ |
미분 정리는 라플라스 변환이 미분 방정식을 푸는 데 강력한 이유를 설명하는 핵심 속성입니다. 1차 도함수의 변환은 다음과 같이 유도됩니다.4 \(\mathcal{L}\left\{\frac{df(t)}{dt}\right\} = sF(s) - f(0)\) 증명 (부분적분 이용): \(\begin{align} \mathcal{L}\{f'(t)\} &= \int_{0}^{\infty} f'(t)e^{-st} \, dt \\ &= [f(t)e^{-st}]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} f(t)(-se^{-st}) \, dt \\ &= (0 - f(0)) + s \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} \, dt \\ &= sF(s) - f(0) \end{align}\) 이 정리는 미분이라는 미적분 연산을 $s$를 곱하는 대수 연산으로 변환하며, 동시에 초기 조건 $f(0)$을 방정식에 직접 통합시킨다는 점에서 매우 중요합니다.4 2차 도함수의 변환은 이 과정을 반복하여 얻을 수 있습니다. \(\mathcal{L}\left\{\frac{d^2f(t)}{dt^2}\right\} = s^2F(s) - sf(0) - f'(0)\) 미분 정리에 초기 조건이 자연스럽게 포함된다는 점은 초기값 문제(Initial Value Problem) 해결에 있어 푸리에 변환보다 라플라스 변환이 훨씬 우월한 이유를 설명합니다. 푸리에 변환의 미분 속성($\mathcal{F}{df/dt} = j\omega F(\omega)$)에는 초기 조건 항이 없습니다. 이는 푸리에 변환이 모든 시간($-\infty$에서 $+\infty$까지)에 걸친 신호의 정상 상태를 분석하는 데 초점을 맞추기 때문에 특정 시작점($t=0$)에서의 상태를 처리하는 데 적합하지 않기 때문입니다.23 반면, 단측 라플라스 변환은 $t=0$에서 시작하므로 초기 조건 $f(0)$을 미분 정리에 자연스럽게 포함합니다.4 이 덕분에 미분 방정식을 변환할 때 시스템의 초기 상태가 대수 방정식에 자동으로 내장되어, 동차 해와 특수 해를 한 번에 구하는 통합된 풀이 과정을 제공합니다.4
미분에 대응하는 적분 정리는 다음과 같습니다. 이 정리는 커패시터 전압과 같이 적분 항을 포함하는 회로 방정식을 다룰 때 유용합니다.2 \(\mathcal{L}\left\{\int_{0}^{t} f(\tau) \, d\tau\right\} = \frac{F(s)}{s}\)
이 정리들은 역변환을 수행하지 않고도 $s$-영역 함수로부터 시간 영역 함수의 초기값($t \to 0$)과 최종값($t \to \infty$)을 직접 알 수 있게 해주는 강력한 지름길입니다.
초기값 정리 (Initial Value Theorem, IVT): \(\lim_{t \to 0} f(t) = \lim_{s \to \infty} sF(s) \quad [8, 24]\) 이 정리는 미분 정리로부터 유도되며 21, 시스템 응답의 시작점을 확인하는 데 사용됩니다.25
최종값 정리 (Final Value Theorem, FVT): \(\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s) \quad [5, 24, 26]\) 이 정리는 시스템의 정상 상태(steady-state) 값을 찾는 데 매우 유용합니다. 단, 중요한 조건이 있습니다. 이 정리는 시스템이 안정할 때, 즉 $sF(s)$의 모든 극점(pole)이 $s$-평면의 좌반면에 있을 때만 유효합니다.27 만약 시스템이 불안정하여 응답이 발산한다면($t \to \infty$일 때 무한대로 감), 이 정리는 잘못된 유한한 값을 줄 수 있습니다.
라플라스 변환 과정을 거꾸로 되돌리는 것을 라플라스 역변환이라 하며, $\mathcal{L}^{-1}$로 표기합니다. 이 방법이 신뢰성을 갖는 이유는 변환의 ‘유일성(uniqueness)’ 때문입니다. 연속 함수에 대해, 만약 $\mathcal{L}{f(t)} = F(s)$라면, $\mathcal{L}^{-1}{F(s)}$는 유일하게 $f(t)$가 됩니다.5 즉, 서로 다른 두 시간 함수가 동일한 라플라스 변환 결과를 가질 수 없다는 것입니다.
가장 간단한 역변환 방법은 주어진 $F(s)$를 라플라스 변환 쌍 표에서 찾아 해당하는 $f(t)$를 찾는 것입니다. 예를 들어, $F(s) = \frac{10}{s^2+25}$의 역변환을 구한다고 가정해 봅시다. 이를 $\frac{2 \cdot 5}{s^2+5^2}$로 변형하면, 표에서 $\mathcal{L}{\sin(at)} = \frac{a}{s^2+a^2}$ 형태와 일치함을 알 수 있습니다. 따라서 역변환은 $f(t) = 2\sin(5t)$가 됩니다.
실제 문제에서 얻어지는 $F(s)$는 대부분 표에 직접 나타나지 않는 복잡한 유리 함수 형태입니다. 이때 사용하는 전략이 바로 ‘부분 분수 전개(Partial Fraction Expansion, PFE)’입니다.28 선형성 특성 덕분에, 복잡한 유리 함수 $F(s)$를 표에서 찾을 수 있는 더 간단한 분수들의 합으로 분해할 수 있습니다.
부분 분수 전개 과정은 단순히 대수적 조작에 그치지 않고, 시스템의 전체 응답을 그 기본 동적 구성 요소로 수학적으로 해부하는 과정과 같습니다. 예를 들어, $F(s) = \frac{A}{s+a} + \frac{B}{s+b}$와 같이 전개되었다면, 이는 시스템의 응답이 $Ae^{-at}$라는 모드와 $Be^{-bt}$라는 두 가지 기본 모드의 합으로 구성됨을 의미합니다.31 즉, $s=-a$라는 극점은 $e^{-at}$라는 감쇠 모드를, $s=-b$라는 극점은 $e^{-bt}$라는 감쇠 모드를 직접적으로 생성합니다. 이처럼 PFE는 $F(s)$의 대수적 구조와 $f(t)$의 질적 특성 사이의 깊은 연결고리를 드러냅니다.
$F(s)$의 분모가 $(s+a)(s+b)$와 같이 반복되지 않는 실수 인수를 가질 때, 각 항의 계수는 헤비사이드(Heaviside)의 “가리기(cover-up)” 방법으로 쉽게 구할 수 있습니다.28
예를 들어 \(F(s) = \frac{s+3}{(s+1)(s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2}\) 일 때,
| $A$를 구하려면, 원식에서 $(s+1)$을 가리고 $s=-1$을 대입합니다: $A = \left. \frac{s+3}{s+2} \right | _{s=-1} = \frac{2}{1} = 2$. |
따라서 \(F(s) = \frac{2}{s+1} - \frac{1}{s+2}\) 이고, 역변환은 \(f(t) = 2e^{-t} - e^{-2t}\) 가 됩니다.
분모가 $(s+a)^n$과 같은 중복 인수를 포함할 경우, 계수를 구하기 위해 미분을 사용하는 방법이 필요합니다.28
예를 들어 \(F(s) = \frac{1}{(s+2)(s+1)^2} = \frac{A}{s+2} + \frac{B}{(s+1)^2} + \frac{C}{s+1}\) 일 때,
$A$와 $B$는 가리기 방법으로 구할 수 있습니다.
| $A = \left. \frac{1}{(s+1)^2} \right | _{s=-2} = 1$. |
| $B = \left. \frac{1}{s+2} \right | _{s=-1} = 1$. |
$C$를 구하기 위해서는, 원식에서 $(s+1)^2$을 곱한 식을 $s$에 대해 미분한 후 $s=-1$을 대입합니다. \(C = \frac{1}{(2-1)!} \frac{d}{ds} \left[ (s+1)^2 F(s) \right]_{s=-1} = \frac{d}{ds} \left[ \frac{1}{s+2} \right]_{s=-1} = \left[ -\frac{1}{(s+2)^2} \right]_{s=-1} = -1\) 따라서 $F(s) = \frac{1}{s+2} + \frac{1}{(s+1)^2} - \frac{1}{s+1}$ 이고, 역변환은 $f(t) = e^{-2t} + te^{-t} - e^{-t}$가 됩니다.
분모가 $s^2+bs+c$와 같이 인수분해되지 않는 2차식을 포함할 경우, “제곱 완성(completing the square)”을 통해 분모를 $(s+a)^2+b^2$ 형태로 만듭니다. 이 형태는 표에 있는 감쇠 사인 및 코사인 변환과 일치시킬 수 있습니다.15
예를 들어 $F(s) = \frac{s+3}{s^2+2s+5}$일 때,
분모를 제곱 완성합니다: $s^2+2s+5 = (s^2+2s+1)+4 = (s+1)^2+2^2$.
분자를 분모의 $(s+1)$ 항과 상수 항으로 분리합니다: $s+3 = (s+1)+2$.
$F(s)$를 분리합니다: $F(s) = \frac{s+1}{(s+1)^2+2^2} + \frac{2}{(s+1)^2+2^2}$.
표를 참조하여 역변환합니다. 첫 번째 항은 $\mathcal{L}{e^{-t}\cos(2t)}에, 두 번째 항은 \mathcal{L}{e^{-t}\sin(2t)}$에 해당합니다.
따라서 역변환은 $f(t) = e^{-t}\cos(2t) + e^{-t}\sin(2t)$가 됩니다.
라플라스 변환은 LODE, 특히 초기값 문제(IVP)를 푸는 데 탁월한 체계적 방법을 제공합니다.
다음 초기값 문제를 풀어봅시다: $y’’ - 4y’ + 3y = t$, 초기 조건 $y(0)=0$, $y’(0)=0$.4
변환: 양변을 라플라스 변환합니다. \(\mathcal{L}\{y''\} - 4\mathcal{L}\{y'\} + 3\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{t\} - 4 + 3Y(s) = \frac{1}{s^2}\) 초기 조건을 대입하면($y(0)=0, y’(0)=0$): \(s^2Y(s) - 4sY(s) + 3Y(s) = \frac{1}{s^2}\) 풀이: $Y(s)$에 대해 정리합니다. \((s^2 - 4s + 3)Y(s) = \frac{1}{s^2}\)
\[Y(s) = \frac{1}{s^2(s-1)(s-3)}\]역변환: 부분 분수 전개를 수행합니다. \(Y(s) = \frac{A}{s} + \frac{B}{s^2} + \frac{C}{s-1} + \frac{D}{s-3}\) 계수를 구하면 $A=4/9, B=1/3, C=-1/2, D=1/18$ 입니다.4 \(Y(s) = \frac{4}{9}\frac{1}{s} + \frac{1}{3}\frac{1}{s^2} - \frac{1}{2}\frac{1}{s-1} + \frac{1}{18}\frac{1}{s-3}\) 표를 이용하여 역변환하면 최종 해를 얻습니다. \(y(t) = \frac{4}{9} + \frac{1}{3}t - \frac{1}{2}e^t + \frac{1}{18}e^{3t}\) 이 예제는 라플라스 변환이 과도 응답(지수 함수 항)과 정상 상태 응답(상수 및 램프 항)을 하나의 통합된 과정으로 어떻게 도출하는지 명확히 보여줍니다.
라플라스 변환을 이용하면 회로 소자의 전압-전류 관계를 s-영역에서 간단한 대수 관계로 표현할 수 있습니다. 이를 ‘임피던스(Impedance)’라고 합니다. (초기 조건은 0으로 가정)
핵심은 s-영역 임피던스를 사용하면, 복잡한 교류(AC) 회로 문제를 마치 직류(DC) 회로처럼 다룰 수 있다는 것입니다. 옴의 법칙, 키르히호프의 법칙, 전압/전류 분배 법칙 등 모든 DC 회로 분석 기법이 s-영역에 그대로 적용됩니다.2
저항 $R$, 인덕터 $L$, 커패시터 $C$가 직렬로 연결된 회로에 단위 계단 전압 $V(t)=u(t)$를 인가한다고 가정해 봅시다. (모든 초기 조건은 0)
변환: 회로를 s-영역으로 변환합니다. 입력 전압은 $V(s) = \frac{1}{s}$가 되고, 총 임피던스는 $Z(s) = R + sL + \frac{1}{sC}$가 됩니다.
풀이: s-영역에서 키르히호프의 전압 법칙을 적용하여 전류 I(s)를 구합니다. \(V(s) = I(s) \cdot Z(s)\)
\[I(s) = \frac{V(s)}{Z(s)} = \frac{1/s}{R + sL + 1/sC} = \frac{1/L}{s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC}}\]역변환: $I(s)$를 부분 분수 전개하여 역변환하면 시간 영역의 전류 $i(t)$를 얻을 수 있습니다. 이때 $I(s)$의 분모, 즉 특성 방정식($s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC}=0$)의 근(극점)의 형태에 따라 회로의 응답이 과도감쇠(overdamped), 임계감쇠(critically damped), 또는 부족감쇠(underdamped)로 결정됩니다.
기계 진동 시스템의 고전적인 예는 질량-스프링-댐퍼 시스템입니다. 뉴턴의 제2법칙($F=ma$)을 적용하면 다음과 같은 2계 LODE를 얻을 수 있습니다.3 \(m\frac{d^2y(t)}{dt^2} + b\frac{dy(t)}{dt} + ky(t) = F(t)\) 여기서 $m$은 질량, $b$는 댐핑 계수, $k$는 스프링 상수, $y(t)$는 변위, $F(t)$는 외부 힘입니다.
이 방정식을 라플라스 변환하고 (초기 조건 0 가정), 입출력의 비율로 정리하면 ‘전달 함수’ $G(s)$를 얻습니다. 전달 함수는 제어 공학의 핵심 개념으로, 시스템의 동적 특성을 s-영역에서 간결하게 표현합니다.8 \((ms^2 + bs + k)Y(s) = F(s) \implies G(s) = \frac{Y(s)}{F(s)} = \frac{1}{ms^2 + bs + k}\) 전달 함수는 다양한 물리 시스템을 설명하고 비교하기 위한 보편적이고 표준화된 언어를 제공합니다. 2계 기계 시스템과 2계 전기 회로는 완전히 다른 물리적 구성 요소를 갖지만, 수학적으로 동일한 형태의 전달 함수를 가질 수 있습니다. 이는 라플라스 변환이 서로 다른 물리 영역 간의 깊은 유추 관계를 드러낸다는 것을 의미합니다. 예를 들어, RLC 회로의 방정식($Lq’’ + Rq’ + \frac{1}{C}q = V(t)$)과 질량-스프링-댐퍼 시스템의 방정식($my’’ + by’ + ky = F(t)$)은 구조적으로 동일합니다.2 이 덕분에 전기 공학자가 RLC 회로의 응답을 조절하는 지식을 기계 공학자가 기계 시스템의 진동을 제어하는 문제에 직접 적용할 수 있습니다.
DC 모터는 전기적 시스템과 기계적 시스템이 결합된 대표적인 예입니다. 전달 함수를 유도하는 과정은 다음과 같습니다.
모델링: 두 개의 지배 방정식을 세웁니다.
전기 방정식 (키르히호프 전압 법칙): 입력 전압 $V_a$는 저항에서의 전압 강하, 인덕턴스에서의 전압 강하, 그리고 역기전력 $V_{emf}$의 합과 같습니다. 역기전력은 모터의 회전 속도 $\omega$에 비례합니다($V_{emf} = K_b \omega$). \(V_a(t) = R_a i_a(t) + L_a \frac{di_a(t)}{dt} + K_b \omega(t)\) 33
기계 방정식 (뉴턴의 회전 운동 법칙): 모터가 생성하는 토크 $T_m$은 부하의 관성 $J$를 가속시키고 마찰 $b$를 이겨내는 데 사용됩니다. 모터 토크는 전기자 전류 $i_a$에 비례합니다($T_m = K_t i_a$). \(T_m(t) = K_t i_a(t) = J \frac{d\omega(t)}{dt} + b \omega(t)\) 33
변환: 두 방정식을 라플라스 변환합니다 (초기 조건 0 가정). \(V_a(s) = (R_a + sL_a)I_a(s) + K_b \Omega(s)\)
\[K_t I_a(s) = (Js + b)\Omega(s)\]유도: 두 식을 연립하여 전류 $I_a(s)$를 소거하고, 입력 전압 $V_a(s)$에 대한 출력 각속도 $\Omega(s)$의 전달 함수를 구합니다.35 \(G(s) = \frac{\Omega(s)}{V_a(s)} = \frac{K_t}{(R_a + sL_a)(Js + b) + K_b K_t}\) 10.4 극점과 영점에 따른 시스템 응답
전달 함수의 분모를 0으로 만드는 $s$값을 ‘극점(pole)’, 분자를 0으로 만드는 $s$값을 ‘영점(zero)’이라고 합니다. 이들의 $s$-평면상 위치는 시스템의 동작을 결정합니다.
DC 모터 예에서, 저항 $R_a$나 관성 $J$와 같은 물리적 파라미터를 변경하면 전달 함수의 극점 위치가 바뀌고, 이는 모터의 응답 속도나 안정성과 같은 성능을 직접적으로 변화시킵니다.33
이 자습서를 통해 우리는 라플라스 변환이 단순한 수학적 기법을 넘어 공학과 과학의 문제 해결 패러다임을 어떻게 바꾸었는지 살펴보았습니다. 핵심적인 힘은 다음과 같이 요약할 수 있습니다.