공학이나 물리학을 공부하다 보면, 세상을 설명하는 언어가 미분방정식이라는 사실을 깨닫게 된다. 진동하는 스프링, RLC 회로의 전류, 열의 전도 등 수많은 물리 현상이 시간에 따른 변화율, 즉 미분으로 표현되기 때문이다. 하지만 이 미분방정식은 풀기가 여간 까다로운 게 아니다. 특히 비동차(non-homogeneous) 미분방정식이나 복잡한 초기 조건이 주어지면 풀이 과정은 길고 험난해진다.1
바로 이때, 라플라스 변환(Laplace Transform)이 ‘마법의 도구’처럼 등장한다. 라플라스 변환의 가장 큰 힘은, 복잡한 미분방정식을 간단한 대수방정식(algebraic equation)으로 바꿔준다는 것에 있다.2 미분과 적분이라는 골치 아픈 미적분학(Calculus)의 문제를, 우리가 중학교 때부터 익숙하게 다뤄온 사칙연산 기반의 대수학(Algebra) 문제로 차원을 낮춰버리는 것이다.1
이것이 어떻게 가능할까? 라플라스 변환은 시간($t$)에 대한 함수 $f(t)$를 복소 주파수($s$)라는 새로운 변수에 대한 함수 $F(s)$로 변환시킨다. 이 $s$-영역(s-domain)에서는 놀랍게도 미분은 $s$를 곱하는 연산으로, 적분은 $s$로 나누는 연산으로 바뀐다. 덕분에 우리는 다음의 3단계 과정을 통해 미분방정식을 풀 수 있다.4
이 과정의 또 다른 장점은 초기값 문제를 매우 효율적으로 다룬다는 점이다. 기존 방식에서는 일반해를 구한 뒤 초기값을 대입하여 미정 계수를 결정해야 했지만, 라플라스 변환은 풀이 과정 자체에 초기값을 자연스럽게 녹여내어 곧바로 우리가 원하는 특수해를 구해준다.5
라플라스 변환의 위력은 단순히 계산을 편리하게 하는 것을 넘어선다. 특히 제어공학에서는 시스템의 동적 특성을 분석하는 데 필수적인 도구로 사용된다. 시간 영역에서는 파악하기 힘든 시스템의 안정성(stability), 응답 특성 등을 $s$-영역에서는 전달 함수(transfer function)의 극점(pole) 위치를 통해 명확하게 파악할 수 있다.3 또한, 불연속적인 입력 신호나 복잡한 주기 함수를 다룰 때도 라플라스 변환은 강력한 분석 능력을 제공한다.4 이처럼 라플라스 변환은 문제를 다른 관점에서 바라보게 함으로써 복잡성을 근본적으로 낮추는, 패러다임의 전환을 가져오는 강력한 수학적 도구다.6
라플라스 변환의 개념적 중요성을 이해했으니, 이제 그 수학적 정의를 살펴보자. 시간 $t \ge 0$에 대해 정의된 함수 $f(t)$의 라플라스 변환 $\mathcal{L}{f(t)}$ 또는 $F(s)$는 다음과 같은 이상적분(improper integral)으로 정의된다.5 \(F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)dt\) 여기서 각 변수는 다음과 같은 의미를 갖는다.
$s$의 실수부 $\sigma$는 진폭의 감쇠(damping, $\sigma > 0$) 또는 성장(growth, $\sigma < 0$)을 나타내고, 허수부 $\omega$는 각주파수(angular frequency), 즉 진동을 나타낸다. 따라서 $s$는 단순한 수학적 변수가 아니라 시스템의 동적 특성을 포괄하는 물리적 의미를 담고 있다.
이 적분이 항상 수렴하는 것은 아니다. 라플라스 변환이 존재하기 위해서는 함수 $f(t)$가 다음 두 가지 조건을 만족해야 한다.10
| 지수 차수(Exponential Order): $f(t)$가 지수함수보다 빠르게 증가해서는 안 된다. 즉, 모든 $t \ge t_0$에 대해 $ | f(t) | \le Me^{at}$를 만족하는 상수 $M$, $a$, $t_0$가 존재해야 한다. |
대부분의 공학적 시스템에서 다루는 함수들은 이 조건을 만족하므로 크게 걱정할 필요는 없다. 이 조건은 적분값이 발산하지 않고 특정 $s$의 영역(수렴 영역, Region of Convergence)에서 유한한 값을 갖도록 보장해준다.11
정의식의 핵심은 커널 함수인 $e^{-st}$에 있다. 이 함수는 왜 하필 이런 형태일까? 오일러 공식을 통해 $e^{-st} = e^{-(\sigma+i\omega)t} = e^{-\sigma t}(\cos(\omega t) - i\sin(\omega t))$로 분해해보면 그 의미가 명확해진다.9 이는 감쇠($e^{-\sigma t}$)와 진동($\cos(\omega t), \sin(\omega t)$)이 결합된, 즉 ‘감쇠 정현파(damped sinusoid)’의 일반적인 형태다. 따라서 라플라스 변환은 원본 함수 $f(t)$ 안에 얼마나 다양한 종류의 감쇠 및 진동 성분들이 포함되어 있는지를 측정하는 과정으로 해석할 수 있다. 이는 함수를 순수한 정현파들의 합으로 분해하는 푸리에 변환(Fourier Transform)을 더욱 일반화하여, 감쇠하거나 발산하는 현상까지 분석할 수 있도록 확장한 개념인 셈이다.1
이제 몇 가지 기본적인 함수들에 대해 라플라스 변환을 직접 계산해보자. 이 결과들은 앞으로 모든 문제 풀이의 기초가 되므로 확실히 익혀두는 것이 좋다.
가장 간단한 함수인 단위 상수 함수($t \ge 0$에서 1)부터 시작하자. 정의에 따라 직접 적분하면 된다.7 \(\mathcal{L}\{1\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} \cdot 1 dt = \left[ -\frac{1}{s}e^{-st} \right]_{0}^{\infty}\) 여기서 $t \to \infty$일 때 $e^{-st}$가 0으로 수렴하려면 $s$의 실수부 $\text{Re}(s) = \sigma$가 0보다 커야 한다. 이 조건 하에서 계산을 완료하면, \(\mathcal{L}\{1\} = \left( -\frac{1}{s} \cdot 0 \right) - \left( -\frac{1}{s}e^{0} \right) = \frac{1}{s} \quad (\text{단, } \text{Re}(s) > 0)\) 결과적으로 상수 $c$에 대한 변환은 선형성에 의해 $\mathcal{L}{c} = c/s$가 된다.
지수 함수는 라플라스 변환에서 가장 기본이 되는 함수 중 하나다.13 \(\mathcal{L}\{e^{at}\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{at} dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t} dt\) 이 적분은 위에서 계산한 상수 함수의 변환과 형태가 같다. 변수 $s$를 $s-a$로 치환한 것과 같으므로, \(\mathcal{L}\{e^{at}\} = \left[ -\frac{1}{s-a}e^{-(s-a)t} \right]_{0}^{\infty}\) 이 적분이 수렴하기 위해서는 지수부의 계수인 $s-a$의 실수부가 양수여야 한다. 즉, $\text{Re}(s-a) > 0$ 또는 $\text{Re}(s) > a$라는 조건이 필요하다.11 이 조건 하에서, \(\mathcal{L}\{e^{at}\} = 0 - \left( -\frac{1}{s-a}e^{0} \right) = \frac{1}{s-a} \quad (\text{단, } \text{Re}(s) > a)\) 이 수렴 조건은 매우 중요하며, 변환 결과와 항상 함께 기억해야 한다.11
$f(t) = t$의 변환부터 시작해보자. 부분적분을 이용해야 한다.12 ($u=t, dv=e^{-st}dt$로 두면 $du=dt, v = -e^{-st}/s$) \(\mathcal{L}\{t\} = \int_{0}^{\infty} t e^{-st} dt = \left[ t \left(-\frac{e^{-st}}{s}\right) \right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} \left(-\frac{e^{-st}}{s}\right) dt\) 첫 번째 항은 $\text{Re}(s) > 0$일 때 0이 되고, 두 번째 항은, \(\frac{1}{s} \int_{0}^{\infty} e^{-st} dt = \frac{1}{s} \mathcal{L}\{1\} = \frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s} = \frac{1}{s^2}\) 따라서 $\mathcal{L}{t} = 1/s^2$이다. 이 과정을 반복하면 $t^n$에 대한 일반적인 공식을 얻을 수 있다. \(\mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n!}{s^{n+1}} \quad (n = 0, 1, 2, \dots)\) $n$이 정수가 아닌 양수 $p$일 경우, 팩토리얼은 감마 함수(Gamma function)로 일반화된다.7 \(\mathcal{L}\{t^p\} = \frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}} \quad (p > -1)\) 여기서 감마 함수는 $\Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1}e^{-x}dx$로 정의되며, $n$이 양의 정수일 때 $\Gamma(n+1) = n!$의 관계를 갖는다.
삼각 함수의 변환은 두 가지 방법으로 유도할 수 있다.
방법 1: 부분적분 두 번 사용하기
정의에 따라 $\int e^{-st}\sin(at)dt$를 계산하면, 부분적분을 두 번 적용한 후에 원래의 적분 형태가 다시 나타나는 순환 구조를 갖는다. 이를 이항하여 정리하면 결과를 얻을 수 있다.16 이 방법은 계산이 길고 복잡하다.
방법 2: 오일러 공식 활용하기 (추천)
오일러 공식 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$를 이용하면 삼각 함수를 지수 함수의 합으로 표현할 수 있다. \(\cos(at) = \frac{e^{iat} + e^{-iat}}{2}, \quad \sin(at) = \frac{e^{iat} - e^{-iat}}{2i}\) 이제 라플라스 변환의 선형성과 이미 알고 있는 지수 함수의 변환 결과를 이용하면 훨씬 간단하게 유도할 수 있다.12
$\cos(at)$를 예로 들어보자. \(\begin{aligned} \mathcal{L}\{\cos(at)\} &= \mathcal{L}\left\{\frac{e^{iat} + e^{-iat}}{2}\right\} \\ &= \frac{1}{2} \left( \mathcal{L}\{e^{iat}\} + \mathcal{L}\{e^{-iat}\} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{s-ia} + \frac{1}{s+ia} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{(s+ia) + (s-ia)}{(s-ia)(s+ia)} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{2s}{s^2 - (ia)^2} \right) = \frac{s}{s^2 + a^2} \end{aligned}\) 같은 방식으로 $\sin(at)$에 대해서도 계산하면 다음의 중요한 변환 쌍을 얻는다.16 \(\begin{align} \mathcal{L}\{\sin(at)\} &= \frac{a}{s^2 + a^2} \\ \mathcal{L}\{\cos(at)\} &= \frac{s}{s^2 + a^2} \end{align}\)
기본 함수의 변환을 익혔다면, 이제 라플라스 변환을 자유자재로 다루기 위한 강력한 도구들, 즉 주요 성질들을 알아볼 차례다. 이 성질들은 복잡한 함수를 변환하거나, 미분방정식을 푸는 과정을 획기적으로 단순화시켜 준다.
라플라스 변환의 가장 기본적이면서도 강력한 성질은 선형성이다. 두 함수 $f(t)$, $g(t)$와 상수 $a$, $b$에 대해 다음이 성립한다.7 \(\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = a\mathcal{L}\{f(t)\} + b\mathcal{L}\{g(t)\} = aF(s) + bG(s)\) 이 성질의 증명은 적분의 선형성으로부터 바로 유도된다.7 선형성 덕분에 우리는 복잡한 함수를 우리가 아는 간단한 함수들의 합과 상수배로 쪼개어 각각을 변환한 뒤, 그 결과를 합칠 수 있다. 예를 들어,
$y’’ + 5y’ + 6y = \sin(t)$와 같은 미분방정식의 각 항을 개별적으로 라플라스 변환할 수 있는 근거가 바로 이 선형성이다.1
이동 정리는 시간 영역 또는 주파수 영역에서의 평행이동이 다른 영역에서 어떤 변화를 일으키는지 설명하는 매우 유용한 정리다. 제1 이동 정리와 제2 이동 정리가 있다.
시간 영역에서 함수 $f(t)$에 지수함수 $e^{at}$를 곱하면 $s$-영역에서는 어떤 일이 일어날까?
여기서 $F(s) = \mathcal{L}{f(t)}$이다. 즉, 시간 영역에서의 지수함수 곱셈은 $s$-영역에서 $s$를 $s-a$로 평행이동 시키는 효과를 가져온다. 이 정리는 감쇠 진동($e^{-at}\cos(bt)$)이나 감쇠 사인파($e^{-at}\sin(bt)$)와 같은 함수의 변환을 매우 쉽게 만들어준다. 예를 들어, $\mathcal{L}{\cos(bt)} = s/(s^2+b^2)$임을 아니, 제1 이동 정리를 적용하면 바로 다음 결과를 얻을 수 있다. \(\mathcal{L}\{e^{-at}\cos(bt)\} = \frac{(s+a)}{(s+a)^2 + b^2}\)
제2 이동 정리를 이해하기 위해서는 먼저 단위 계단 함수(Unit Step Function)를 알아야 한다.
단위 계단 함수 (Unit Step Function)
헤비사이드 함수(Heaviside function)라고도 불리며, 특정 시점 $a$에서 값이 0에서 1로 ‘점프’하는, 마치 스위치를 켜는 것과 같은 함수다. 기호로는 $u(t-a)$ 또는 $H(t-a)$로 표기한다.19 \(u(t-a) = \begin{cases} 0, & t < a \\ 1, & t \ge a \end{cases}\) 이 함수는 특정 시간 이후에만 작용하는 힘이나 신호를 모델링하는 데 매우 유용하다. 단위 계단 함수의 라플라스 변환은 정의에 따라 쉽게 구할 수 있다.19 $$ \begin{align}
\mathcal{L}{u(t-a)} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st}u(t-a)dt
&= \int_{a}^{\infty} e^{-st}dt
&= \left[ -\frac{1}{s}e^{-st} \right]_{a}^{\infty}
&= \frac{e^{-as}}{s}
\end{align}
$$
제2 이동 정리 (t-축 이동 / Time Shifting)
이제 시간 축에서 함수를 지연시키는 경우를 생각해보자. 함수 $f(t)$를 $a$만큼 오른쪽으로 이동시키고, $t<a$ 에서는 함수값을 0으로 만들면 $f(t-a)u(t-a)$가 된다. 이 함수의 라플라스 변환은 다음과 같다.
즉, 시간 영역에서 함수를 $a$만큼 지연시키는 것은 $s$-영역에서 원래의 변환 $F(s)$에 $e^{-as}$라는 지수 항을 곱하는 것과 같다. 이 정리는 지연된 입력이나 구간별로 다르게 정의된 함수를 다루는 데 필수적이다.
두 이동 정리는 시간 영역과 주파수 영역 사이에 존재하는 아름다운 대칭성을 보여준다. 한 영역에서의 ‘지수함수 곱셈’은 다른 영역에서의 ‘평행 이동’에 해당한다. 이러한 구조적 관계는 라플라스 변환이 단순한 계산 트릭이 아니라 두 영역을 잇는 깊은 다리 역할을 한다는 것을 시사한다.
이 부분이 바로 라플라스 변환이 미분방정식 풀이의 ‘치트키’가 되는 이유다.
부분적분을 이용해 $\mathcal{L}{f’(t)}$를 구해보면 다음과 같은 놀라운 결과를 얻는다.
1계 도함수: $\mathcal{L}{f’(t)} = sF(s) - f(0)$ 23
2계 도함수: $\mathcal{L}{f’‘(t)} = s\mathcal{L}{f’(t)} - f’(0) = s(sF(s) - f(0)) - f’(0) = s^2F(s) - sf(0) - f’(0)$ 10
n계 도함수 (일반식): \(\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\} = s^nF(s) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) - \dots - f^{(n-1)}(0)\) 이 공식이 의미하는 바는 엄청나다. 시간 영역에서의 ‘미분’이라는 미적분 연산이 $s$-영역에서는 ‘$s$를 곱하고 초기값을 빼는’ 단순한 대수 연산으로 바뀐다.1 미분방정식이 대수방정식으로 변환되는 핵심 원리가 바로 여기에 있다.
미분과 반대로 적분은 $s$로 나누는 연산으로 변환된다.
이 성질은 적분방정식이나 적분항을 포함하는 시스템을 해석할 때 유용하게 사용된다.
물리적 세계에서는 순간적으로 가해지는 큰 힘, 즉 충격(impulse)을 모델링해야 할 때가 있다. 예를 들어 망치로 물체를 치는 순간이나, 번개가 치는 순간의 전류 등이 그렇다. 이를 수학적으로 표현하기 위해 디랙 델타 함수 $\delta(t)$를 사용한다.
디랙 델타 함수의 정의
엄밀히 말해 함수는 아니지만(분포, distribution), 다음과 같은 성질을 갖는 이상적인 신호로 생각할 수 있다.25
이 함수의 가장 중요한 성질은 ‘걸러내기 성질(sifting property)’이다. \(\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\delta(t-a)dt = f(a)\) 이 성질은 델타 함수가 $t=a$에서의 함수값 $f(a)$만을 ‘걸러내어’ 뽑아내는 역할을 한다는 것을 의미한다.27
디랙 델타 함수의 라플라스 변환
걸러내기 성질을 이용하면 라플라스 변환을 매우 쉽게 구할 수 있다. \(\mathcal{L}\{\delta(t-a)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st}\delta(t-a)dt\) 위 식은 $e^{-st}$라는 함수에서 $t=a$일 때의 값을 뽑아내는 것과 같으므로, \(\mathcal{L}\{\delta(t-a)\} = e^{-as}\) 특히, 시간 0에서 작용하는 단위 임펄스($a=0$)의 라플라스 변환은 매우 간단하다.27 \(\mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1\)
라플라스 변환을 이용해 미분방정식을 $s$-영역의 대수방정식으로 바꾸고, 해 $F(s)$를 구했다면 마지막 단계는 이 $F(s)$를 다시 시간 영역의 함수 $f(t)$로 되돌리는 것이다. 이 과정을 역 라플라스 변환(Inverse Laplace Transform)이라 하고, $f(t) = \mathcal{L}^{-1}{F(s)}$로 표기한다.5
이론적으로 역변환은 브롬위치 적분(Bromwich integral)이라는 복소적분을 통해 계산된다.5 \(f(t) = \frac{1}{2\pi j} \int_{\gamma-j\infty}^{\gamma+j\infty} F(s)e^{st}ds\) 하지만 이 공식은 너무 복잡해서 실제 문제 풀이에서는 거의 사용하지 않는다.3 대신 우리는 훨씬 간단하고 실용적인 방법을 사용한다. 바로
라플라스 변환표를 거꾸로 참조하는 것이다. 즉, 주어진 $F(s)$를 우리가 이미 변환 결과를 알고 있는 기본적인 형태들의 합으로 분해한 뒤, 선형성을 이용하여 각 항을 개별적으로 역변환하는 것이다.
예를 들어, $F(s) = \frac{3}{s} - \frac{5}{s-2}$를 역변환해야 한다면,
$\mathcal{L}^{-1}{1/s} = 1$이고 $\mathcal{L}^{-1}{1/(s-2)} = e^{2t}$임을 알고 있으므로, \(\begin{align} f(t) &= \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{3}{s} - \frac{5}{s-2}\right\} \\ &= 3\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\} - 5\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-2}\right\} \\ &= 3 - 5e^{2t} \end{align}\) 처럼 간단히 계산할 수 있다. 따라서 역변환의 핵심은 주어진 $F(s)$를 어떻게 표에 있는 형태로 쪼갤 것인가 하는 문제로 귀결된다.
미분방정식을 풀고 나면 $F(s)$는 보통 $F(s) = N(s)/D(s)$와 같은 유리함수(rational function) 형태로 나타난다. 이 복잡한 분수를 간단한 분수들의 합으로 쪼개는 기술이 바로 부분 분수 분해(Partial Fraction Expansion)다.29 분해하는 방법은 분모 $D(s)$의 근(pole)의 형태에 따라 세 가지 경우로 나뉜다.
분모가 $D(s) = (s-p_1)(s-p_2)\dots(s-p_n)$과 같이 서로 다른 실근을 갖는 경우, $F(s)$는 다음과 같이 분해할 수 있다. \(F(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = \frac{A_1}{s-p_1} + \frac{A_2}{s-p_2} + \dots + \frac{A_n}{s-p_n}\) 각 항은 $e^{p_k t}$ 형태로 쉽게 역변환된다. 문제는 계수 $A_k$를 어떻게 구하느냐다. 가장 효율적인 방법은 헤비사이드 가림법(Heaviside Cover-up Method)이다.31
$A_k$를 구하려면, 원래의 $F(s)$에서 $A_k$의 분모인 $(s-p_k)$를 손으로 가리고(즉, 곱해서 없애고), 남은 식에 $s=p_k$를 대입하면 된다. \(A_k = \left[ (s-p_k)F(s) \right]_{s=p_k}\) 예제: $F(s) = \frac{s+5}{(s-1)(s+3)}$를 역변환하라.
부분 분수로 분해하면 $F(s) = \frac{A}{s-1} + \frac{B}{s+3}$ 이다.
$A$를 구하기: $F(s)$에서 $(s-1)$을 가리고 $s=1$을 대입한다.
$A = \left[ \frac{s+5}{s+3} \right]_{s=1} = \frac{1+5}{1+3} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$B$를 구하기: $F(s)$에서 $(s+3)$을 가리고 $s=-3$을 대입한다.
$B = \left[ \frac{s+5}{s-1} \right]_{s=-3} = \frac{-3+5}{-3-1} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$
따라서 $F(s) = \frac{3/2}{s-1} - \frac{1/2}{s+3}$ 이고, 역변환은 다음과 같다. \(f(t) = \frac{3}{2}e^t - \frac{1}{2}e^{-3t}\)
분모가 $(s-p)^r$과 같은 중근 인수를 포함하는 경우, 부분 분수 전개는 해당 근에 대해 차수가 1부터 $r$까지인 모든 항을 포함해야 한다.29 \(\frac{N(s)}{(s-p)^r \dots} = \frac{A_1}{s-p} + \frac{A_2}{(s-p)^2} + \dots + \frac{A_r}{(s-p)^r} + \dots\) 계수를 구하는 방법은 조금 더 복잡하다.
예제: $F(s) = \frac{1}{s(s+2)^2}$를 역변환하라.
$F(s) = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+2} + \frac{C}{(s+2)^2}$ 로 분해한다.
$A$ 구하기 (가림법): $A = \left[ \frac{1}{(s+2)^2} \right]_{s=0} = \frac{1}{4}$
$C$ 구하기 (가림법): $C = \left[ \frac{1}{s} \right]_{s=-2} = -\frac{1}{2}$
$B$ 구하기 (계수 비교 또는 값 대입): 양변에 $s(s+2)^2$를 곱하면
$1 = A(s+2)^2 + Bs(s+2) + Cs$
$1 = A(s^2+4s+4) + B(s^2+2s) + Cs$
$s^2$의 계수를 비교하면 $0 = A+B$. $A=1/4$이므로 $B=-1/4$이다.
따라서 $F(s) = \frac{1/4}{s} - \frac{1/4}{s+2} - \frac{1/2}{(s+2)^2}$ 이다.
역변환을 위해 $\mathcal{L}^{-1}{1/(s+2)^2}$를 알아야 한다. $\mathcal{L}{t^n} = n!/s^{n+1}$과 제1 이동 정리 $\mathcal{L}{e^{at}f(t)} = F(s-a)$를 결합하면 $\mathcal{L}{te^{-2t}} = 1/(s+2)^2$임을 알 수 있다.
최종적인 역변환 결과는 다음과 같다. \(f(t) = \frac{1}{4} - \frac{1}{4}e^{-2t} - \frac{1}{2}te^{-2t}\)
분모가 $s^2+bs+c$와 같이 더 이상 실수 범위에서 인수분해되지 않는 2차식을 포함하면, 이는 $s = \sigma \pm j\omega$ 형태의 켤레 복소근을 갖는다는 의미다. 이 경우, 부분 분수 전개는 두 가지 방법으로 접근할 수 있다.
방법 A: 완전제곱식 활용 (가장 직관적이고 추천하는 방법)
분모를 $(s-\sigma)^2 + \omega^2$ 형태로 완전제곱식으로 바꾼다. 그리고 분자를 이 형태에 맞춰 $\cos$과 $\sin$의 변환 형태가 나오도록 조작한다.30 \(\frac{As+B}{(s-\sigma)^2 + \omega^2} = C \frac{s-\sigma}{(s-\sigma)^2 + \omega^2} + D \frac{\omega}{(s-\sigma)^2 + \omega^2}\) 우변의 각 항은 각각 $C e^{\sigma t}\cos(\omega t)$와 $D e^{\sigma t}\sin(\omega t)$로 역변환된다.
예제: $F(s) = \frac{s+3}{s^2+2s+5}$를 역변환하라.
분모의 근은 $s = -1 \pm 2j$이므로 복소근이다. 분모를 완전제곱식으로 바꾸면 $s^2+2s+5 = (s+1)^2 + 4 = (s+1)^2 + 2^2$ 이다.
이제 분자를 $s+1$을 포함하는 항과 상수로 분리한다. \(F(s) = \frac{s+3}{(s+1)^2 + 2^2} = \frac{(s+1) + 2}{(s+1)^2 + 2^2} = \frac{s+1}{(s+1)^2 + 2^2} + \frac{2}{(s+1)^2 + 2^2}\) 각 항은 이제 역변환표에서 바로 찾을 수 있는 형태가 되었다 ($\sigma=-1, \omega=2$). \(f(t) = \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s+1}{(s+1)^2 + 2^2}\right\} + \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{(s+1)^2 + 2^2}\right\} = e^{-t}\cos(2t) + e^{-t}\sin(2t)\) 방법 B: 복소수 가림법
분모를 $(s - (\sigma+j\omega))(s - (\sigma-j\omega))$로 인수분해하고, $\frac{A}{s-(\sigma+j\omega)} + \frac{\bar{A}}{s-(\sigma-j\omega)}$ 형태로 분해하여 복소수 계수 $A$를 가림법으로 구하는 방법도 있다.29 계산이 복잡하지만 최종 결과는 방법 A와 동일하다.
부분 분수 분해 과정은 $s$-영역의 극점(pole)이 시간 영역의 응답 형태를 어떻게 결정하는지 명확하게 보여준다.
결론적으로, $s$-평면(s-plane)에 극점의 위치를 찍어보는 것만으로도 시스템의 안정성과 응답 특성을 직관적으로 파악할 수 있다. 이것이 제어공학에서 라플라스 변환과 극점-영점도(pole-zero map)를 핵심적으로 사용하는 이유다.31
이제 라플라스 변환의 모든 도구를 갖췄으니, 본래 목적인 미분방정식 풀이에 적용해볼 시간이다. 특히 초기값 문제(Initial Value Problem, IVP)를 푸는 데 있어 라플라스 변환은 압도적인 효율성을 보여준다.
상수 계수를 갖는 선형 상미분방정식의 초기값 문제는 다음의 3단계 과정을 통해 기계적으로 풀 수 있다.34
예제: 2계 비동차 미분방정식 풀이
다음 초기값 문제를 풀어보자.24
$y’’ - 4y’ + 3y = t$, 초기 조건 $y(0)=0, y’(0)=0$.
1단계: 변환
방정식의 양변에 라플라스 변환을 적용한다. \(\mathcal{L}\{y'' - 4y' + 3y\} = \mathcal{L}\{t\}\) 선형성과 미분 정리를 이용해 좌변을 변환한다. \(\begin{align} \mathcal{L}\{y''\} &= s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) \\ \mathcal{L}\{y'\} &= sY(s) - y(0) \\ \mathcal{L}\{y\} &= Y(s) \end{align}\) 초기 조건 $y(0)=0, y’(0)=0$을 대입하면, \(\begin{align} \mathcal{L}\{y''\} &= s^2Y(s) \\ \mathcal{L}\{y'\} &= sY(s) \end{align}\) 따라서 좌변은 $(s^2 - 4s + 3)Y(s)$가 된다.
우변은 $\mathcal{L}{t} = 1/s^2$이다.
변환된 대수방정식은 다음과 같다. \((s^2 - 4s + 3)Y(s) = \frac{1}{s^2}\) 2단계: 대수적 풀이
$Y(s)$에 대해 정리한다. \(Y(s) = \frac{1}{s^2(s^2 - 4s + 3)} = \frac{1}{s^2(s-1)(s-3)}\) 3단계: 역변환
$Y(s)$를 부분 분수 분해하여 역변환한다. \(Y(s) = \frac{A}{s} + \frac{B}{s^2} + \frac{C}{s-1} + \frac{D}{s-3}\) 계수를 구하면 (계산 과정은 생략) $A=4/9, B=1/3, C=-1/2, D=1/18$ 이다.24
따라서, \(Y(s) = \frac{4/9}{s} + \frac{1/3}{s^2} - \frac{1/2}{s-1} + \frac{1/18}{s-3}\) 이제 각 항을 역변환한다. \(\begin{align} \mathcal{L}^{-1}\{1/s\} &= 1 \\ \mathcal{L}^{-1}\{1/s^2\} &= t \\ \mathcal{L}^{-1}\{1/(s-1)\} &= e^t \\ \mathcal{L}^{-1}\{1/(s-3)\} &= e^{3t} \end{align}\) 최종 해 $y(t)$는 다음과 같다. \(y(t) = \frac{4}{9} + \frac{1}{3}t - \frac{1}{2}e^t + \frac{1}{18}e^{3t}\) 이처럼 라플라스 변환은 복잡한 미분방정식 풀이를 체계적이고 기계적인 절차로 만들어준다.
라플라스 변환에는 또 하나의 강력한 성질이 있는데, 바로 합성곱(컨볼루션) 정리다.
두 함수 $f(t)$와 $g(t)$의 합성곱 $(fg)(t)$는 다음과 같이 정의되는 새로운 함수다. 이 연산은 두 함수 중 하나를 반전시켜 이동시키면서 다른 함수와 곱한 값을 적분하는 것을 의미한다.38 \((f*g)(t) = \int_0^t f(\tau)g(t-\tau)d\tau\) 합성곱은 교환 법칙이 성립하여 $(fg)(t) = (g*f)(t)$ 이다.
이 복잡해 보이는 적분 연산은 $s$-영역에서 놀랍도록 단순해진다.
즉, 시간 영역에서의 ‘합성곱’은 $s$-영역에서의 ‘단순한 곱’으로 변환된다. 이 정리는 두 가지 중요한 활용법을 제시한다.
활용법 1: 역변환의 대안
$H(s) = F(s)G(s)$ 형태의 함수를 역변환해야 할 때, 부분 분수 분해가 어렵거나 불가능한 경우 합성곱 정리를 사용할 수 있다. $F(s)$와 $G(s)$를 각각 역변환하여 $f(t)$와 $g(t)$를 구한 뒤, 합성곱 적분 $\int_0^t f(\tau)g(t-\tau)d\tau$를 계산하면 된다.39
예제: $H(s) = \frac{1}{(s-1)(s-2)}$를 합성곱을 이용해 역변환하라.
$H(s)$를 $F(s) = \frac{1}{s-1}$ 과 $G(s) = \frac{1}{s-2}$ 의 곱으로 본다. \(\begin{align} f(t) &= \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = e^t \\ g(t) &= \mathcal{L}^{-1}\{G(s)\} = e^{2t} \end{align}\) 따라서 $h(t) = (f*g)(t)$ 이다. \(\begin{aligned} h(t) &= \int_0^t f(\tau)g(t-\tau)d\tau = \int_0^t e^{\tau}e^{2(t-\tau)}d\tau \\ &= \int_0^t e^{\tau}e^{2t}e^{-2\tau}d\tau = e^{2t} \int_0^t e^{-\tau}d\tau \\ &= e^{2t} \left[ -e^{-\tau} \right]_0^t = e^{2t}(-e^{-t} - (-e^0)) \\ &= e^{2t}(-e^{-t} + 1) = e^{t} - e^{2t} \end{aligned}\) 이 결과는 부분 분수 분해로 얻은 결과와 일치한다.
활용법 2: 시스템 응답 해석
합성곱의 진정한 위력은 선형 시불변(Linear Time-Invariant, LTI) 시스템을 해석할 때 드러난다. 초기 조건이 모두 0인 미분방정식 $ay’‘+by’+cy=r(t)$를 생각해보자.
라플라스 변환하면 $(as^2+bs+c)Y(s) = R(s)$ 이고, $Y(s) = \frac{1}{as^2+bs+c} R(s)$ 가 된다.
여기서 $Q(s) = \frac{1}{as^2+bs+c}$는 외부 입력 $r(t)$와는 무관하게 시스템 자체의 특성에 의해서만 결정되며, 이를 전달 함수(Transfer Function)라고 부른다.38
$q(t) = \mathcal{L}^{-1}{Q(s)}$는 이 시스템의 임펄스 응답(Impulse Response), 즉 시스템에 단위 충격($\delta(t)$)을 가했을 때 나오는 출력이다.
합성곱 정리에 의해, 최종 해 $y(t)$는 다음과 같이 표현된다. \(\begin{align} y(t) &= \mathcal{L}^{-1}\{Q(s)R(s)\} \\ &= (q*r)(t) \\ &= \int_0^t q(t-\tau)r(\tau)d\tau \end{align}\) 이 식은 시스템의 출력이 ‘입력 신호’와 ‘시스템 고유의 임펄스 응답’의 합성곱으로 결정된다는 LTI 시스템 이론의 근본 원리를 보여준다.38
이 합성곱 적분은 깊은 물리적 의미를 담고 있다. $r(\tau)d\tau$는 과거의 특정 시점 $\tau$에 들어온 짧은 입력의 크기다. $q(t-\tau)$는 그 입력이 $t-\tau$만큼의 시간이 흐른 뒤(즉, 현재 시점 $t$)에 나타나는 응답이다. 따라서 적분은 과거($\tau=0$)부터 현재($\tau=t$)까지 모든 입력이 현재의 출력에 미치는 영향을 전부 더하는 것을 의미한다. 즉, 합성곱은 ‘기억’을 가진 시스템이 과거의 모든 입력을 종합하여 현재의 출력을 만들어내는 과정을 수학적으로 모델링한 것이다.
학습과 문제 풀이 과정에서 자주 참조하게 될 핵심 변환 쌍을 정리한 표다. 이 표를 ‘치트 시트’처럼 활용하면 학습 효율을 높이고 실수를 줄일 수 있다.8
| 함수 $f(t)$ | 라플라스 변환 $F(s) = \mathcal{L}{f(t)}$ | 수렴 영역 (ROC) |
|---|---|---|
| $\delta(t)$ (디랙 델타 함수) | $1$ | 모든 $s$ |
| $1$ (단위 계단 함수 $u(t)$) | $\frac{1}{s}$ | $\text{Re}(s) > 0$ |
| $t^n$ ($n$은 양의 정수) | $\frac{n!}{s^{n+1}}$ | $\text{Re}(s) > 0$ |
| $e^{at}$ | $\frac{1}{s-a}$ | $\text{Re}(s) > a$ |
| $\sin(at)$ | $\frac{a}{s^2+a^2}$ | $\text{Re}(s) > 0$ |
| $\cos(at)$ | $\frac{s}{s^2+a^2}$ | $\text{Re}(s) > 0$ |
| $\sinh(at)$ | $\frac{a}{s^2-a^2}$ | $\text{Re}(s) > |
| $\cosh(at)$ | $\frac{s}{s^2-a^2}$ | $\text{Re}(s) > |
| $t^n e^{at}$ | $\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}$ | $\text{Re}(s) > a$ |
| $e^{at}\sin(bt)$ | $\frac{b}{(s-a)^2+b^2}$ | $\text{Re}(s) > a$ |
| $e^{at}\cos(bt)$ | $\frac{s-a}{(s-a)^2+b^2}$ | $\text{Re}(s) > a$ |
| $u(t-a)$ | $\frac{e^{-as}}{s}$ | $\text{Re}(s) > 0$ |
| $\delta(t-a)$ | $e^{-as}$ | 모든 $s$ |
라플라스 변환을 능동적인 문제 해결 도구로 사용하기 위한 핵심 규칙들을 정리한 표다. 이 성질들을 이해하면 문제 해결 전략을 세우는 데 큰 도움이 된다.8
| 성질 이름 | 시간 영역 ($t$-domain) | $s$-영역 ($s$-domain) |
|---|---|---|
| 선형성 | $a f(t) + b g(t)$ | $a F(s) + b G(s)$ |
| 미분 | $f’(t)$ | $sF(s) - f(0)$ |
| $f’‘(t)$ | $s^2F(s) - sf(0) - f’(0)$ | |
| $f^{(n)}(t)$ | $s^nF(s) - \sum_{k=1}^{n} s^{n-k}f^{(k-1)}(0)$ | |
| 적분 | $\int_0^t f(\tau)d\tau$ | $\frac{F(s)}{s}$ |
| s-축 이동 (Frequency Shift) | $e^{at}f(t)$ | $F(s-a)$ |
| t-축 이동 (Time Shift) | $f(t-a)u(t-a)$ | $e^{-as}F(s)$ |
| 시간 스케일링 | $f(at)$ (a>0)` |
$\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right)$ |
| t 곱셈 | $t f(t)$ | $-\frac{dF(s)}{ds}$ |
| $t^n f(t)$ | $(-1)^n \frac{d^nF(s)}{ds^n}$ | |
| 합성곱 (Convolution) | $(f*g)(t) = \int_0^t f(\tau)g(t-\tau)d\tau$ | $F(s)G(s)$ |
| 초기값 정리 | $\lim_{t\to 0^+} f(t)$ | $\lim_{s\to\infty} sF(s)$ |
| 최종값 정리 | $\lim_{t\to\infty} f(t)$ | $\lim_{s\to 0} sF(s)$ (단, 극한값이 존재할 때) |