복잡하고 어려운 문제를 만났을 때, 더 쉬운 문제로 바꿔서 풀 수 있다면 어떨까? 라플라스 변환(Laplace Transform)은 바로 그런 역할을 하는 강력한 수학적 도구다. 마치 고대의 복잡한 언어로 쓰인 어려운 글(미분방정식)을 우리가 일상적으로 사용하는 쉬운 언어(대수방정식)로 번역해주는 ‘마법의 번역기’와 같다.1
문제를 쉬운 언어로 번역한 뒤 해답을 찾고, 그 해답을 다시 원래의 언어로 번역하면 마침내 어려운 문제의 답을 얻게 된다. 이처럼 라플라스 변환은 공학이나 물리에서 자주 등장하는 풀기 어려운 미분방정식을 간단한 사칙연산으로 풀 수 있는 대수방정식으로 변환하여 문제 해결을 획기적으로 단순화한다.4
이 변환의 핵심 가치는 ‘단순화’에 있다. 고등학교 과정에서 배운 미분과 적분은 복잡한 규칙을 따르지만, 라플라스 변환을 거치면 이러한 미분과 적분 연산이 각각 곱셈과 나눗셈이라는 훨씬 간단한 대수 연산으로 바뀌게 된다.6 이는 수학적 난이도의 계층을 허물어뜨리는 것과 같으며, 이 자습서 전체를 관통하는 핵심 아이디어다. 즉, 우리는 더 어려운 수학을 배우는 것이 아니라, 기존의 수학을 더 쉽게 만드는 지름길을 배우는 것이다.
‘마법의 번역기’ 비유를 좀 더 수학적인 용어로 표현해 보자. 우리는 보통 시간에 따라 변화하는 현상을 다룬다. 예를 들어, 스프링의 움직임이나 회로에 흐르는 전류는 시간 \(t\)에 대한 함수, 즉 \(f(t)\)로 표현된다. 이러한 함수들이 존재하는 세계를 시간 영역(Time Domain)이라고 부른다.3
라플라스 변환은 시간 영역에 있는 함수 \(f(t)\)를 라플라스 영역(Laplace Domain) 또는 s-영역(s-domain)이라는 새로운 세계의 함수 \(F(s)\)로 변환한다.6 여기서 새로운 변수 $s$는 단순한 숫자가 아니라, 실수를 나타내는 $\sigma$ (시그마)와 허수를 나타내는 \(\omega\) (오메가)를 포함하는 복소수(\(s = \sigma + j\omega\))이다. 이 \(s\)를 복소 주파수(complex frequency)라고 부른다.1
이 과정은 단순히 변수만 바꾸는 것이 아니라, 현상을 바라보는 관점을 바꾸는 것이다. 시간의 흐름에 따른 변화를 직접 보는 대신, 그 현상이 어떤 주파수 성분들과 어떤 감쇠(또는 증폭)율로 구성되어 있는지를 분석하는 것이다.
라플라스 변환의 공식적인 정의는 다음과 같은 적분 형태로 주어진다.5 \(\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt\) 이 식의 각 부분을 자세히 살펴보자.
이 정의는 임의로 만들어진 것이 아니다. 커널 \(e^{-st}\)에는 놀라운 비밀이 숨어있다. \(s = \sigma + j\omega\)를 대입해 보면 그 비밀을 알 수 있다.11 \(e^{-st} = e^{-(\sigma + j\omega)t} = e^{-\sigma t} \cdot e^{-j\omega t}\) 여기서 두 부분으로 나뉘는 것을 볼 수 있다.
결론적으로, 라플라스 변환은 함수의 주파수 성분을 분석하는 푸리에 변환의 능력에, 발산하는 함수까지 다룰 수 있는 안정성을 더한 ‘확장팩’과 같다.11 이 덕분에 시스템의 안정성을 분석하는 등 훨씬 광범위한 현실 세계의 문제를 해결할 수 있다.14
라플라스 변환이 어떻게 작동하는지 직접 체험해보기 위해, 몇 가지 기본적인 함수를 정의에 따라 계산해 보자. 이 과정은 변환표가 어떻게 만들어졌는지 이해하는 데 큰 도움이 된다.8
가장 간단한 함수인 $f(t) = 1$ (단, $t \geq 0$)을 변환해 보자. \(\mathcal{L}\{1\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} \cdot 1 \, dt = \left[ -\frac{1}{s}e^{-st} \right]_{0}^{\infty}\) 여기서 \(t \to \infty\)일 때 \(e^{-st}\)가 0으로 수렴하려면 \(s\)의 실수부가 양수여야 한다 (\(Re(s) > 0\)). 이 조건 하에서 계산하면 다음과 같다. \(= \lim_{A \to \infty} \left( -\frac{1}{s}e^{-sA} \right) - \left( -\frac{1}{s}e^{-s \cdot 0} \right) \\ = 0 - \left( -\frac{1}{s} \cdot 1 \right) \\ = \frac{1}{s}\) 따라서 상수 \(C\)에 대한 라플라스 변환은 \(\mathcal{L}\{C\} = C/s\)가 된다.8
지수 함수는 공학에서 매우 중요하다. \(\mathcal{L}\{e^{at}\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{at} \, dt \\ = \int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t} \, dt\) 이 적분은 \(Re(s-a) > 0\), 즉 \(Re(s) > a\)일 때 수렴한다. \(= \left[ -\frac{1}{s-a}e^{-(s-a)t} \right]_{0}^{\infty} \\ = 0 - \left( -\frac{1}{s-a} \cdot 1 \right) \\ = \frac{1}{s-a}\) 이 결과는 상수 함수 변환 결과에서 \(s\)가 \(s-a\)로 평행이동한 것과 같다. 이는 라플라스 변환의 중요한 성질 중 하나와 관련이 있다.18
먼저 $f(t) = t$를 변환해 보자. 부분적분을 사용해야 한다 ($\int u dv = uv - \int v du$). \(\mathcal{L}\{t\} = \int_{0}^{\infty} t e^{-st} \, dt\) 여기서 \(u = t\), \(dv = e^{-st}dt\)로 두면, \(du = dt\), \(v = - \frac{1}{s}e^{-st}\)가 된다.
Code snippet \(= \left[ -t\frac{e^{-st}}{s} \right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} \left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right) \, dt = 0 + \frac{1}{s} \int_{0}^{\infty} e^{-st} \, dt\) 뒤의 적분은 \(\mathcal{L}\{1\}\)이므로 \(1/s\)이다. 따라서, \(= \frac{1}{s} \left( \frac{1}{s} \right) = \frac{1}{s^2}\) 이 과정을 반복하면 \(t^n\)에 대한 일반적인 공식을 얻을 수 있다.20 \(\mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n!}{s^{n+1}}\)
삼각 함수는 부분적분을 두 번 사용해야 해서 계산이 복잡하다. 하지만 오일러 공식을 이용하면 지수 함수 문제로 바꿀 수 있어 훨씬 간단해진다.13 \(\sin(\omega t) = \frac{e^{j\omega t} - e^{-j\omega t}}{2j}\) 라플라스 변환의 선형성(나중에 배울 속성)을 이용하면, \(\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \frac{1}{2j} \left( \mathcal{L}\{e^{j\omega t}\} - \mathcal{L}\{e^{-j\omega t}\} \right)\) 지수 함수 변환 공식을 적용하면, \(= \frac{1}{2j} \left( \frac{1}{s-j\omega} - \frac{1}{s+j\omega} \right)\\ = \frac{1}{2j} \left( \frac{(s+j\omega) - (s-j\omega)}{(s-j\omega)(s+j\omega)} \right)\)
\[= \frac{1}{2j} \left( \frac{2j\omega}{s^2 - (j\omega)^2} \right) = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}\]같은 방식으로 \(\cos(\omega t)\)를 변환하면 \(\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\} = s/(s^2 + \omega^2)\)를 얻을 수 있다.
매번 이렇게 적분을 계산하는 것은 비효율적이다. 수학자나 공학자들은 자주 사용되는 변환 결과를 표로 정리해두고 필요할 때마다 찾아 쓴다.22 이 표를 ‘라플라스 변환 쌍(Laplace transform pairs)’이라고 부른다. 앞서 직접 계산해 본 것은 이 표가 어떻게 만들어졌는지 이해하기 위함이었고, 이제부터는 이 표를 적극적으로 활용하여 시간을 절약할 것이다.
표 1: 필수 라플라스 변환 쌍
이 표는 시간 영역의 함수를 라플라스 영역으로 ‘번역’할 때 사용하는 핵심 사전이다.8
| 함수 \(f(t)\) | 라플라스 변환 \(F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}\) |
|---|---|
| 1. \(C\) (상수) | \(\frac{C}{s}\) |
| 2. \(t^n\) (\(n\)은 양의 정수) | \(\frac{n!}{s^{n+1}}\) |
| 3. \(e^{at}\) | \(\frac{1}{s-a}\) |
| 4. \(\sin(\omega t)\) | \(\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}\) |
| 5. \(\cos(\omega t)\) | \(\frac{s}{s^2 + \omega^2}\) |
| 6. \(\sinh(\omega t)\) | \(\frac{\omega}{s^2 - \omega^2}\) |
| 7. \(\cosh(\omega t)\) | \(\frac{s}{s^2 - \omega^2}\) |
| 8. \(u(t-a)\) (단위 계단 함수) | \(\frac{e^{-as}}{s}\) |
라플라스 변환의 진정한 힘은 복잡한 연산을 단순화하는 여러 가지 속성(property) 또는 정리(theorem)에서 나온다. 이 도구들은 변환 과정을 더욱 빠르고 강력하게 만들어 준다.
라플라스 변환은 선형성을 가진다. 이는 적분 연산 자체가 선형적이기 때문이다. 두 함수 \(f(t)\), \(g(t)\)와 상수 \(a\), \(b\)에 대해 다음이 성립한다.2 \(\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a \mathcal{L}\{f(t)\} + b \mathcal{L}\{g(t)\} \\ = aF(s) + bG(s)\) 이 성질 덕분에 우리는 복잡한 함수를 여러 개의 간단한 함수들의 합으로 쪼개어 각각 변환한 뒤 더할 수 있다. 예를 들어, \(\mathcal{L}\{4t^2 - 3\cos(2t)\}\)는 \(4\mathcal{L}\{t^2\} - 3\mathcal{L}\{\cos(2t)\}\)로 계산할 수 있다.
이동 정리는 특정 함수가 곱해지거나 시간이 지연될 때 라플라스 변환 결과가 어떻게 변하는지를 알려준다.
주파수 이동 (s-Shifting 또는 First Shifting Property)
시간 영역에서 함수 $f(t)$에 지수 함수 $e^{at}$가 곱해지면, 라플라스 영역에서는 $s$가 $s-a$로 평행이동하는 효과가 나타난다.5 \(\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)\) 예를 들어, \(\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \omega/(s^2 + \omega^2)\)임을 알고 있으므로, \(\mathcal{L}\{e^{at}\sin(\omega t)\}\)는 \(s\)를 \(s-a\)로 바꾸기만 하면 된다. \(\mathcal{L}\{e^{at}\sin(\omega t)\} = \frac{\omega}{(s-a)^2 + \omega^2}\) 이 성질은 감쇠하는 진동(damped oscillation)과 같은 현상을 분석하고, 나중에 역변환 시 복잡한 분모를 처리하는 데 매우 유용하다.
시간 이동 (t-Shifting 또는 Second Shifting Property)
어떤 현상이 $t=0$이 아닌 $t=a$에서 시작하는 경우를 모델링할 때 사용한다. 이때는 단위 계단 함수(Unit Step Function) $u(t-a)$가 필요하다. 이 함수는 $t < a$일 때는 0, $t \geq a$일 때는 1의 값을 가지는 ‘스위치’ 역할을 한다.25 \(\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\} = e^{-as}F(s)\) 시간 영역에서 \(a\)만큼 지연되는 것은 라플라스 영역에서 \(e^{-as}\)를 곱하는 것과 같다. 이 성질은 스위치를 켜거나 끄는 것과 같이 불연속적인 힘이 작용하는 시스템을 해석하는 데 핵심적인 역할을 한다.24
이 부분은 라플라스 변환이 미분방정식을 대수방정식으로 바꾸는 마법의 핵심 원리다.12
미분 정리 (Differentiation)
함수 $f(t)$의 도함수를 라플라스 변환하면 다음과 같다. \(\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)\)
\[\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2F(s) - sf(0) - f'(0)\]이 공식들은 두 가지 혁신적인 장점을 가진다.
첫째, 시간 영역에서의 미분($d/dt$)이 라플라스 영역에서는 단순히 변수 $s$를 곱하는 대수적 연산으로 바뀐다. 미분이 곱셈으로 단순화되는 것이다.6
둘째, 초기 조건($f(0)$, $f’(0)$ 등)이 변환 과정에 자동으로 포함된다. 기존의 미분방정식 풀이법에서는 일반해를 구한 뒤 별도의 단계에서 초기 조건을 대입하여 미정 계수를 결정해야 했다. 하지만 라플라스 변환은 이 모든 과정을 한 번에 처리하여 특정 해(particular solution)를 바로 구해준다. 이는 계산 과정을 단축하고 오류를 줄여주는 매우 우아하고 강력한 장점이다.12
적분 정리 (Integration)
함수 $f(t)$를 0부터 $t$까지 적분한 것을 라플라스 변환하면 다음과 같다. \(\mathcal{L}\left\{\int_{0}^{t} f(\tau)d\tau\right\} = \frac{1}{s}F(s)\) 미분이 \(s\)를 곱하는 것이었다면, 적분은 \(s\)로 나누는 것이다. 이처럼 시간 영역에서의 미적분 연산과 라플라스 영역에서의 대수 연산 사이에는 명확한 이중성(duality)이 존재한다.
표 2: 라플라스 변환의 주요 속성
이 표는 라플라스 변환이라는 언어의 ‘문법 규칙’을 요약한 것으로, 문제 해결 시 계속해서 참고하게 될 중요한 도구다.9
| 속성 (Property) | 시간 영역 \(f(t)\) | 라플라스 영역 \(F(s)\) |
|---|---|---|
| 선형성 (Linearity) | \(a f(t) + b g(t)\) | \(aF(s) + bG(s)\) |
| 주파수 이동 (s-Shifting) | \(e^{at}f(t)\) | \(F(s-a)\) |
| 시간 이동 (t-Shifting) | \(f(t-a)u(t-a)\) | \(e^{-as}F(s)\) |
| 1계 미분 (1st Derivative) | \(f'(t)\) | \(sF(s) - f(0)\) |
| 2계 미분 (2nd Derivative) | \(f''(t)\) | \(s^2F(s) - sf(0) - f'(0)\) |
| 적분 (Integration) | \(\int_{0}^{t} f(\tau)d\tau\) | \(\frac{1}{s}F(s)\) |
미분방정식을 라플라스 영역으로 변환하여 대수적으로 해 \(Y(s)\)를 구했다면, 이제 마지막 단계는 이 해를 다시 우리가 이해할 수 있는 시간 영역의 함수 \(y(t)\)로 ‘역번역’하는 것이다. 이 과정을 역 라플라스 변환(Inverse Laplace Transform)이라고 한다.
역 라플라스 변환은 기호 \(\mathcal{L}^{-1}\)를 사용하여 다음과 같이 나타낸다.3 \(\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = f(t)\) 가장 간단한 방법은 표 1을 거꾸로 읽는 것이다. 예를 들어, 표에서 \(\mathcal{L}\{e^{3t}\} = 1/(s-3)\)을 찾았다면, 역으로 \(\mathcal{L}^{-1}\{1/(s-3)\} = e^{3t}\)임을 바로 알 수 있다.
하지만 미분방정식을 풀어서 얻은 \(Y(s)\)는 대부분 표에 바로 나와있지 않은 복잡한 유리 함수 형태다. 예를 들어, 다음과 같은 형태일 수 있다. \(Y(s) = \frac{s+3}{(s-1)(s+2)}\) 이럴 때 필요한 기술이 바로 부분분수 전개(Partial Fraction Expansion, PFE)다. 부분분수 전개는 하나의 복잡한 분수를 여러 개의 간단한 분수들의 합으로 쪼개는 대수적 기법이다. 이렇게 쪼개진 각각의 분수들은 변환표에서 쉽게 찾을 수 있는 형태가 된다.3 즉, 부분분수 전개는 라플라스 영역의 복잡한 ‘문장’을 우리가 아는 간단한 ‘단어’들의 조합으로 분해하는 체계적인 ‘역번역’ 도구다.
Case 1: 분모가 서로 다른 실근을 가질 때
분모가 $(s-a)(s-b)$와 같이 서로 다른 일차식의 곱으로 인수분해될 때다.
예제: $F(s) = \frac{1}{(s-2)(s+1)}$을 역변환해 보자.
먼저 부분분수로 분해한다. \(\frac{1}{(s-2)(s+1)} = \frac{A}{s-2} + \frac{B}{s+1}\) 계수 A, B를 구하는 가장 빠른 방법은 ‘가리기 법(Cover-up method)’이다.
Case 2: 분모가 중복된 실근(중근)을 가질 때
분모가 $(s-a)^2$와 같이 제곱 항을 포함할 때다.
예제: $F(s) = \frac{s}{(s-3)^2}$을 역변환해 보자.
부분분수 형태는 다음과 같이 설정해야 한다. \(\frac{s}{(s-3)^2} = \frac{A}{s-3} + \frac{B}{(s-3)^2}\) 양변에 \((s-3)^2\)을 곱하면, \(s = A(s-3) + B\)가 된다.
\(s=3\)을 대입하면 \(3 = B\)를 바로 얻는다.
계수 비교를 위해 식을 전개하면 $s = As - 3A + B$이다. $s$의 계수를 비교하면 $A=1$임을 알 수 있다.
따라서, $F(s) = \frac{1}{s-3} + \frac{3}{(s-3)^2}$이다. 이제 역변환한다.
첫 번째 항은 \(e^{3t}\)이다. 두 번째 항은 \(\mathcal{L}\{t\} = 1/s^2\)에 주파수 이동 정리(\(\mathcal{L}\{e^{at}t\} = 1/(s-a)^2\))를 적용한 형태다. \(f(t) = e^{3t} + 3te^{3t}\) Case 3: 분모가 복소수 근을 가질 때
분모가 인수분해되지 않는 이차식 $(s^2+bs+c)$ 형태일 때다. 이때는 완전제곱식으로 만들어 변환표의 사인, 코사인 형태와 맞춰야 한다.32
예제: $F(s) = \frac{s+1}{s^2+2s+5}$을 역변환해 보자.
분모를 완전제곱식으로 바꾼다. \(s^2+2s+5 = (s^2+2s+1) + 4 = (s+1)^2 + 2^2\) 이제 \(F(s)\)를 다시 쓴다. \(F(s) = \frac{s+1}{(s+1)^2 + 2^2}\) 이 형태는 \(\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\} = s/(s^2+\omega^2)\)에서 \(s\)가 \(s+1\)로 이동하고 \(\omega=2\)인 경우와 같다. 주파수 이동 정리를 역으로 적용하면 된다. \(f(t) = e^{-t}\cos(2t)\)
이제 앞에서 배운 모든 개념과 기술을 종합하여 미분방정식 초기값 문제를 해결하는 전체 과정을 살펴보자.
미분방정식을 푸는 과정은 다음과 같은 체계적인 3단계로 요약할 수 있다.3
1단계: 변환 (Transform)
주어진 미분방정식의 모든 항을 라플라스 변환한다. 이때 미분 정리를 사용하여 도함수를 $s$에 대한 식으로 바꾸고, 주어진 초기 조건을 대입한다. 이 단계가 끝나면 미분방정식은 $Y(s)$에 대한 대수방정식으로 바뀐다.
2단계: 대수적 풀이 (Solve Algebraically)
$Y(s)$에 대해 방정식을 정리한다. 즉, $Y(s) = \dots$ 형태로 만든다. 이 과정은 간단한 이항과 나눗셈으로 이루어진다.
3단계: 역변환 (Inverse Transform)
2단계에서 구한 $Y(s)$를 역 라플라스 변환하여 최종 해 $y(t)$를 구한다. 이 과정에서 부분분수 전개와 변환표 조회가 핵심적인 역할을 한다.
예제 1: 1차 미분방정식
문제: $y’ + 3y = 13\sin(2t)$, $y(0) = 6$을 풀어보자.27
1단계: 변환
양변에 라플라스 변환을 적용한다. \(\mathcal{L}\{y'\} + 3\mathcal{L}\{y\} = 13\mathcal{L}\{\sin(2t)\}\)
\[(sY(s) - y(0)) + 3Y(s) = 13 \cdot \frac{2}{s^2+4}\]초기 조건 \(y(0)=6\)을 대입한다. \((sY(s) - 6) + 3Y(s) = \frac{26}{s^2+4}\) 2단계: 대수적 풀이
$Y(s)$에 대해 정리한다. \((s+3)Y(s) = 6 + \frac{26}{s^2+4} = \frac{6(s^2+4) + 26}{s^2+4} = \frac{6s^2+50}{s^2+4}\)
\[Y(s) = \frac{6s^2+50}{(s+3)(s^2+4)}\]3단계: 역변환
부분분수 전개를 한다. \(\frac{6s^2+50}{(s+3)(s^2+4)} = \frac{A}{s+3} + \frac{Bs+C}{s^2+4}\) 계산을 통해 \(A=8, B=-2, C=6\)을 얻는다. \(Y(s) = \frac{8}{s+3} + \frac{-2s+6}{s^2+4} = \frac{8}{s+3} - 2\frac{s}{s^2+4} + 3\frac{2}{s^2+4}\) 각 항을 역변환한다. \(y(t) = 8e^{-3t} - 2\cos(2t) + 3\sin(2t)\) 예제 2: 2차 미분방정식 (비제차)
문제: $y’’ + 2y’ + 2y = e^{-t}$, $y(0)=0, y’(0)=0$을 풀어보자.28
1단계: 변환 \(\mathcal{L}\{y''\} + 2\mathcal{L}\{y'\} + 2\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{e^{-t}\}\)
\[(s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)) + 2(sY(s) - y(0)) + 2Y(s) = \frac{1}{s+1}\]초기 조건을 대입하면 모든 초기 조건 항이 0이 된다. \(s^2Y(s) + 2sY(s) + 2Y(s) = \frac{1}{s+1}\) 2단계: 대수적 풀이 \((s^2+2s+2)Y(s) = \frac{1}{s+1}\)
\[Y(s) = \frac{1}{(s+1)(s^2+2s+2)}\]3단계: 역변환
부분분수 전개를 하면 $Y(s) = \frac{1}{s+1} - \frac{s+1}{s^2+2s+2}$이 된다.
두 번째 항의 분모를 완전제곱식으로 만든다: $s^2+2s+2 = (s+1)^2+1^2$. \(Y(s) = \frac{1}{s+1} - \frac{s+1}{(s+1)^2+1^2}\) 각 항을 역변환한다. \(y(t) = e^{-t} - e^{-t}\cos(t)\)
라플라스 변환은 더 복잡한 문제에도 강력한 해결책을 제공한다.
불연속 강제 함수 (Discontinuous Forcing Functions)
현실에서는 스위치를 켜거나 끄는 것처럼 특정 시간에만 힘이 가해지는 경우가 많다. 이런 불연속적인 힘은 단위 계단 함수 $u(t-a)$를 이용해 표현할 수 있다.25 라플라스 변환의 시간 이동 정리는 이러한 문제를 매우 효과적으로 해결한다. 이는 기존의 방법으로는 여러 구간으로 나누어 풀어야 했던 복잡한 문제를 하나의 통일된 과정으로 해결할 수 있게 해주는 라플라스 변환의 독보적인 장점이다.25
연립 미분방정식 (Systems of Differential Equations)
두 개 이상의 미지 함수가 얽혀 있는 연립 미분방정식도 라플라스 변환으로 해결할 수 있다. 각 방정식에 라플라스 변환을 적용하면, 연립 미분방정식은 변환된 함수($X(s), Y(s)$)에 대한 연립 대수방정식으로 바뀐다. 이 연립 대수방정식을 풀고 각각을 역변환하면 해를 구할 수 있다.36
예를 들어, 연립 미분방정식 \(dx/dt = -x+y\), \(dy/dt = 2x\) (초기 조건 \(x(0)=0, y(0)=1\))는 라플라스 변환을 통해 다음과 같은 연립 대수방정식으로 바뀐다.36 \(sX(s) = -X(s) + Y(s)\)
\[sY(s) - 1 = 2X(s)\]이 대수방정식을 풀면 \(X(s)\)와 \(Y(s)\)를 구하고, 이를 역변환하여 \(x(t)\)와 \(y(t)\)를 찾을 수 있다.
지금까지 배운 라플라스 변환은 단순히 수학 문제를 푸는 기술을 넘어, 다양한 과학 및 공학 분야에서 현실 세계의 문제를 분석하고 해결하는 데 필수적으로 사용된다.
전자회로 분석 (RLC Circuits)
저항(R), 인덕터(L), 커패시터(C)로 구성된 전자회로의 동작은 키르히호프의 법칙에 따라 미분과 적분이 포함된 ‘미분-적분 방정식’으로 표현된다. 라플라스 변환을 적용하면 이 복잡한 방정식이 임피던스 $Z(s) = R + sL + 1/(sC)$라는 간단한 개념을 사용한 대수방정식으로 변환된다.38 이를 통해 회로에 흐르는 전류나 특정 부품에 걸리는 전압을 훨씬 쉽게 계산하고 회로의 과도 응답(transient response)을 분석할 수 있다.40
기계 진동 분석 (Mechanical Vibrations)
자동차의 서스펜션과 같은 질량-스프링-댐퍼 시스템의 움직임은 2차 미분방정식으로 모델링된다. 외부의 힘(예: 도로의 요철)이나 초기 변위에 따른 시스템의 움직임을 예측할 때 라플라스 변환이 사용된다.41 변환된 함수의 분모(특성 방정식)의 근(pole)을 분석하면 시스템의 고유 진동수, 감쇠비 등 물리적 특성을 파악하고 시스템의 안정성을 판단할 수 있다.43
라플라스 변환은 푸리에 변환과 매우 밀접한 관련이 있다. 사실, 푸리에 변환은 라플라스 변환의 특수한 경우로 볼 수 있다.11 라플라스 변환의 변수 \(s = \sigma + j\omega\)에서 실수부 \(\sigma\)가 0일 때, 즉 \(s = j\omega\)일 때가 바로 푸리에 변환에 해당한다.14
그렇다면 언제 어떤 변환을 사용해야 할까? 이는 해결하려는 문제의 성격에 따라 다르다.15
결국, 어떤 도구를 선택할지는 엔지니어의 질문에 달려 있다. “이 신호는 어떤 주파수로 이루어져 있는가?”라고 묻는다면 푸리에 변환이 답을 줄 것이다. 하지만 “이 스위치를 켜면 회로에 무슨 일이 일어날까? 이 시스템은 안정적인가?”라고 묻는다면, 성장과 감쇠의 개념을 포함하는 라플라스 변환이 필요한 답을 제공할 것이다.
| 함수 \(f(t)\) | 라플라스 변환 \(F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}\) | |
|---|---|---|
| 1 | \(C\) (상수) | \(\frac{C}{s}\) |
| 2 | \(t^n\) (\(n\)은 양의 정수) | \(\frac{n!}{s^{n+1}}\) |
| 3 | \(e^{at}\) | \(\frac{1}{s-a}\) |
| 4 | \(\sin(\omega t)\) | \(\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}\) |
| 5 | \(\cos(\omega t)\) | \(\frac{s}{s^2 + \omega^2}\) |
| 6 | \(\sinh(\omega t)\) | \(\frac{\omega}{s^2 - \omega^2}\) |
| 7 | \(\cosh(\omega t)\) | \(\frac{s}{s^2 - \omega^2}\) |
| 8 | \(u(t-a)\) (단위 계단 함수) | \(\frac{e^{-as}}{s}\) |
| 9 | \(e^{at}t^n\) | \(\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}\) |
| 10 | \(e^{at}\sin(\omega t)\) | \(\frac{\omega}{(s-a)^2 + \omega^2}\) |
| 11 | \(e^{at}\cos(\omega t)\) | \(\frac{s-a}{(s-a)^2 + \omega^2}\) |
| 속성 (Property) | 공식 |
|---|---|
| 선형성 (Linearity) | \(\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = aF(s) + bG(s)\) |
| 주파수 이동 (s-Shifting) | \(\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)\) |
| 시간 이동 (t-Shifting) | \(\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\} = e^{-as}F(s)\) |
| 미분 (Differentiation) | \(\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)\) \(\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2F(s) - sf(0) - f'(0)\) |
| 적분 (Integration) | \(\mathcal{L}\left\{\int_{0}^{t} f(\tau)d\tau\right\} = \frac{1}{s}F(s)\) |
| 컨볼루션 (Convolution) | \(\mathcal{L}\{(f*g)(t)\} = F(s)G(s)\) |
| 초기값 정리 (Initial Value Thm.) | \(\lim_{t \to 0} f(t) = \lim_{s \to \infty} sF(s)\) |
| 최종값 정리 (Final Value Thm.) | \(\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s)\) |
| Laplace transform | Differential Equations | Khan Academy - YouTube, accessed July 21, 2025, https://www.youtube.com/watch?v=OiNh2DswFt4 |
| MEEM 3700 Mechanical Vibrations | Laplace Transform - Scribd, accessed July 21, 2025, https://www.scribd.com/document/399239828/Lecture-13 |