복소 평면과 리만 구의 변환

복소 평면에서 리만 구로의 사영 변환

복소 평면에서 리만 구로의 변환은 흔히 사영 변환이라고 불린다. 이 변환은 복소수 $z = a + bi$ (여기서 $a$ 는 실수부, $b$ 는 허수부)로 표현된 복소수와 구형 좌표계를 서로 연결하는 과정이다. 먼저, 복소 평면을 구와 연관 짓는 리만 구의 좌표계를 설정한다.

리만 구는 복소 평면의 모든 점과 무한대를 포함하는 복소 평면의 확장으로 볼 수 있다. 이를 사영 변환으로 설명할 때, 일반적으로 스테레오그래픽 사영(Stereographic Projection)을 사용한다. 이 사영은 구의 한 점, 예를 들어 북극을 통해 복소 평면의 점과 구의 점을 연관 짓는다.

스테레오그래픽 사영의 정의

복소수 $z = a + bi$ 를 리만 구의 좌표계로 사영하는 과정을 스테레오그래픽 사영이라고 한다. 스테레오그래픽 사영에서 리만 구는 3차원 공간에서 원점이 중심인 구로 나타난다. 이 구의 반지름은 보통 1로 설정된다. 구의 북극에서 복소 평면에 있는 점으로 직선을 그린 다음, 이 직선이 구의 표면과 만나는 점을 찾으면, 그 점은 복소 평면의 해당 복소수와 일치한다.

스테레오그래픽 사영 변환의 수식은 다음과 같다. 복소 평면에서 복소수 $z = a + bi$ 를 3차원 구의 좌표 $\mathbf{x} = (x, y, z)$ 로 변환하는 과정은 다음과 같이 표현된다.

$x = \frac{2a}{1 + a^2 + b^2}$

$y = \frac{2b}{1 + a^2 + b^2}$

$z = \frac{a^2 + b^2 - 1}{1 + a^2 + b^2}$

이때, $(x, y, z)$ 는 리만 구 위의 점을 나타낸다. 이 변환을 통해 복소 평면의 점들이 구의 좌표계로 변환되며, 무한대에 있는 점은 리만 구의 북극으로 대응된다.

무한대와 리만 구의 관계

복소 평면에서 무한대에 있는 점은 리만 구에서 북극에 해당된다. 스테레오그래픽 사영의 중요한 성질 중 하나는 무한대가 리만 구의 특정한 점과 대응된다는 점이다. 구의 표면은 복소 평면의 모든 유한한 점을 표현하지만, 복소수의 극한이 무한대로 갈 때, 이 점은 구의 북극으로 수렴하게 된다.

이를 좀 더 수식적으로 표현하면, 복소 평면의 점 $z = a + bi$ 에서 $|z| \to \infty$ 인 경우, 스테레오그래픽 사영에서의 구 좌표는 다음과 같이 변한다:

$x \to 0, \quad y \to 0, \quad z \to 1$

즉, 복소 평면에서 무한대는 리만 구의 북극 $(0, 0, 1)$ 과 대응된다.

리만 구에서 복소 평면으로의 역변환

리만 구에서 다시 복소 평면으로 변환하는 과정은 스테레오그래픽 사영의 역변환을 통해 수행된다. 리만 구의 한 점 $\mathbf{x} = (x, y, z)$ 에서 복소 평면의 복소수 $z = a + bi$ 로 변환하는 수식을 다음과 같이 정의할 수 있다:

$a = \frac{x}{1 - z}$

$b = \frac{y}{1 - z}$

이때, $(x, y, z)$ 는 구의 좌표를 나타내며, $z$ 는 구의 z축 좌표이다. 이 식을 통해 리만 구의 점을 복소 평면으로 다시 사영할 수 있다. 특히, 구의 북극 $(0, 0, 1)$ 에 대응하는 복소 평면의 점은 무한대이며, 이는 복소수의 극한과 관련된 중요한 성질 중 하나이다.

사영 변환의 기하학적 해석

스테레오그래픽 사영은 기하학적으로 구와 평면의 교차점을 구하는 과정으로 설명될 수 있다. 리만 구는 복소 평면 위의 점을 3차원 공간에서 구형 표면으로 확장한 구조를 가지고 있으며, 이 과정에서 복소 평면의 점과 리만 구의 점을 연결하는 사영선을 이용한다.

이 사영선은 복소 평면의 한 점에서 리만 구의 북극까지 이어지는 직선이다. 이 직선이 리만 구의 표면과 만나는 점을 찾는 방식으로 복소수와 리만 구 사이의 대응 관계를 설정한다. 예를 들어, 복소 평면의 원점 $z = 0$ 은 리만 구의 남극 $(0, 0, -1)$ 과 대응된다.

스테레오그래픽 사영의 특성

스테레오그래픽 사영은 다음과 같은 중요한 특성을 가진다:

각 보존 변환: 스테레오그래픽 사영은 각을 보존하는 성질을 가진다. 이는 복소 평면에서 두 직선 사이의 각이 리만 구에서도 동일하게 유지된다는 의미이다. 이러한 성질 때문에 스테레오그래픽 사영은 복소 해석학에서 중요한 도구로 사용된다.
무한대를 포함하는 변환: 스테레오그래픽 사영은 복소 평면의 무한대를 리만 구의 북극에 대응시킴으로써, 복소 평면의 확장을 자연스럽게 포함한다. 이는 복소 평면에서 유한한 점들이 리만 구의 남반구에 대응되고, 무한대가 북극에 대응되는 구조를 만든다.
거리 왜곡: 스테레오그래픽 사영은 각을 보존하지만 거리를 왜곡한다. 복소 평면에서 두 점 사이의 거리는 리만 구에서 다른 방식으로 표현되며, 특히 복소 평면에서 멀리 떨어진 점들(즉, 무한대에 가까운 점들)은 리만 구에서 구의 북극에 가까워지면서 압축된 형태로 변환된다.