복소평면과 확장된 복소평면

복소수는 일반적으로 평면 상의 점으로 표현된다. 복소평면에서 복소수 $z = a + bi$는 $(a, b)$로 나타낼 수 있다. 여기서 $a$는 실수부, $b$는 허수부이다. 하지만, 복소평면은 유한한 범위 내에서만 복소수를 다루며, 무한대에서의 복소수를 표현하기 어렵다.

이를 해결하기 위해 복소평면을 확장하여 리만 구를 정의한다. 리만 구는 복소평면에 무한대를 추가한 구조로, 이 확장된 복소평면을 확장된 복소평면이라고도 한다. 이때 확장된 복소평면에서의 점들은 원래의 복소수와 무한대 $\infty$를 포함하게 된다.

리만 구의 기하학적 표현

리만 구는 복소평면을 구면 위에 사상하는 과정을 포함한다. 먼저, 복소평면을 구면 위에 일대일로 사상하는 스테레오그래프 사영(Stereographic Projection)이 사용된다. 이를 통해 복소평면 상의 각 점을 구면의 점으로 대응시킬 수 있으며, 구면의 북극은 복소평면의 무한대에 해당한다.

스테레오그래프 사영은 다음과 같이 정의된다. 반지름이 1인 구를 생각해 봅시다. 이 구는 원점을 중심으로 하고, 북극의 좌표는 $(0, 0, 1)$이다. 이때, 복소수 $z = a + bi$는 구면 위의 한 점으로 사상된다.

사영 방정식은 다음과 같다:

여기서 $\mathbf{P}$는 구면 위의 좌표를 나타낸다. 복소수 $z = a + bi$는 위의 사영 방정식을 통해 리만 구 상의 점으로 대응된다.

리만 구의 특성

리만 구는 복소평면에 무한대를 추가한 구조로, 이 구조에서는 복소수와 무한대가 동일한 방식으로 처리된다. 즉, 복소평면의 모든 점들은 리만 구의 한 점으로 사상되며, 복소평면의 무한대는 리만 구의 북극점으로 대응된다.

리만 구의 또 다른 중요한 특성은 모든 유한한 복소수는 구의 표면 상에 있으며, 무한대는 구의 한 점으로 간주된다는 점이다. 이로 인해 복소수의 계산에서 무한대를 자연스럽게 다룰 수 있게 된다.

리만 구와 복소평면의 관계

리만 구는 복소평면을 구형 표면으로 확장한 것이다. 이 구체적인 관계를 더 명확히 설명하기 위해 스테레오그래프 사영을 다시 살펴보자. 복소평면을 3차원 공간의 구면으로 사상하는 과정에서, 복소평면 위의 원점은 구면의 적도에 해당하는 점으로 사상된다. 복소수 $z = a + bi$의 사영은 다음과 같이 표현된다:

여기서 $\mathbf{P}$는 구면 위의 좌표이고, $z = a + bi$는 복소평면에서의 좌표이다.

무한대의 처리

복소평면에서 무한대에 해당하는 점은 리만 구의 북극점으로 사상된다. 즉, 복소평면에서 무한히 멀리 떨어진 모든 방향의 점들이 하나의 고정된 점, 즉 리만 구의 북극에 모이는 것이다. 이것은 복소평면 상의 무한대가 리만 구에서는 하나의 점으로 통합되어 표현되는 방식이다.

구체적으로, 복소수 $z$가 무한대로 갈 때, 스테레오그래프 사영에 의해 구면의 북극으로 점점 가까워진다. 사영 방정식에서 $a^2 + b^2 \to \infty$일 때, 구면 상의 $\mathbf{P}$는 $(0, 0, 1)$, 즉 북극에 수렴하게 된다.

리만 구의 직관적 이해

리만 구를 직관적으로 이해하기 위해서는 복소평면을 구의 적도에 대응시키고, 무한대는 구의 북극에 대응시킨다고 생각할 수 있다. 이렇게 하면 복소평면의 무한한 확장을 리만 구의 유한한 공간 안에서 다룰 수 있다. 이로 인해 무한대의 개념이 더 명확해지고, 복소수를 기하학적으로 다루는 데 유용하다.

리만 구는 복소 함수론에서도 중요한 역할을 한다. 복소수 함수의 극한이나 무한대에서의 거동을 자연스럽게 처리할 수 있게 되며, 이를 통해 복소 함수의 다양한 특성을 분석할 수 있다.