주파수 영역에서의 복소수 표현

1. 주파수 영역과 복소수의 관계

신호 처리는 시간 영역(Time Domain)에서 주파수 영역(Frequency Domain)으로 변환함으로써 더 직관적이고 효율적인 해석을 가능하게 한다. 복소수는 주파수 영역에서 매우 중요한 역할을 한다. 푸리에 변환에서 신호는 주파수 성분으로 분해되며, 이때 복소수를 이용해 주파수 성분의 크기와 위상 정보를 동시에 표현할 수 있다.

주파수 영역에서의 신호는 일반적으로 복소수 형태로 표현된다. 신호 $x(t)$ 의 푸리에 변환 $X(f)$ 는 복소수로 주어지며, 이는 다음과 같은 형식을 가진다:

$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2\pi f t} dt$

여기서, $X(f)$ 는 주파수 $f$ 에서의 신호 성분을 나타내며, 이 성분은 실수부와 허수부로 나뉜다.

2. 복소수로 주파수 성분 표현

복소수를 사용하여 주파수 성분을 표현할 때, 이를 일반적으로 $a + jb$ 의 형식으로 나타낸다. 여기서 $a$ 는 실수부(Real Part)이고, $b$ 는 허수부(Imaginary Part)이다. 이러한 복소수 표현은 주파수 성분의 크기와 위상을 동시에 표현하는 역할을 한다.

주파수 성분을 복소수로 표현하는 이유는 주파수 신호의 위상(Phase)과 크기(Magnitude)를 별도의 실수와 허수 성분으로 나눠서 직관적으로 표현할 수 있기 때문이다. 복소수 표현은 특히 다음과 같이 유용하다:

$X(f) = a(f) + jb(f)$

여기서 $a(f)$ 는 신호의 실수 성분이고, $b(f)$ 는 신호의 허수 성분이다. 이를 복소평면에서 나타내면 주파수 성분을 직관적으로 시각화할 수 있다.

3. 모듈러스와 편각

복소수의 크기(모듈러스, $|X(f)|$ )와 위상(편각, $\arg(X(f))$ )는 주파수 성분을 분석하는 데 중요한 요소이다. 복소수 $X(f) = a(f) + jb(f)$ 의 모듈러스와 편각은 다음과 같이 계산된다:

$|X(f)| = \sqrt{a(f)^2 + b(f)^2}$

$\arg(X(f)) = \tan^{-1}\left(\frac{b(f)}{a(f)}\right)$

복소수의 모듈러스는 주파수 성분의 크기를, 편각은 해당 성분의 위상을 나타낸다. 주파수 영역에서 복소수는 신호의 각 주파수 성분에 대한 정보, 즉 해당 성분의 진폭과 위상을 효과적으로 전달하는 역할을 한다.

4. 주파수 응답 함수와 복소수

주파수 영역에서 시스템의 동작을 설명할 때, 주파수 응답 함수(Frequency Response Function)는 매우 중요한 개념이다. 이 함수는 입력 신호가 특정 주파수 성분에서 시스템을 통과할 때 그 신호가 어떻게 변하는지를 설명한다. 주파수 응답 함수는 복소수로 표현되며, 이는 주파수별로 진폭과 위상 변화를 모두 포함한다.

입력 신호 $x(t)$ 의 푸리에 변환을 통해 얻은 주파수 성분 $X(f)$ 와 출력 신호 $y(t)$ 의 푸리에 변환 $Y(f)$ 사이의 관계는 주파수 응답 함수 $H(f)$ 로 나타낼 수 있다. 이때 $H(f)$ 는 다음과 같이 정의된다:

$H(f) = \frac{Y(f)}{X(f)} = a(f) + jb(f)$

여기서 $H(f)$ 는 복소수로 표현되며, 이는 주파수 $f$ 에서의 시스템의 응답을 나타낸다. $a(f)$ 는 시스템의 주파수 응답에서의 실수부를 나타내며, 이는 진폭 비율을 반영한다. $b(f)$ 는 허수부로, 위상 차이를 나타낸다.

5. 시간 지연과 복소수 표현

주파수 영역에서 신호가 시스템을 통과하면서 발생하는 시간 지연(time delay)은 주파수 성분의 위상 변화로 나타난다. 이때 시간 지연 $\tau$ 는 주파수 $f$ 에 대해 다음과 같이 복소수로 표현된다:

$X(f) = |X(f)| e^{-j 2\pi f \tau}$

여기서 지수 함수는 복소수의 극형식으로 표현되며, 주파수 성분의 위상 변화를 설명한다. 이와 같이 시간 지연을 복소수로 표현하면 주파수에 따른 위상 변화를 보다 직관적으로 해석할 수 있다.

시간 지연에 따른 위상 변화는 주파수와 시간 지연이 클수록 더 크게 나타난다. 이는 다음 식으로 나타낼 수 있다:

$\Delta \phi(f) = -2\pi f \tau$

주파수 영역에서 복소수 표현을 사용하면 시간 지연에 따른 위상 변화와 진폭 변화를 동시에 표현할 수 있다.

6. 복소수와 필터 설계

주파수 영역에서의 필터 설계는 필터가 특정 주파수 성분을 얼마나 감쇠하거나 증폭하는지를 분석하는 과정이다. 이 과정에서 복소수는 필터의 주파수 응답을 나타내는 데 중요한 역할을 한다.

필터의 전달 함수 $H(f)$ 는 주파수에 따른 필터의 응답을 나타내며, 복소수로 표현된다. $H(f) = a(f) + jb(f)$ 는 필터가 주파수 성분 $f$ 에서 신호에 미치는 영향을 나타내며, 여기서:

$a(f)$ : 실수부로, 주파수 $f$ 에서 필터가 신호의 진폭에 미치는 영향을 나타낸다.
$b(f)$ : 허수부로, 주파수 $f$ 에서 필터가 신호의 위상에 미치는 영향을 나타낸다.

필터의 주파수 응답은 복소평면에서 그래프로 나타낼 수 있으며, 이때 보드 플롯(Bode Plot)이나 니콜스 차트(Nichols Chart) 등을 활용하여 필터의 성능을 시각적으로 평가할 수 있다. 필터 설계에서 가장 중요한 요소 중 하나는 필터의 차단 주파수(Cutoff Frequency)이다. 차단 주파수는 필터가 특정 주파수 이상에서 신호를 감쇠시키기 시작하는 주파수로, 복소수 응답을 통해 차단 주파수에서의 필터 성능을 분석할 수 있다.

7. 위상과 진폭의 해석

주파수 응답 함수 $H(f) = a(f) + jb(f)$ 에서 필터의 위상과 진폭은 다음과 같이 해석된다:

진폭 응답(Magnitude Response): 필터가 특정 주파수 성분에서 신호의 크기를 얼마나 줄이거나 늘리는지를 나타낸다. 이는 복소수의 모듈러스로 표현되며, 다음과 같이 계산된다:

$|H(f)| = \sqrt{a(f)^2 + b(f)^2}$

위상 응답(Phase Response): 필터가 특정 주파수 성분에서 신호의 위상을 어떻게 변경하는지를 나타낸다. 이는 복소수의 편각으로 표현되며, 다음과 같이 계산된다:

$\arg(H(f)) = \tan^{-1}\left(\frac{b(f)}{a(f)}\right)$

필터의 진폭 응답은 필터가 주파수 성분의 크기를 얼마나 증폭하거나 감쇠시키는지를 결정하며, 위상 응답은 필터가 주파수 성분의 위상을 얼마나 변화시키는지를 결정한다.