복소수 행렬의 고유값과 고유벡터

고유값 문제의 정의

복소수 행렬의 고유값 문제는 다음과 같이 정의된다. 주어진 복소수 행렬 $\mathbf{A}$ 에 대해, 고유값 $\lambda$ 와 고유벡터 $\mathbf{v}$ 는 다음 식을 만족하는 $\lambda$ 와 $\mathbf{v}$ 를 말한다.

$\mathbf{A} \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$

여기서 $\mathbf{A}$ 는 복소수 성분을 가진 $n \times n$ 행렬이고, $\mathbf{v}$ 는 $n$ 차원 복소수 벡터이며, $\lambda$ 는 복소수 스칼라 값이다. 고유벡터 $\mathbf{v}$ 는 영벡터가 아니며, 고유값 $\lambda$ 는 $\mathbf{A}$ 와 관련된 스칼라 값이다.

복소수 행렬의 특성 방정식

복소수 행렬 $\mathbf{A}$ 의 고유값을 구하기 위해서는 다음과 같은 특성 방정식을 이용한다.

$\det (\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0$

여기서 $\det$ 는 행렬의 행렬식을 의미하고, $\mathbf{I}$ 는 단위 행렬을 나타낸다. 이 특성 방정식을 풀어 $\lambda$ 값을 구할 수 있으며, 이 값이 고유값이 된다. 고유값 $\lambda$ 는 복소수일 수 있으며, 그에 따라 고유벡터도 복소수 성분을 가질 수 있다.

복소수 행렬의 예시

복소수 행렬 $\mathbf{A}$ 가 다음과 같이 주어진다고 가정하자.

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a + ib & b - ia \\ b + ia & a - ib \end{pmatrix}$

여기서 $a, b$ 는 실수이고, $i$ 는 허수 단위이다. 이 행렬에 대해 특성 방정식을 세우면 다음과 같다.

$\det (\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = \det \begin{pmatrix} (a + ib) - \lambda & (b - ia) \\ (b + ia) & (a - ib) - \lambda \end{pmatrix} = 0$

이 행렬식을 계산하면 $\lambda$ 에 대한 2차 방정식을 얻게 되며, 이를 풀면 $\lambda$ 값이 도출된다.

고유값 계산

위에서 구한 특성 방정식을 풀면 다음과 같은 형태의 2차 방정식을 얻게 된다.

$\lambda^2 - 2a \lambda + (a^2 + b^2) = 0$

이 방정식은 표준적인 이차 방정식의 형태를 가지므로, 근의 공식을 사용하여 고유값 $\lambda$ 를 구할 수 있다. 근의 공식은 다음과 같다.

$\lambda = \frac{-(-2a) \pm \sqrt{(-2a)^2 - 4(1)(a^2 + b^2)}}{2(1)}$

이를 정리하면, 고유값 $\lambda$ 는 다음과 같이 두 개로 나뉜다.

$\lambda_1 = a + b$

$\lambda_2 = a - b$

따라서 이 복소수 행렬 $\mathbf{A}$ 의 고유값은 $\lambda_1 = a + b$ , $\lambda_2 = a - b$ 이다.

고유벡터 계산

고유값을 구한 후에는 각 고유값에 해당하는 고유벡터 $\mathbf{v}$ 를 구해야 한다. 고유값 $\lambda_1$ 에 대한 고유벡터 $\mathbf{v_1}$ 는 다음 식을 만족하는 벡터이다.

$(\mathbf{A} - \lambda_1 \mathbf{I}) \mathbf{v_1} = 0$

복소수 행렬 $\mathbf{A}$ 에 대해 $\lambda_1 = a + b$ 를 대입하면, 다음과 같은 연립 방정식을 얻게 된다.

$\begin{pmatrix} (a + ib) - (a + b) & (b - ia) \\ (b + ia) & (a - ib) - (a + b) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

이 연립 방정식을 풀어 $x_1$ , $x_2$ 값을 구하면, 고유벡터 $\mathbf{v_1}$ 을 구할 수 있다.

고유벡터 계산 (계속)

이제 고유값 $\lambda_1 = a + b$ 에 대해, 행렬 방정식을 세워서 고유벡터 $\mathbf{v_1}$ 을 구한다. 먼저 $\mathbf{A} - \lambda_1 \mathbf{I}$ 을 계산하면,

$\mathbf{A} - \lambda_1 \mathbf{I} = \begin{pmatrix} (a + ib) - (a + b) & (b - ia) \\ (b + ia) & (a - ib) - (a + b) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ib - b & b - ia \\ b + ia & -ib - b \end{pmatrix}$

따라서 고유벡터 $\mathbf{v_1}$ 에 대한 방정식은 다음과 같이 주어진다.

$\begin{pmatrix} ib - b & b - ia \\ b + ia & -ib - b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

이 방정식은 두 개의 연립 방정식으로 나눌 수 있다.

$(ib - b)x_1 + (b - ia)x_2 = 0$

$(b + ia)x_1 + (-ib - b)x_2 = 0$

이 연립 방정식을 풀어 $x_1$ , $x_2$ 에 대한 관계식을 구하면, 고유벡터 $\mathbf{v_1}$ 을 다음과 같이 구할 수 있다.

$\mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{b - ia}{b} \end{pmatrix}$

두 번째 고유값에 대한 고유벡터

마찬가지로, 고유값 $\lambda_2 = a - b$ 에 대해 고유벡터 $\mathbf{v_2}$ 를 구한다. $\lambda_2$ 에 대한 행렬 방정식은 다음과 같다.

$(\mathbf{A} - \lambda_2 \mathbf{I}) \mathbf{v_2} = 0$

이를 전개하면, $\mathbf{v_2}$ 에 대한 방정식은 다음과 같다.

$\begin{pmatrix} (a + ib) - (a - b) & (b - ia) \\ (b + ia) & (a - ib) - (a - b) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

이 방정식을 풀어 고유벡터 $\mathbf{v_2}$ 를 구하면,

$\mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{b + ia}{b} \end{pmatrix}$

따라서 $\mathbf{A}$ 의 고유벡터는 $\mathbf{v_1}$ 과 $\mathbf{v_2}$ 가 된다.