신호 처리에서의 복소수

1. 복소수와 신호 표현

신호 처리에서 복소수는 주로 주파수 도메인에서 신호를 표현하는 데 사용된다. 시간 도메인의 신호를 주파수 도메인으로 변환할 때, 실수 신호만으로는 효과적인 표현이 불가능한 경우가 많기 때문에 복소수를 활용하게 된다. 복소수를 이용하면 주파수 성분과 위상 정보를 효율적으로 표현할 수 있다.

신호는 보통 다음과 같이 복소수 형태로 표현된다:

$z(t) = a(t) + ib(t)$

여기서 $z(t)$ 는 시간 $t$ 에서의 복소수 신호, $a(t)$ 는 실수부, $b(t)$ 는 허수부이다. 실수부는 신호의 진폭(크기) 정보를 제공하며, 허수부는 신호의 위상 정보를 나타낸다.

2. 복소수로 주파수 신호 분석

푸리에 변환과 같은 기법을 사용할 때, 복소수를 활용하여 시간 도메인의 신호를 주파수 도메인에서 분석할 수 있다. 시간 신호가 복소수로 변환될 때, 주파수 성분은 다음과 같은 식으로 표현된다:

$\mathbf{Z}(f) = \int_{-\infty}^{\infty} z(t) e^{-i 2 \pi f t} \, dt$

여기서 $\mathbf{Z}(f)$ 는 주파수 $f$ 에서의 복소수 신호, $z(t)$ 는 시간 도메인에서의 신호이다. 이때 실수부는 주파수 성분의 크기, 허수부는 위상을 나타낸다.

푸리에 변환의 결과는 실수부와 허수부로 분리되어, 각각의 주파수 성분을 해석할 수 있다.

3. 복소 신호의 위상과 진폭

복소수 신호의 중요한 두 가지 요소는 진폭과 위상이다. 복소수 $z(t) = a(t) + i b(t)$ 에서 진폭과 위상은 다음과 같이 구할 수 있다:

진폭 $|z(t)|$ :

$|z(t)| = \sqrt{a(t)^2 + b(t)^2}$

이는 신호의 에너지 또는 크기를 나타낸다. 진폭은 신호의 강도를 의미하며, 주파수 분석에서 각 주파수 성분의 기여도를 평가하는 데 중요하다.

위상 $\phi(t)$ :

$\phi(t) = \text{atan2}(b(t), a(t))$

위상은 신호의 시간적 위치에 대한 정보로, 위상 차이를 통해 여러 신호의 동기화를 파악할 수 있다.

복소수의 극형식을 통해 이러한 진폭과 위상 정보를 직접적으로 표현할 수 있다. 신호는 다음과 같은 극형식으로 표현된다:

$z(t) = |z(t)| e^{i \phi(t)}$

이 표현은 신호 처리에서 매우 유용하며, 특히 주파수 도메인에서 신호의 분석 및 처리를 쉽게 만들어준다.

4. 신호 처리에서의 복소수 연산

신호 처리 과정에서 복소수 연산은 필수적이다. 예를 들어, 두 개의 신호를 곱하는 경우 복소수 곱셈을 통해 진폭과 위상의 변화를 동시에 고려할 수 있다. 두 복소수 신호 $z_1(t) = a_1(t) + i b_1(t)$ , $z_2(t) = a_2(t) + i b_2(t)$ 의 곱은 다음과 같이 계산된다:

$z_1(t) \cdot z_2(t) = (a_1(t) + i b_1(t))(a_2(t) + i b_2(t)) = (a_1(t) a_2(t) - b_1(t) b_2(t)) + i (a_1(t) b_2(t) + b_1(t) a_2(t))$

이 식을 통해 두 신호의 실수부와 허수부를 계산할 수 있으며, 이는 신호 합성 또는 필터링에서 매우 중요한 역할을 한다.

5. 복소수 필터 설계

신호 처리에서 필터는 불필요한 주파수 성분을 제거하거나 특정 주파수를 강조하기 위해 사용된다. 이러한 필터는 복소수를 사용하여 설계할 수 있다. 예를 들어, 저역통과 필터(Low-pass filter)는 다음과 같은 복소수 전달 함수로 표현된다:

$H(f) = \frac{1}{1 + i \frac{f}{f_c}}$

여기서 $f_c$ 는 컷오프 주파수이다. 이 필터는 주파수 $f$ 가 $f_c$ 보다 작은 경우 신호를 통과시키고, 그보다 큰 주파수는 차단한다.

6. 복소수로 신호의 변조와 복조

신호 처리에서 변조와 복조는 복소수를 통해 매우 효율적으로 구현된다. 변조는 신호의 진폭, 주파수, 또는 위상을 조절하여 다른 신호로 전달하는 방법이다. 복소수는 특히 진폭 변조(AM), 주파수 변조(FM), 위상 변조(PM)와 같은 방식에서 중요한 역할을 한다.

진폭 변조(AM): 변조 신호 $z(t)$ 는 보통 주파수 성분 $f_c$ 에 따라 다음과 같이 변조된다.

$z_{\text{AM}}(t) = \left( 1 + a(t) \right) \cdot \cos(2 \pi f_c t)$

여기서 $a(t)$ 는 변조 신호, $f_c$ 는 반송파 주파수이다. 복소수를 사용하여 변조 신호를 극형식으로 표현할 수 있으며, 이를 통해 진폭 변조 신호의 주파수 성분과 위상을 보다 쉽게 해석할 수 있다.

주파수 변조(FM): 주파수 변조는 신호의 주파수를 시간에 따라 변경하여 정보를 전달하는 방식이다. 변조된 신호는 다음과 같은 형태를 갖는다:

$z_{\text{FM}}(t) = A \cdot \cos\left(2 \pi f_c t + k_f \cdot a(t)\right)$

여기서 $A$ 는 진폭, $k_f$ 는 주파수 변조 지수이다. 복소수를 사용하면 주파수 변조된 신호의 위상 변화 및 진폭 변화를 쉽게 다룰 수 있다.

위상 변조(PM): 위상 변조는 신호의 위상을 시간에 따라 변동시키는 방식이다. 변조된 신호는 다음과 같이 표현된다:

$z_{\text{PM}}(t) = A \cdot \cos\left(2 \pi f_c t + k_p \cdot a(t)\right)$

여기서 $k_p$ 는 위상 변조 지수이다. 복소수를 통해 위상 변조된 신호의 위상 변화와 주파수 성분을 쉽게 분석할 수 있다.

7. 복소수 FFT(Fast Fourier Transform)와 신호 처리

복소수를 활용한 FFT(고속 푸리에 변환)는 신호 처리에서 매우 중요한 도구이다. FFT를 사용하면 시간 도메인의 신호를 주파수 도메인으로 빠르게 변환할 수 있다. FFT는 푸리에 변환을 빠르게 계산하는 알고리즘으로, 신호의 주파수 성분을 분석하는 데 널리 사용된다.

복소수 신호 $z(t)$ 에 대한 FFT는 다음과 같이 표현된다:

$\mathbf{Z}(k) = \sum_{n=0}^{N-1} z(n) \cdot e^{-i 2 \pi k n / N}$

여기서 $N$ 은 샘플의 총 개수, $k$ 는 주파수 인덱스이다. FFT를 통해 각 주파수 성분의 진폭과 위상 정보를 추출할 수 있으며, 이는 신호 분석 및 필터링에 중요한 역할을 한다.

8. 복소수 필터 응용

복소수 필터는 신호 처리에서 필수적인 도구이다. 예를 들어, 복소수 FIR(Finite Impulse Response) 필터는 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다:

$y(n) = \sum_{k=0}^{M-1} h(k) \cdot z(n-k)$

여기서 $h(k)$ 는 필터 계수, $z(n)$ 은 입력 신호이다. 복소수 필터는 신호의 특정 주파수 성분을 강조하거나 억제하는 데 사용되며, 신호의 주파수 분석 및 처리를 효율적으로 수행할 수 있다.