함수와 복소수 - 실험 도서관

복소수의 정의

복소수는 일반적으로 $z = a + bi$ 로 표현된다. 여기서 $a$ 는 실수부, $b$ 는 허수부이며, $i$ 는 $i^2 = -1$ 을 만족하는 허수 단위이다. 복소수는 실수축과 허수축을 가진 2차원 복소평면에서 하나의 점으로 표현할 수 있다. 이를 통해 함수의 개념을 복소수로 확장할 수 있다.

복소수 함수의 정의

복소수 함수를 정의하려면 먼저 실수 함수에서의 함수 개념을 복소수로 확장해야 한다. 복소수 함수는 일반적으로 다음과 같이 정의된다:

$f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$

여기서 $z = x + iy$ , $u(x, y)$ 와 $v(x, y)$ 는 실수값을 가지는 함수이다. 즉, 복소수 함수 $f(z)$ 는 두 개의 실수 함수로 분리하여 표현할 수 있다. 이때, $u(x, y)$ 는 실수부, $v(x, y)$ 는 허수부를 나타낸다.

예시

복소수 함수의 간단한 예시로, 다음과 같은 함수 $f(z)$ 를 고려해본다:

$f(z) = z^2 = (x + iy)^2$

이를 전개하면,

$f(z) = (x^2 - y^2) + 2ixy$

즉, 이 함수는 $u(x, y) = x^2 - y^2$ 와 $v(x, y) = 2xy$ 로 표현할 수 있다. 여기서도 마찬가지로, $u(x, y)$ 는 실수부, $v(x, y)$ 는 허수부이다.

복소수 함수의 성질

복소수 함수는 실수 함수와는 다른 몇 가지 독특한 성질을 갖는다. 복소수 함수가 해석 가능하려면 코시-리만 방정식을 만족해야 한다. 코시-리만 방정식은 다음과 같이 주어진다:

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

이 방정식을 만족하는 복소수 함수는 해석 함수라고 불리며, 이러한 함수는 매우 중요한 수학적 성질을 가지고 있다.

복소수 함수의 기하학적 해석

복소수 함수는 복소평면 상에서의 변환을 나타낼 수 있다. 예를 들어, 복소수 함수 $f(z) = z^2$ 는 복소평면에서의 회전과 크기 변환을 함께 나타낸다. 이는 복소평면 상의 점을 다른 위치로 이동시키는 역할을 한다.

복소수 함수의 연속성

복소수 함수가 연속이라는 것은 실수 함수에서의 연속성과 유사하지만, 복소수에서는 두 개의 차원(실수부와 허수부)이 모두 연속성을 가져야 한다. 즉, 복소수 함수 $f(z)$ 가 $z_0$ 에서 연속이려면 다음이 성립해야 한다:

$\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)$

이는 실수부와 허수부 각각에 대해 성립해야 하므로, $u(x, y)$ 와 $v(x, y)$ 가 각각 연속임을 의미한다.

복소수 함수의 미분

복소수 함수에서 미분의 개념은 실수 함수에서와 매우 유사하지만, 중요한 차이점이 있다. 실수 함수의 미분은 하나의 방향에서만 정의되지만, 복소수 함수의 미분은 복소평면의 모든 방향에서 정의되어야 한다. 복소수 함수 $f(z)$ 가 $z_0$ 에서 미분 가능하려면 다음 극한이 존재해야 한다:

$f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}$

이때, 복소수에서의 미분 가능성은 단순히 극한이 존재하는 것뿐만 아니라 모든 방향에서 동일한 값을 가져야 한다.

코시-리만 방정식과 해석 함수

복소수 함수가 해석 가능하다는 것은 미분 가능성을 의미하며, 이는 코시-리만 방정식에 의해 보장된다. 코시-리만 방정식은 복소수 함수가 미분 가능하기 위한 필수 조건이다. 즉, 복소수 함수가 특정 점에서 해석 가능하려면 해당 점에서 코시-리만 방정식을 만족해야 한다.

코시-리만 방정식을 다시 상기하면:

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

이 방정식은 함수 $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ 가 실수부와 허수부로 나뉠 때 이 둘이 서로 밀접한 관계를 가짐을 보여준다. 이러한 조건을 만족하면, 복소수 함수는 미분 가능하며, 더 나아가 해석 함수가 된다.

예제: 복소수 함수 $f(z) = z^2$

복소수 함수 $f(z) = z^2$ 를 미분해봅시다. 먼저, $z = x + iy$ 로 두고 계산하면,

$f(z) = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$

이제 미분을 적용하면, 실수부 $u(x, y) = x^2 - y^2$ 와 허수부 $v(x, y) = 2xy$ 의 편미분을 계산할 수 있다:

$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 2x$

$\frac{\partial u}{\partial y} = -2y, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = 2y$

코시-리만 방정식이 성립하므로, $f(z) = z^2$ 는 복소해석 함수이다.

복소수 함수의 적분

복소수 함수의 적분은 실수 함수의 적분과 유사하지만, 복소평면 상의 경로에 따라 적분이 이루어진다. 복소수 함수의 적분은 주로 경로 적분 형태로 다루어지며, 복소수 적분의 가장 중요한 정리 중 하나는 코시 적분 정리이다. 코시 적분 정리는 복소해석 함수의 경로 적분에 대한 매우 강력한 결과를 제공한다.

복소수 함수의 적분은 다음과 같이 정의된다:

$\int_{\gamma} f(z) \, dz$

여기서 $\gamma$ 는 복소평면 상의 경로를 나타낸다. 복소수 적분은 경로의 모양에 따라 다를 수 있으며, 이는 실수 함수 적분과는 매우 다른 성질이다.