드무아브르의 정리

드무아브르의 정리는 복소수를 극형식으로 표현할 때 그 거듭제곱을 간단하게 구할 수 있는 매우 중요한 정리이다. 이 정리는 복소수의 모듈러스와 편각을 사용하여 복소수의 거듭제곱을 계산하는 데 매우 유용하며, 특히 복소수의 여러 성질을 이해하는 데도 중요한 역할을 한다.

복소수를 일반적으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

$z = a + bi$

여기서 $a$ 는 실수부, $b$ 는 허수부이다. 이 복소수 $z$ 를 극형식으로 변환하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

$z = r (\cos \theta + i \sin \theta)$

여기서 $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ 는 복소수의 절댓값(모듈러스), $\theta = \arg(z)$ 는 복소수의 편각이다.

드무아브르의 정리는 복소수의 거듭제곱을 다음과 같이 구하는 정리이다.

$z^n = \left( r (\cos \theta + i \sin \theta) \right)^n$

드무아브르의 정리에 따르면, 이는 다음과 같이 간단하게 표현된다.

$z^n = r^n \left( \cos (n \theta) + i \sin (n \theta) \right)$

따라서, 복소수의 거듭제곱을 계산할 때는 모듈러스를 $n$ 제곱하고, 편각을 $n$ 배하여 계산할 수 있다. 이 공식은 복소수의 고차 거듭제곱을 극형식으로 손쉽게 계산할 수 있는 도구를 제공한다.

복소수 $z = 1 + i$ 를 생각해 보자. 이를 극형식으로 변환하면:

$z = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$

드무아브르의 정리를 사용하여 이 복소수의 제곱을 계산하면:

$z^2 = \left( \sqrt{2} \right)^2 \left( \cos \left( 2 \cdot \frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{4} \right) \right)$

계산을 이어가면:

$z^2 = 2 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right)$

이를 다시 직교 좌표계로 변환하면:

$z^2 = 2i$

이와 같이, 드무아브르의 정리를 사용하면 복소수의 거듭제곱을 쉽게 계산할 수 있다.

드무아브르의 정리는 단순히 복소수의 거듭제곱을 구하는 것뿐만 아니라, 복소수의 거듭제곱근을 구하는 데도 확장될 수 있다. 이를 통해 복소수의 여러 성질을 더 깊이 이해할 수 있다.

복소수 $z = r (\cos \theta + i \sin \theta)$ 의 $n$ 제곱근을 구하고자 한다면, 다음과 같이 표현된다.

$z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} \left( \cos \frac{\theta + 2k\pi}{n} + i \sin \frac{\theta + 2k\pi}{n} \right)$

여기서 $k$ 는 $0$ 부터 $n-1$ 까지의 정수이다. 이 식은 복소수의 $n$ 개의 서로 다른 제곱근을 제공하며, 복소평면 상에서 동일한 모듈러스와 서로 다른 각도로 분포된 복소수를 나타낸다.

복소수 $z = 1 + i$ 의 세제곱근을 구해보겠다. 먼저 $z$ 를 극형식으로 나타내면:

$z = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$

드무아브르의 정리를 사용하여 $z$ 의 세제곱근을 구하면:

$z^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2} \left( \cos \frac{\frac{\pi}{4} + 2k\pi}{3} + i \sin \frac{\frac{\pi}{4} + 2k\pi}{3} \right), \quad k = 0, 1, 2$

따라서 $z$ 의 세 가지 서로 다른 세제곱근은 각각 다음과 같다.

$z_1 = \sqrt[3]{2} \left( \cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12} \right)$

$z_2 = \sqrt[3]{2} \left( \cos \frac{5\pi}{12} + i \sin \frac{5\pi}{12} \right)$

$z_3 = \sqrt[3]{2} \left( \cos \frac{9\pi}{12} + i \sin \frac{9\pi}{12} \right)$

이와 같이, 드무아브르의 정리를 확장하면 복소수의 여러 개의 거듭제곱근을 구할 수 있다. 이는 복소평면 상에서 대칭적으로 분포된 복소수를 보여주며, 복소수의 대칭성과 반복성을 이해하는 데 중요한 도구이다.