복소수의 변환은 기하학적 표현에서 매우 중요한 역할을 한다. 특히 복소수는 실수부와 허수부로 나누어지며, 이를 기하학적으로 해석할 때 평면 상의 점으로 표현할 수 있다. 변환 과정은 주로 회전과 확대를 다루며, 이는 복소수의 실용적인 응용에 중요한 기초가 된다.

복소수의 일반적 표현

복소수 $z$는 일반적으로 다음과 같이 표현된다:

여기서 $a$는 실수부, $b$는 허수부, $i$는 허수 단위이다. 이때 복소수는 복소평면 상에서 $(a, b)$라는 점으로도 해석될 수 있다. 이를 좌표 형식으로 나타내면:

회전 변환

복소수의 회전 변환은 매우 중요한 개념이다. 복소수 $z = a + bi$가 복소평면에서 원점 중심으로 $\theta$만큼 회전한다고 할 때, 이 회전 변환은 다음과 같은 복소수 곱셈으로 표현된다:

여기서 $e^{i\theta}$는 오일러의 공식을 통해 복소수의 회전을 나타내며, 이는 극좌표에서 다음과 같이 정의된다:

따라서 복소수의 회전 변환은 다음과 같은 수식으로 표현된다:

이 수식을 전개하면 실수부와 허수부가 각각 다음과 같이 표현된다:

즉, $z$가 $\theta$만큼 회전한 후의 새로운 복소수 $z'$의 실수부와 허수부는 각각 $a\cos\theta - b\sin\theta$와 $a\sin\theta + b\cos\theta$로 변환된다.

확대 변환

복소수의 확대 변환은 복소수의 크기를 변화시키는 과정이다. 복소수 $z = a + bi$가 실수 배율 $r$에 의해 확대될 때, 이 변환은 다음과 같이 표현된다:

즉, 이는 복소수 $z$의 실수부와 허수부를 각각 $r$배 확장하는 변환을 의미한다:

따라서 복소수의 실수부와 허수부는 각각 $ra$와 $rb$로 확장된다.

대칭 변환

복소수의 대칭 변환은 주로 복소평면에서 특정 축에 대한 반사 또는 대칭을 의미한다. 이러한 변환은 복소수의 켤레복소수(conjugate)를 통해 구현할 수 있다. 복소수 $z = a + bi$의 켤레복소수는 다음과 같이 정의된다:

이는 복소수의 허수부에 음수를 곱한 것으로, 복소평면 상에서는 실수 축에 대해 대칭적인 점을 나타낸다. 이를 수학적으로 표현하면 다음과 같다:

즉, 대칭 변환은 복소수 $z$를 실수 축에 대해 반사한 결과로 해석할 수 있다.

병진 변환

병진 변환은 복소수를 일정한 방향으로 평행 이동시키는 과정을 의미한다. 복소수 $z = a + bi$가 또 다른 복소수 $c + di$만큼 이동한다고 할 때, 이는 단순히 복소수의 덧셈으로 표현된다:

즉, 실수부와 허수부가 각각 $c$와 $d$만큼 증가하여 새로운 복소수 $z' = (a + c) + (b + d)i$를 얻을 수 있다.

복소수 변환의 행렬 표현

복소수 변환은 행렬로도 표현할 수 있다. 예를 들어, 복소수의 회전 변환은 다음과 같은 행렬 표현으로 바꿀 수 있다:

이는 $\mathbf{z'}$가 회전 변환 후에 새로운 좌표로 바뀌는 과정을 행렬 연산으로 나타낸 것이다. 마찬가지로, 확대 변환은 다음과 같이 행렬로 표현될 수 있다:

이와 같은 변환 행렬을 이용하면 복소수의 기하학적 변환을 보다 명확하게 이해할 수 있다. 다양한 변환이 복소수의 실수부와 허수부에 미치는 영향을 직관적으로 파악할 수 있으며, 복소평면에서 복소수의 움직임을 시각적으로 해석하는 데 유용하다.