극좌표와 복소수의 관계

복소수는 일반적으로 다음과 같이 표현된다.

z = a + bi

여기서 a는 실수부(real part), b는 허수부(imaginary part), 그리고 i는 허수 단위로, i^2 = -1의 성질을 갖는다. 이 복소수를 극좌표계로 표현하면, 복소평면 상에서의 점으로 생각할 수 있다. 즉, 복소수 z는 평면상의 점 (a, b)로 표현되며, 이 점은 극좌표계를 사용하여 다음과 같은 형식으로 나타낼 수 있다.

극형식의 정의

복소수 z = a + bi를 극형식으로 변환하면, 극좌표계에서는 반지름 r과 각도 \theta를 사용하여 표현할 수 있다. 이때,

r = \sqrt{a^2 + b^2}
\theta = \text{atan2}(b, a)

로 정의된다. 여기서 r은 복소수 z의 절댓값 또는 모듈러스(modulus)라고 하며, \theta는 복소수의 편각(argument)이다. 이 극형식은 다음과 같이 표현된다.

z = r (\cos \theta + i \sin \theta)

이 식은 복소수의 극형식(polar form)을 나타낸다. 여기서, 복소수는 실수부와 허수부를 이용한 대수적 표현 대신, 크기 r과 각도 \theta로 복소수의 위치를 정의한다.

오일러 공식

오일러 공식에 따르면, 다음과 같은 관계가 성립한다.

e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta

따라서, 복소수의 극형식은 더욱 간단하게 다음과 같이 표현할 수 있다.

z = r e^{i\theta}

이 표현은 극형식의 간결한 형태이며, 복소수의 크기와 방향을 명확하게 보여준다.

극형식에서의 곱셈과 나눗셈

복소수의 극형식은 곱셈과 나눗셈을 쉽게 계산할 수 있도록 해준다. 두 복소수 z_1과 z_2를 각각 다음과 같이 극형식으로 나타낸다고 가정하자.

z_1 = r_1 e^{i\theta_1}, \quad z_2 = r_2 e^{i\theta_2}

복소수의 곱셈

두 복소수의 곱은 다음과 같이 계산된다.

z_1 z_2 = r_1 e^{i\theta_1} \cdot r_2 e^{i\theta_2}

곱셈은 r_1과 r_2의 곱, 그리고 \theta_1과 \theta_2의 합으로 간단히 처리할 수 있다.

z_1 z_2 = (r_1 r_2) e^{i(\theta_1 + \theta_2)}

따라서, 복소수의 곱은 각 복소수의 모듈러스를 곱하고, 편각을 더한 것으로 나타낼 수 있다.

복소수의 나눗셈

마찬가지로, 나눗셈은 다음과 같이 표현된다.

\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1 e^{i\theta_1}}{r_2 e^{i\theta_2}}

이 경우, 나눗셈은 모듈러스는 나누고, 편각은 빼면 된다.

\frac{z_1}{z_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right) e^{i(\theta_1 - \theta_2)}

이처럼 극형식에서는 복소수의 곱셈과 나눗셈이 매우 간단하게 처리될 수 있다.

복소수의 켤레

복소수 z = a + bi의 켤레복소수는 \overline{z} = a - bi로 정의된다. 이를 극형식으로 표현하면, 모듈러스는 동일하지만, 편각의 부호가 반대가 된다. 즉,

\overline{z} = r e^{-i\theta}

이 성질은 복소수의 성질을 이해하는 데 중요한 도구가 된다.