복소수의 정의

복소수는 실수부와 허수부로 구성된 수로, 일반적으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기서 $a$는 실수부, $b$는 허수부, $i$는 허수 단위로 $i^2 = -1$을 만족한다.

복소수의 덧셈

두 복소수 $z_1 = a_1 + b_1i$와 $z_2 = a_2 + b_2i$가 있을 때, 복소수의 덧셈은 실수부끼리와 허수부끼리 더하는 방식으로 이루어진다. 수식으로 나타내면 다음과 같다.

이를 단순화하면,

따라서, 복소수 덧셈의 결과는 실수부는 실수부끼리, 허수부는 허수부끼리 더한 복소수가 된다.

복소수의 뺄셈

복소수의 뺄셈도 덧셈과 유사하게 실수부끼리, 허수부끼리 계산된다. 두 복소수 $z_1 = a_1 + b_1i$와 $z_2 = a_2 + b_2i$의 뺄셈은 다음과 같다.

이를 단순화하면,

따라서, 복소수 뺄셈의 결과는 실수부는 실수부끼리, 허수부는 허수부끼리 뺀 값으로 표현된다.

복소수 덧셈과 뺄셈의 기하학적 의미

복소수 덧셈과 뺄셈은 복소평면 상에서 벡터 연산과 동일하게 해석할 수 있다. 복소수를 실수부와 허수부로 표현한 좌표 $(a, b)$는 복소평면 상에서의 점이 되며, 이를 벡터로 볼 수 있다.

복소수를 벡터로 해석

복소수와 벡터의 개념은 역사적으로 다르게 발전해 왔다. 복소수는 16세기에 방정식의 해를 구하는 과정에서 수학자들에 의해 등장했으며, 벡터의 개념은 그 후에 발전된 것이다. 따라서 복소수를 벡터로 해석하는 것은 역사적으로 옳지 않지만, 현대 수학에서는 복소수의 기하학적 표현을 설명하기 위해 벡터 개념을 사용하는 것이 일반적이다.

복소수는 실수부와 허수부로 이루어진 수로, 복소평면 상에서 점이나 기하학적 변환으로 해석할 수 있다. 이후 벡터 개념이 도입되면서 복소수의 기하학적 표현이 벡터와 유사하다는 점에서 벡터처럼 다루게 되었지만, 복소수는 벡터보다 먼저 등장한 개념이다.

따라서 복소수를 설명할 때 벡터로 단순히 치환하는 것이 아니라, 복소수 자체의 기하학적 특성과 변환을 먼저 이해하고, 이후에 벡터 개념을 사용하여 복소수의 기하학적 성질을 설명하는 것이 중요하다.

복소수 덧셈의 기하학적 표현

복소수 덧셈은 두 복소수를 복소평면 상에서 벡터로 해석하여, 두 벡터를 더하는 것과 같다.

다이어그램으로 두 복소수 $z_1$과 $z_2$의 덧셈을 보여드리겠다:

이 다이어그램에서 $z_1$와 $z_2$는 벡터로 표현되며, 그 합은 두 벡터를 연결한 결과가 된다.

복소수 뺄셈의 기하학적 표현

복소수 뺄셈은 복소평면 상에서 벡터의 끝점을 원점으로부터 다른 복소수의 끝점으로 향하는 벡터로 나타낼 수 있다.

다이어그램으로 복소수 $z_1$과 $z_2$의 뺄셈을 시각화하면 다음과 같다:

여기서, $z_1$과 $z_2$의 뺄셈 결과는 두 벡터의 끝점을 연결한 벡터로 표현된다.

예시

실제 복소수 덧셈과 뺄셈을 통해 구체적인 계산을 확인해 보자. 두 복소수 $z_1 = 3 + 2i$와 $z_2 = 1 + 4i$를 예시로 들어 보겠다.

덧셈 예시:

뺄셈 예시:

이처럼 복소수의 덧셈과 뺄셈은 실수부와 허수부끼리 각각 연산하는 방식으로 처리되며, 기하학적으로는 벡터의 더하기와 빼기로 해석할 수 있다.