i의 정의

복소수 $z$는 다음과 같이 표현된다:

여기서 $a$와 $b$는 실수이며, $i$는 허수 단위이다. $i$는 다음과 같은 기본적인 성질을 갖는다:

이는 허수의 핵심적인 정의로, 모든 복소수 연산의 기초가 된다.

i의 거듭제곱

$i$의 거듭제곱은 주기적인 성질을 보이다. 다음은 $i$의 거듭제곱 결과이다:

따라서, $i$의 거듭제곱은 4주기성을 가지며, 이는 모든 거듭제곱이 $i, -1, -i, 1$ 중 하나로 표현될 수 있음을 의미한다. 이를 일반화하면 $i^n$은 다음과 같이 주어진다:

i의 성질을 이용한 복소수의 곱셈

복소수의 곱셈에서 $i$의 성질은 중요한 역할을 한다. 두 복소수 $z_1 = a_1 + b_1 i$와 $z_2 = a_2 + b_2 i$의 곱을 생각해 봅시다:

이를 전개하면:

여기서 $i^2 = -1$을 적용하면:

즉, 두 복소수의 곱셈은 다음과 같은 새로운 복소수로 표현된다:

이 식에서, 실수부는 $a_1 a_2 - b_1 b_2$, 허수부는 $a_1 b_2 + b_1 a_2$로 구성된다.

i의 성질을 이용한 복소수의 나눗셈

복소수의 나눗셈에서도 $i$의 성질이 활용된다. 두 복소수 $z_1 = a_1 + b_1 i$와 $z_2 = a_2 + b_2 i$의 나눗셈을 수행하기 위해, 복소수 $z_2$의 켤레복소수 $\overline{z_2} = a_2 - b_2 i$를 사용한다.

나눗셈은 다음과 같이 표현된다:

이때 분모에서 허수를 제거하기 위해 분자와 분모에 $\overline{z_2} = a_2 - b_2 i$를 곱한다:

분모는 다음과 같이 계산된다:

분자는 다음과 같이 전개된다:

$i^2 = -1$을 적용하면:

따라서 나눗셈의 결과는 다음과 같이 정리된다:

이는 실수부와 허수부로 나누어 표현될 수 있다:

복소수의 켤레

복소수 $z = a + b i$의 켤레복소수는 다음과 같이 정의된다:

켤레복소수는 복소수의 실수부는 그대로 유지하면서 허수부의 부호를 바꾸는 연산이다. 이 성질은 복소수의 곱셈 및 나눗셈에서 매우 유용하게 쓰이다. 예를 들어, 복소수 $z$와 그 켤레복소수 $\overline{z}$를 곱하면 다음과 같은 실수가 된다:

즉, 복소수와 그 켤레복소수를 곱한 값은 항상 실수이며, 이는 복소수의 모듈러스 $|z|$의 제곱과 동일한다: