실수부와 허수부 - 실험 도서관

복소수의 표현

복소수는 실수와 허수의 결합으로 이루어진 수체계로, 일반적으로 복소수 $z$ 는 다음과 같은 형태로 표현된다.

$z = a + bi$

여기서, - $a$ 는 실수부 (Real part), - $b$ 는 허수부 (Imaginary part), - $i$ 는 허수 단위로, $i^2 = -1$ 을 만족하는 수이다.

복소수 $z$ 에서 $a$ 와 $b$ 는 모두 실수이며, $z$ 의 실수부와 허수부는 각각 다음과 같이 표기된다:

$\Re(z) = a, \quad \Im(z) = b$

따라서, 복소수는 실수부와 허수부로 분리하여 생각할 수 있으며, 이를 통해 복소수의 다양한 성질을 분석할 수 있다.

실수부의 역할

복소수의 실수부는 복소평면에서 수평축(실수축)에 해당한다. 복소수 $z = a + bi$ 가 복소평면에서 어떤 위치에 있느냐는 $a$ 와 $b$ 에 의해 결정되며, 이 중 실수부 $a$ 는 $z$ 가 수평축 상에서 어느 위치에 놓이는지를 나타낸다.

실수부는 다양한 연산에서 중요한 역할을 하며, 특히 복소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 등에서 실수부끼리의 연산은 결과적으로 복소수의 실수부에 영향을 미친다.

허수부의 역할

복소수의 허수부는 복소평면에서 수직축(허수축)에 해당한다. 복소수 $z = a + bi$ 에서 허수부 $b$ 는 수직축 상에서의 위치를 나타내며, $i$ 는 수직축과의 관계를 형성한다.

허수부는 복소수의 기하학적 성질에 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 복소수의 극좌표 표현에서는 허수부가 각도(편각)와 관련이 있으며, 복소수의 거듭제곱이나 제곱근을 계산할 때도 허수부의 값이 중요하게 작용한다.

실수부와 허수부의 기하학적 관계

복소수 $z = a + bi$ 는 복소평면 상에서 한 점으로 나타낼 수 있으며, 이는 $(a, b)$ 라는 좌표로 생각할 수 있다. 복소수의 실수부 $a$ 는 $x$ -축, 허수부 $b$ 는 $y$ -축을 따라 위치를 결정한다. 이 관계는 다음과 같이 요약된다:

실수부 $a$ : $x$ -축 상의 위치 (실수축)
허수부 $b$ : $y$ -축 상의 위치 (허수축)

이 기하학적 해석은 복소수를 벡터로 표현하는 데도 유용하다. 복소수는 2차원 벡터로 생각할 수 있으며, 이를 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ 로 나타낼 수 있다.

실수부와 허수부의 분리

복소수의 실수부와 허수부는 각각의 연산으로 분리되어 다룰 수 있다. 복소수 $z_1 = a_1 + b_1i$ , $z_2 = a_2 + b_2i$ 의 연산에서 실수부끼리, 허수부끼리의 연산은 독립적으로 수행된다. 예를 들어, 덧셈의 경우:

$z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i$

여기서 실수부는 $a_1 + a_2$ , 허수부는 $b_1 + b_2$ 가 된다.

복소수의 실수부와 허수부를 이용한 연산

복소수의 연산은 실수부와 허수부를 별도로 처리하여 수행된다. 이는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈에서 모두 동일하게 적용된다.

1. 덧셈과 뺄셈

복소수의 덧셈과 뺄셈은 실수부와 허수부를 각각 더하거나 빼는 방식으로 이루어진다. 예를 들어, 두 복소수 $z_1 = a_1 + b_1i$ 와 $z_2 = a_2 + b_2i$ 의 덧셈은 다음과 같이 표현된다.

$z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i$

뺄셈의 경우에도 실수부와 허수부를 각각 뺄 수 있다:

$z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i$

2. 곱셈

복소수의 곱셈은 두 수의 실수부와 허수부를 사용하여 확장된 분배법칙에 따라 계산된다. 복소수 $z_1 = a_1 + b_1i$ 와 $z_2 = a_2 + b_2i$ 의 곱셈은 다음과 같다.

$z_1 \cdot z_2 = (a_1 + b_1i)(a_2 + b_2i)$

이를 전개하면,

$z_1 \cdot z_2 = a_1a_2 + a_1b_2i + b_1a_2i + b_1b_2i^2$

여기서 $i^2 = -1$ 이므로,

$z_1 \cdot z_2 = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2)i$

따라서 곱셈의 결과는 다음과 같이 표현된다:

$\Re(z_1 \cdot z_2) = a_1a_2 - b_1b_2, \quad \Im(z_1 \cdot z_2) = a_1b_2 + b_1a_2$

3. 나눗셈

복소수의 나눗셈은 켤레복소수를 사용하여 분모의 허수부를 제거한 후 계산한다. 복소수 $z_1 = a_1 + b_1i$ 와 $z_2 = a_2 + b_2i$ 의 나눗셈은 다음과 같이 수행된다.

먼저 $z_2$ 의 켤레복소수 $\overline{z_2} = a_2 - b_2i$ 를 곱한다:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + b_1i}{a_2 + b_2i} \cdot \frac{a_2 - b_2i}{a_2 - b_2i}$

분모는 다음과 같이 계산된다:

$(a_2 + b_2i)(a_2 - b_2i) = a_2^2 + b_2^2$

따라서, 나눗셈의 결과는 다음과 같다:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a_1 + b_1i)(a_2 - b_2i)}{a_2^2 + b_2^2}$

이를 전개하면,

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + (b_1a_2 - a_1b_2)i}{a_2^2 + b_2^2}$

따라서 결과는 실수부와 허수부로 나뉘며 다음과 같이 표현된다:

$\Re\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \frac{a_1a_2 + b_1b_2}{a_2^2 + b_2^2}, \quad \Im\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \frac{b_1a_2 - a_1b_2}{a_2^2 + b_2^2}$

이와 같이 실수부와 허수부를 구분하여 복소수의 기본 연산을 수행할 수 있다.