1. 복소수의 정의

복소수는 실수(real number)와 허수(imaginary number)를 합친 수의 체계이다. 복소수는 다음과 같은 형식으로 나타낼 수 있다:

여기서 $a$는 실수부(real part), $b$는 허수부(imaginary part), $i$는 허수 단위(imaginary unit)로 정의되며, $i$는 $i^2 = -1$을 만족한다. 즉, 허수는 실수로는 표현될 수 없지만, 복소수 체계에서는 중요한 역할을 한다.

복소수 $z$는 실수부와 허수부로 구성되므로, 이 수의 기하학적 표현이나 연산에서 실수와 다르게 다루어야 하는 특징이 있다.

2. 실수부와 허수부

복소수 $z = a + bi$에서:

• $a$는 실수부이며, 이는 복소수의 실제적인 부분이다.
• $b$는 허수부이며, 이는 $i$와 결합된 허수적인 부분이다.

복소수는 두 차원의 수로, 이를 나타내기 위해 복소평면(complex plane)을 사용한다. 복소평면에서 복소수는 다음과 같이 표현된다.

위의 그림에서 $O$는 원점을 의미하며, 실수축은 수평선, 허수축은 수직선으로 나타난다. 복소수는 이러한 평면에서 실수부 $a$와 허수부 $bi$로 나타낼 수 있다.

3. 복소수의 표기법

복소수는 여러 가지 방식으로 표기할 수 있다:

• 표준형: $z = a + bi$
• 정규형: $\mathbf{z} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$

여기서 $\mathbf{z}$는 복소수의 벡터 표현을 나타낸다. 이 벡터는 복소평면에서의 위치를 나타내며, 두 개의 차원 $a$와 $b$로 구성되어 있다.

4. 복소수의 기하학적 해석

복소수는 실수부와 허수부로 이루어진 평면상의 점으로 볼 수 있으며, 이 평면을 복소평면(complex plane)이라고 한다. 복소평면에서 복소수는 좌표 $(a, b)$로 나타낼 수 있으며, 이는 다음과 같은 관계를 갖는다:

이 수는 $a$-축과 $b$-축을 사용해 복소평면에서 그래프로 표현될 수 있으며, 점 $(a, b)$는 복소수의 실수부와 허수부에 의해 결정된다.

5. 복소수의 벡터적 표현

복소수 $z = a + bi$는 기하학적으로 실수축(real axis)과 허수축(imaginary axis)으로 구분된 2차원 평면 상에서 벡터로 표현될 수 있다. 벡터로서의 복소수는 다음과 같은 형식으로 나타낼 수 있다:

이는 복소수의 실수부 $a$와 허수부 $b$를 두 축의 성분으로 분해한 결과이다. 벡터로 표현된 복소수는 수학적 연산에서 매우 중요한 역할을 하며, 복소수의 크기와 방향을 이해하는 데 기초가 된다.

6. 복소수의 크기 (모듈러스)

복소수의 크기, 즉 모듈러스(modulus)는 복소평면에서의 벡터 길이로 정의된다. 복소수 $z = a + bi$의 모듈러스는 다음과 같이 계산된다:

이는 피타고라스 정리에 의해 유도되며, 복소수의 실수부와 허수부가 이루는 직각삼각형의 대각선 길이와 같다. 모듈러스는 복소수의 크기를 나타내며, 복소평면 상에서 원점으로부터의 거리를 의미한다.

7. 복소수의 방향 (편각)

복소수의 편각(argument)은 복소평면에서 벡터가 실수축과 이루는 각도를 의미한다. 복소수 $z = a + bi$의 편각 $\theta$는 다음과 같이 정의된다:

이는 복소수의 벡터가 실수축과 이루는 각도이며, 복소수의 방향을 나타낸다. 편각은 일반적으로 라디안(radian) 단위로 측정되며, 복소수의 기하학적 해석에서 중요한 역할을 한다.

8. 복소수의 극형식

복소수는 극형식(polar form)으로도 표현될 수 있다. 복소수 $z = a + bi$는 다음과 같은 극형식으로 나타낼 수 있다:

여기서 $|z|$는 복소수의 모듈러스, $\theta$는 복소수의 편각이다. 이를 오일러 공식(Euler's formula)로 나타내면:

이 형태는 복소수의 크기와 방향을 동시에 나타내는 간결한 표현이다. 특히, 복소수의 곱셈과 나눗셈 연산에서 극형식은 매우 유용하게 사용된다.