유클리드 기하학과의 비교

유클리드 기하학의 기본 개념

유클리드 기하학은 고대 그리스 수학자 유클리드에 의해 형성된 기하학적 체계로, 직관적으로 우리가 생각하는 공간과 물체의 기하학적 속성을 다룬다. 이 기하학의 기본 전제는 다음과 같은 공리들에 기반한다:

점과 직선: 두 점을 잇는 유일한 직선이 존재한다.
평행선 공리: 주어진 직선에 대해, 직선 위에 없는 한 점을 통해 그 직선과 교차하지 않는 유일한 평행선이 존재한다.

이 두 가지 공리 외에도 유클리드 기하학은 평면과 공간에서의 길이, 각도, 면적, 부피 등의 개념을 통해 물체 간의 관계를 설명하는 여러 정리들이 존재한다.

사영기하학에서의 점과 직선

사영기하학은 유클리드 기하학과는 다르게, 길이와 각도 대신에 사영적 성질을 다룬다. 사영기하학에서는 점과 직선 사이의 관계가 다소 다르게 정의되며, 특히 무한대에 있는 점과 무한원 직선이 중요한 개념으로 등장한다.

사영기하학에서는 두 직선이 평행하다는 개념이 존재하지 않으며, 모든 두 직선은 반드시 한 점에서 교차한다고 가정한다. 유클리드 기하학에서 두 직선이 평행할 때 그 교차점이 무한원 직선 상에 있다고 해석된다.

점과 직선의 차이점

유클리드 기하학에서 직선은 끝이 없고 한 방향으로 무한히 연장된다. 반면 사영기하학에서는 무한대의 점을 포함하여 직선을 닫힌 곡선처럼 취급한다. 이로 인해 유클리드 기하학에서는 평행한 두 직선이 존재할 수 있지만, 사영기하학에서는 평행한 두 직선이 없으며 모든 직선은 언젠가 한 점에서 만나게 된다.

수학적으로, 유클리드 기하학에서 직선의 방정식은 다음과 같다:

$\mathbf{l} : ax + by + c = 0$

반면, 사영기하학에서는 동차 좌표계를 사용하여 직선을 다음과 같이 표현한다:

$\mathbf{l} : ax_1 + bx_2 + cx_3 = 0$

여기서 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3)$ 는 동차 좌표이다. 사영기하학에서의 직선 방정식은 동차 좌표계를 기반으로 하며, 유클리드 기하학에서는 볼 수 없는 무한원점이 자연스럽게 등장하게 된다.

평행선의 개념

유클리드 기하학의 가장 중요한 공리 중 하나는 바로 평행선 공리이다. 평행선 공리는 주어진 직선과 평행한 직선이 단 하나만 존재함을 설명한다. 그러나 사영기하학에서는 이 평행선 공리를 적용하지 않는다.

사영기하학에서는 두 직선이 반드시 교차해야 하며, 이 교차점이 무한대에 있는 점일 경우에 유클리드 기하학에서 평행한 두 직선이라고 말할 수 있다. 다시 말해, 평행한 두 직선은 사영기하학에서는 교차하는 직선으로 간주되며, 그 교차점은 무한원 직선 상의 한 점이다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

$\mathbf{l}_1 \cap \mathbf{l}_2 = (x_1, x_2, 0)$

이때, $x_1, x_2$ 는 유한한 값이고, $x_3 = 0$ 인 점은 무한원 직선 상에 존재하는 교차점이다.

각도와 길이의 개념

유클리드 기하학에서 각도와 길이는 기하학적 개체 간의 관계를 나타내는 중요한 척도이다. 그러나 사영기하학에서는 이 두 개념이 사라지며, 사영적 불변성이라는 새로운 개념이 등장한다. 사영기하학에서는 사영 변환에 의해 불변하는 성질만을 다루며, 이 중 가장 중요한 개념이 바로 크로스 비율이다.

크로스 비율은 네 점 사이의 사영적 관계를 나타내는 불변량이며, 유클리드 기하학에서는 정의되지 않는 개념이다. 크로스 비율에 대한 공식은 다음과 같다:

$\text{Cross ratio} = \frac{(A - B)(C - D)}{(A - D)(B - C)}$

여기서 $A, B, C, D$ 는 직선 상의 네 점을 나타낸다. 사영기하학에서의 이러한 불변성은 각도와 길이 대신 사영적 성질을 다루는 데 매우 유용하다.

무한의 개념

유클리드 기하학에서는 직선은 양방향으로 무한히 연장되며, 이러한 무한의 개념은 직선의 끝이 없다는 의미로 받아들여진다. 반면에, 사영기하학에서는 무한대라는 개념이 다르게 정의된다. 사영기하학에서의 무한대는 하나의 특정 지점으로 간주되며, 유클리드 기하학에서 직선이 끝없이 뻗어나가는 방향은 사영기하학에서는 무한원 직선 상에 위치하는 하나의 점으로 생각된다.

즉, 유클리드 기하학에서 두 직선이 평행하다고 할 때, 그 직선들은 무한원 직선 상에서 교차하게 된다. 이를 통해 사영기하학은 무한을 "끝"으로 간주하고, 직선의 모든 부분을 포함하는 보다 통합된 공간을 제공한다.

좌표계의 차이

유클리드 기하학에서는 2차원 공간에서의 점을 $(x, y)$ 로 표현한다. 그러나 사영기하학에서는 동차 좌표계를 사용하여 점을 세 가지 좌표 $(x_1, x_2, x_3)$ 로 표현하며, 이 좌표계에서는 세 번째 좌표 $x_3$ 가 중요한 역할을 한다. 동차 좌표계에서는 유클리드 기하학에서의 점이 사영 공간에서 하나의 방향으로 확장된 형태로 나타난다.

예를 들어, 유클리드 기하학에서의 점 $(x, y)$ 는 사영기하학에서 다음과 같은 동차 좌표로 표현된다:

$(x_1, x_2, x_3) = (x, y, 1)$

여기서 세 번째 좌표 $x_3$ 가 1일 때, 이는 유클리드 공간 내의 점을 의미한다. 그러나 $x_3 = 0$ 일 경우, 이 점은 무한원 직선 상에 있는 점으로 간주된다. 이러한 동차 좌표계를 사용하면 무한대의 점을 명시적으로 다룰 수 있어, 유클리드 기하학에서 다룰 수 없는 사영적 개념들을 자연스럽게 포함하게 된다.

기하학적 불변성

유클리드 기하학에서 중요한 불변량으로는 거리와 각도가 있다. 두 점 사이의 거리는 다음과 같이 계산된다:

$d(\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

또한, 두 직선 사이의 각도는 두 벡터 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2$ 의 내적을 통해 계산된다:

$\cos\theta = \frac{\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2}{|\mathbf{v}_1||\mathbf{v}_2|}$

반면, 사영기하학에서는 거리가 의미를 갖지 않으며, 대신 사영 변환에 의해 불변인 성질들을 다룬다. 예를 들어, 크로스 비율은 사영 변환에 의해 보존되는 대표적인 불변량으로, 사영기하학에서 매우 중요한 역할을 한다. 크로스 비율은 유클리드 기하학에서는 의미가 없으며, 오직 사영적 맥락에서만 정의된다.

사영기하학에서 중요한 불변량을 다룰 때는, 이러한 불변성의 개념을 이해하는 것이 필수적이다. 유클리드 기하학에서 중요했던 거리나 각도는 사영적 변환을 통해 변할 수 있지만, 크로스 비율과 같은 불변량은 사영적 변환에서도 유지된다.