QR 분해는 수치선형대수학에서 매우 중요한 기법이지만, 몇 가지 한계와 문제점이 존재한다. 이 장에서는 QR 분해의 주요 한계점과 이러한 한계를 극복하기 위한 해결 전략들을 논의한다.

계산 복잡도

QR 분해는 $m \times n$ 행렬 $\mathbf{A}$에 대해 $m \geq n$일 때, 기본적으로 $O(mn^2)$의 계산 복잡도를 갖는다. 이 계산 복잡도는 작은 행렬에서는 문제가 되지 않지만, 매우 큰 행렬에 대해서는 상당한 계산 시간을 요구할 수 있다. 특히, 대규모 데이터 분석 또는 실시간 처리가 필요한 상황에서는 계산 효율성이 중요한 고려 사항이다.

문제 해결 전략:

• 블록 QR 분해: 블록 방식으로 행렬을 나누어 계산하는 방법을 사용하면 메모리 접근 패턴을 개선하여 계산 속도를 향상시킬 수 있다. 이 방법은 특히 대규모 행렬의 분해에 유리한다.

• 병렬 처리 및 분산 컴퓨팅: 고성능 컴퓨팅 환경에서는 병렬 처리 및 분산 컴퓨팅을 활용하여 계산 시간을 크게 단축할 수 있다. 예를 들어, 하우스홀더 변환을 사용하는 QR 분해는 병렬화가 가능하여, 다중 프로세서에서 계산을 병렬로 수행할 수 있다.

• 경제적 QR 분해: 경제적 QR 분해는 전체 행렬이 아닌 핵심 부분만을 이용하여 계산을 수행하는 방법으로, 불필요한 계산을 줄여 효율성을 높일 수 있다. 이 방법은 $m \gg n$인 경우 매우 유리한다.

수치적 불안정성

QR 분해의 또 다른 한계는 수치적 불안정성이다. 특히, 그람-슈미트 정규화 방법을 사용할 때 발생하는 문제점으로, 매우 작은 수치적 오차가 누적되면서 결과의 정확도가 떨어질 수 있다. 이 문제는 특히, 행렬 $\mathbf{A}$의 조건수가 클 때 두드러지게 나타난다.

문제 해결 전략:

• 수정된 그람-슈미트 방법: 원래의 그람-슈미트 방법은 수치적 불안정성을 유발할 수 있으므로, 이를 보완하기 위해 수정된 그람-슈미트 방법을 사용할 수 있다. 수정된 방법은 오차 누적을 방지하도록 설계되어, 더 안정적인 결과를 제공한다.

• 하우스홀더 변환: 하우스홀더 변환을 사용한 QR 분해는 그람-슈미트 방법에 비해 수치적으로 더 안정적이다. 하우스홀더 변환은 행렬을 반사 행렬로 변환하여 직교성을 유지하면서 안정적인 계산을 수행한다.

• 기븐스 회전: 기븐스 회전을 사용한 QR 분해는 고유의 수치적 안정성을 가지며, 특히 특정 위치의 요소를 제거할 때 유리한다. 이 방법은 연속적인 회전 행렬을 사용하여 수치적 오차를 최소화할 수 있다.

희소 행렬에서의 효율성

QR 분해는 희소 행렬에 대해서는 비효율적일 수 있다. 특히, 직접적인 계산 방식은 희소 행렬의 구조적 특성을 활용하지 못해 불필요한 계산을 많이 포함할 수 있다.

문제 해결 전략:

• Sparse QR 분해: 희소 행렬에 특화된 Sparse QR 분해 알고리즘을 사용하면, 행렬의 희소 구조를 최대한 활용하여 계산의 효율성을 높일 수 있다. 이러한 알고리즘은 비-제로 요소만을 고려하여 계산을 수행하므로, 메모리 사용량과 계산 시간을 크게 절약할 수 있다.

• 프리컨디셔닝: 희소 행렬의 QR 분해를 수행하기 전에 프리컨디셔닝을 적용하여 행렬의 상태를 개선할 수 있다. 프리컨디셔닝은 희소 행렬의 대각 우세성을 높이거나 조건수를 낮추는 방식으로, 결과의 정확도와 계산 속도를 개선할 수 있다.

비대칭 행렬과 비정규 행렬에서의 문제

QR 분해는 일반적으로 정사각 행렬이나 정규 행렬에 대해 안정적으로 작동하지만, 비대칭 행렬 또는 비정규 행렬에 대해서는 문제가 발생할 수 있다. 특히, 비정규 행렬의 경우, QR 분해를 통해 얻어진 직교 행렬 $\mathbf{Q}$의 열벡터들이 완벽한 직교성을 유지하지 못할 수 있다.

문제 해결 전략:

• SVD(특이값 분해) 사용: 비정규 행렬의 경우, QR 분해 대신 SVD를 사용하는 것이 더 안정적인 결과를 얻을 수 있는 방법이다. SVD는 모든 행렬에 대해 적용 가능하며, 수치적으로 매우 안정적이다.

• 정규화 기법 도입: 비정규 행렬의 경우, QR 분해 전 행렬을 정규화하여 문제를 완화할 수 있다. 정규화는 행렬의 열벡터들을 단위 벡터로 변환하거나, 행렬의 크기를 조정하여 직교성을 유지하는 데 도움을 줄 수 있다.

최소 제곱 문제에서의 잔차 문제

QR 분해를 사용하여 최소 제곱 문제를 해결할 때, 종종 잔차(residual)가 과도하게 커지는 문제가 발생할 수 있다. 이는 특히, 데이터의 잡음이 크거나, 모델이 데이터에 비해 지나치게 단순할 때 발생할 수 있다.

문제 해결 전략:

• 가중치 부여 및 정규화: 최소 제곱 문제에서 데이터 포인트에 가중치를 부여하거나 정규화 항을 추가하여, 잔차를 줄일 수 있다. 이는 모델이 특정 데이터 포인트에 대해 과도하게 민감하지 않도록 조정하는 역할을 한다.

• 다항식 차수 조정: QR 분해를 통해 다항식 회귀를 수행하는 경우, 다항식의 차수를 조정하여 모델의 복잡도를 변화시킬 수 있다. 차수가 너무 낮으면 과소적합이, 너무 높으면 과적합이 발생할 수 있으므로, 적절한 차수를 선택하는 것이 중요하다.

고유값 계산에서의 수렴 문제

QR 분해는 고유값 계산에 자주 사용되지만, 수렴 속도가 느리거나 수렴하지 않는 문제가 발생할 수 있다. 이는 특히 고유값의 분포가 비대칭적이거나, 행렬의 조건수가 클 때 발생할 가능성이 높다.

문제 해결 전략:

• Shift 전략: QR 알고리즘에서 시프트(shift) 전략을 도입하면 수렴 속도를 크게 개선할 수 있다. 시프트 전략은 행렬의 대각 요소에 적절한 값을 더하거나 빼는 방법으로, 고유값이 중심에 가까워지도록 하여 수렴을 촉진한다.

• 다중 시프트 기법: 단일 시프트 대신 다중 시프트(multiple shift) 기법을 사용하여, 동시에 여러 고유값에 대해 수렴을 촉진할 수 있다. 이 방법은 특히 큰 행렬에서 효과적이다.

• 프리컨디셔닝: 행렬의 고유값 계산 전에 프리컨디셔닝을 적용하면, 행렬의 조건수를 개선하여 수렴 문제를 완화할 수 있다. 프리컨디셔닝은 행렬의 특성을 변경하지 않으면서도 수치적 안정성을 높일 수 있다.

고정소수점 연산에서의 오차

QR 분해를 수행할 때, 특히 고정소수점 연산 환경에서는 오차가 누적되어 결과의 정확도가 떨어질 수 있다. 이는 정밀도가 제한된 하드웨어에서 QR 분해를 수행할 때 주로 발생한다.

문제 해결 전략:

• 고정소수점 대신 부동소수점 사용: 가능한 경우, 고정소수점 대신 부동소수점 연산을 사용하여 계산의 정밀도를 높일 수 있다. 부동소수점 연산은 더 넓은 범위의 수를 표현할 수 있으므로, 오차 누적을 줄이는 데 유리한다.

• 연산 재배치: 고정소수점 연산이 필수적인 경우, 연산 순서를 재배치하여 오차를 최소화할 수 있다. 예를 들어, 큰 수와 작은 수의 연산 순서를 조정하거나, 중간 결과를 정규화하여 오차 전파를 줄일 수 있다.

• 다중 정밀도 연산: 고정소수점 연산 환경에서 다중 정밀도 연산을 적용하여, 필요한 부분에서만 정밀도를 높이는 방식으로 오차를 관리할 수 있다. 이는 연산 자원을 효율적으로 사용하면서도 결과의 정확도를 유지할 수 있는 방법이다.