QR 알고리즘은 행렬의 고유값을 계산하는 매우 중요한 방법 중 하나이다. 이 방법은 특히 실대칭 행렬의 고유값 계산에 있어서 매우 효과적이며, 수학적 기반이 탄탄하고 안정적인 결과를 제공한다.

QR 알고리즘의 개요

QR 알고리즘은 주어진 행렬 $\mathbf{A}$의 고유값을 반복적으로 계산하는 알고리즘이다. 이 방법은 행렬 $\mathbf{A}$를 QR 분해를 통해 두 행렬 $\mathbf{Q}$와 $\mathbf{R}$로 분해하고, 이 분해 결과를 이용하여 새로운 행렬을 구성하는 과정을 반복한다. 이 반복 과정이 수렴하면, 결국 $\mathbf{A}$의 고유값을 대각 원소로 가지는 행렬이 얻어지게 된다.

QR 알고리즘의 기본 과정

QR 알고리즘의 기본 과정은 다음과 같이 요약할 수 있다:

1. 초기화: 초기 행렬 $\mathbf{A}_0$를 설정한다. 일반적으로 $\mathbf{A}_0 = \mathbf{A}$로 설정한다.

2. QR 분해: 행렬 $\mathbf{A}_k$에 대해 QR 분해를 수행하여, $\mathbf{A}_k = \mathbf{Q}_k \mathbf{R}_k$로 분해한다. 여기서 $\mathbf{Q}_k$는 직교 행렬, $\mathbf{R}_k$는 상삼각 행렬이다.

3. 갱신: 새로운 행렬 $\mathbf{A}_{k+1}$를 다음과 같이 갱신한다:

이 과정은 $\mathbf{A}_{k+1} = \mathbf{Q}_k^\top \mathbf{A}_k \mathbf{Q}_k$로도 볼 수 있으며, 이는 유사 행렬 변환에 해당한다.

1. 수렴 검사: $\mathbf{A}_k$가 대각 행렬에 충분히 가까워질 때까지 위 과정을 반복한다. 이때 대각 원소들이 $\mathbf{A}$의 고유값에 수렴하게 된다.

QR 알고리즘의 수렴 속도

QR 알고리즘의 수렴 속도는 행렬 $\mathbf{A}$의 성질에 크게 좌우된다. 특히 $\mathbf{A}$가 대칭 행렬이거나, 실수 고유값을 갖는 경우 수렴이 빠르며 안정적이다. 그렇지 않은 경우에도 QR 알고리즘은 유용하지만, 복잡한 고유값 구조를 가지는 경우 수렴 속도가 느릴 수 있다.

QR 알고리즘의 변형: 쉬프트 기법

기본 QR 알고리즘의 수렴 속도를 높이기 위해 쉬프트(shift) 기법을 적용할 수 있다. 쉬프트 기법은 각 반복 단계에서 행렬 $\mathbf{A}_k$에서 특정 스칼라 $\sigma_k$를 빼고 QR 분해를 수행한 후, 다시 $\sigma_k$를 더하는 방식이다. 이 과정을 통해 수렴 속도를 극적으로 개선할 수 있다. 쉬프트의 선택에 따라 다양한 변형이 존재하며, 대표적인 방법으로는 윌킨슨 쉬프트가 있다.

윌킨슨 쉬프트 (Wilkinson Shift)

윌킨슨 쉬프트는 QR 알고리즘에서 매우 효과적인 쉬프트 기법 중 하나로, 주로 대칭 행렬에 사용된다. 이 방법은 수렴 속도를 높이기 위해, 현재 행렬의 하위 2x2 블록의 고유값을 계산하고, 그 중 $\mathbf{A}_k$의 마지막 두 고유값에 가까운 쪽의 값을 쉬프트 값 $\sigma_k$로 선택한다. 이를 통해 QR 알고리즘의 수렴이 가속화된다.

구체적으로, $\mathbf{A}_k$의 하위 2x2 블록이 다음과 같다고 가정한다:

이 블록의 고유값은 다음과 같이 계산된다:

윌킨슨 쉬프트는 이 두 고유값 중에서 $\mathbf{A}_k$의 마지막 고유값에 더 가까운 값을 선택하여 $\sigma_k$로 사용한다. 그리고 다음과 같이 수정된 행렬로 QR 알고리즘을 수행한다:

이후, $\mathbf{A}_{k+1} = \mathbf{R}_k \mathbf{Q}_k + \sigma_k \mathbf{I}$로 업데이트한다. 이 방법은 특히 QR 알고리즘의 수렴을 크게 개선하며, 매우 작은 고유값을 다룰 때도 안정적인 계산을 가능하게 한다.

QR 알고리즘의 복소수 행렬에 대한 확장

QR 알고리즘은 복소수 행렬에도 적용될 수 있다. 복소수 행렬의 경우, 행렬 $\mathbf{A}$의 QR 분해에서 직교 행렬 $\mathbf{Q}$는 유니타리 행렬로, 상삼각 행렬 $\mathbf{R}$은 복소수 상삼각 행렬로 분해된다.

복소수 행렬 $\mathbf{A}$에 대한 QR 알고리즘은 실수 행렬의 경우와 거의 동일한 방식으로 작동한다. 다만, 쉬프트 기법을 적용할 때 복소수 고유값을 고려해야 하며, 윌킨슨 쉬프트와 같은 실수 기반의 쉬프트는 복소수 행렬에는 직접 적용할 수 없다. 이 경우에는 복소수 고유값에 적합한 다른 형태의 쉬프트 기법이 필요할 수 있다.

QR 알고리즘의 장점과 단점

QR 알고리즘은 다음과 같은 장점과 단점을 가지고 있다:

장점

• 수렴성: 대칭 행렬에 대해 매우 빠르게 수렴하며, 안정적인 고유값 계산이 가능한다.
• 일반성: 실수 및 복소수 행렬 모두에 적용 가능하며, 다양한 형태의 행렬에 대해 효과적으로 동작한다.
• 수치적 안정성: 알고리즘이 수치적으로 매우 안정적이므로, 큰 행렬에 대해서도 신뢰할 수 있는 결과를 제공한다.

단점

• 계산 복잡도: 반복 과정에서 QR 분해가 매번 필요하므로, 계산 복잡도가 높은 편이다. 특히 큰 행렬에 대해서는 효율적인 구현이 요구된다.
• 비대칭 행렬의 경우: 비대칭 행렬에 대해서는 수렴 속도가 느릴 수 있으며, 복잡한 고유값 구조를 가진 행렬에 대해서는 추가적인 기법이 필요할 수 있다.

QR 알고리즘의 계산 복잡도

QR 알고리즘의 계산 복잡도는 주요한 고려사항 중 하나이다. 일반적인 QR 분해의 계산 복잡도는 $\mathcal{O}(n^3)$이다. QR 알고리즘에서는 이 과정을 반복하게 되므로, 전체 알고리즘의 계산 복잡도는 반복 횟수에 따라 증가한다.

계산 복잡도의 분석

• 단일 QR 분해: QR 분해를 통해 행렬 $\mathbf{A}_k$를 $\mathbf{Q}_k$와 $\mathbf{R}_k$로 분해하는 데는 $\mathcal{O}(n^3)$의 시간이 소요된다.
• 전체 알고리즘: QR 알고리즘이 수렴하기까지 평균적으로 $k$번의 반복이 필요하다고 하면, 전체 계산 복잡도는 $\mathcal{O}(k \cdot n^3)$가 된다. 여기서 $k$는 행렬의 크기와 구조에 따라 달라질 수 있다.

QR 알고리즘의 반복 횟수 $k$는 일반적으로 $n$과 비슷한 크기일 수 있으며, 이 경우 전체 알고리즘의 복잡도는 $\mathcal{O}(n^4)$에 가깝게 된다. 따라서, 큰 행렬에 대해서는 계산 복잡도가 매우 높아질 수 있다.

QR 알고리즘의 수치적 안정성

QR 알고리즘은 수치적 안정성이 뛰어난 방법으로 평가받는다. 이는 직교 행렬 $\mathbf{Q}$와 상삼각 행렬 $\mathbf{R}$로의 분해 과정에서 발생하는 오차가 비교적 작기 때문이다.

• 수치적 안정성: QR 알고리즘에서 직교성의 유지와 상삼각 행렬의 특성으로 인해, 반복 과정에서 발생하는 수치적 오류가 최소화된다. 이로 인해 결과적으로 얻어지는 고유값과 고유벡터는 원래 행렬의 정확한 값을 잘 근사한다.

수치적 안정성은 특히 대규모 행렬이나 조건수가 나쁜 행렬을 다룰 때 중요하다. QR 알고리즘은 이러한 상황에서도 신뢰할 수 있는 결과를 제공하기 때문에 널리 사용된다.

대규모 행렬에 대한 QR 알고리즘의 효율적 적용

대규모 행렬에 대해 QR 알고리즘을 적용할 때, 계산 복잡도와 메모리 사용량을 줄이기 위해 다양한 최적화 기법이 사용된다. 그 중 몇 가지를 소개하면 다음과 같다:

• 블록 QR 분해: 큰 행렬을 작은 블록으로 나누어 QR 분해를 수행함으로써, 메모리 접근 효율성을 높이고 계산 속도를 개선할 수 있다. 이는 특히 병렬 계산 환경에서 유리한다.
• 경제적 QR 분해: 필요 없는 행렬 요소를 제거하여 계산을 간소화하는 방법이다. 예를 들어, 풀 QR 분해 대신, 주요 부분만을 계산하는 방식이다.
• Hessenberg 형태: QR 알고리즘을 적용하기 전에, 행렬을 상삼각 형태인 Hessenberg 행렬로 변환하면 계산 복잡도를 줄일 수 있다. 이는 QR 분해의 계산 비용을 크게 감소시킨다.

이러한 기법들은 QR 알고리즘을 대규모 행렬에 적용할 때 필수적으로 고려되어야 하며, 이를 통해 실질적인 계산 시간을 크게 단축할 수 있다.