하우스홀더 변환을 이용한 QR 분해는 고전적인 그람-슈미트 정규화 방법보다 더 수치적으로 안정적이며, 특히 대규모 행렬을 다룰 때 유리한 방법이다. 하우스홀더 변환은 주어진 벡터를 특정 방향으로 반사(reflection)시켜 원하는 형태의 행렬을 생성하는 데 사용된다.

하우스홀더 변환의 정의

하우스홀더 변환은 벡터 $\mathbf{v}$를 다른 벡터 $\mathbf{u}$로 반사시키는 직교 변환으로 정의된다. 이 변환은 주어진 벡터를 특정 평면에 대해 대칭적으로 반사하는 과정을 통해 이루어진다.

하우스홀더 변환 행렬 $\mathbf{H}$는 다음과 같이 정의된다:

여기서: - $\mathbf{I}$는 단위 행렬(identity matrix)이다. - $\mathbf{u}$는 반사 방향을 정의하는 벡터로, $\mathbf{u} = \mathbf{v} - \mathbf{e}_1 \|\mathbf{v}\|$로 설정할 수 있다. - $\mathbf{e}_1$은 첫 번째 기저 벡터이다.

하우스홀더 변환의 성질

하우스홀더 변환은 다음과 같은 중요한 성질을 가진다:

1. 직교성: $\mathbf{H}$는 직교 행렬이다. 즉, $\mathbf{H}^\top \mathbf{H} = \mathbf{I}$가 성립한다.
2. 대칭성: $\mathbf{H}$는 대칭 행렬이다. 즉, $\mathbf{H}^\top = \mathbf{H}$가 성립한다.
3. 역행렬: 하우스홀더 변환의 역행렬은 자기 자신이다. 즉, $\mathbf{H}^{-1} = \mathbf{H}$이다.

QR 분해에 하우스홀더 변환 적용

하우스홀더 변환을 이용해 주어진 행렬 $\mathbf{A}$를 QR 분해하는 과정은 다음과 같다. 여기서 $\mathbf{A}$는 $m \times n$ 행렬이고, 이 때 $m \geq n$을 가정한다.

1. 첫 번째 열에 대한 변환:
2. 첫 번째 열 벡터 $\mathbf{a}_1$에 대해, 이 벡터를 특정 방향으로 반사시키는 하우스홀더 변환 $\mathbf{H}_1$을 계산한다.

3. 이 때 $\mathbf{H}_1 \mathbf{A}$는 첫 번째 열이 $\|\mathbf{a}_1\|$을 제외하고 모두 0인 형태가 된다.

4. 다음 열에 대한 반복적 변환:

5. 하우스홀더 변환은 반복적으로 적용되어, 각각의 열 벡터에 대해 동일한 과정이 수행된다.
6. 각 단계에서 $\mathbf{H}_k$가 계산되고, 새로운 행렬 $\mathbf{H}_k \cdots \mathbf{H}_1 \mathbf{A}$가 계산된다.

7. 이 과정을 통해 상삼각 행렬 $\mathbf{R}$이 만들어진다.

8. 최종 QR 분해:

9. 최종적으로 $\mathbf{A} = \mathbf{Q}\mathbf{R}$로 분해된다.
10. 여기서 $\mathbf{Q}$는 각 단계에서 계산된 하우스홀더 행렬의 곱으로 주어지며, 직교 행렬이다.
11. $\mathbf{R}$은 상삼각 행렬이다.

하우스홀더 변환의 예시

예를 들어, $3 \times 3$ 행렬 $\mathbf{A}$가 주어졌다고 하자:

1. 첫 번째 열 벡터 $\mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$에 대해 하우스홀더 벡터 $\mathbf{u}_1$를 계산한다:

1. 하우스홀더 변환 행렬 $\mathbf{H}_1$를 계산하고, 이를 $\mathbf{A}$에 적용하여 첫 번째 열을 변환한다.

2. 다음으로, $\mathbf{A}_2$의 두 번째 열에 대해 동일한 과정을 반복한다.

3. 이 과정이 모두 끝나면, 상삼각 행렬 $\mathbf{R}$과 직교 행렬 $\mathbf{Q}$가 계산된다.

하우스홀더 변환의 구체적 계산 과정

하우스홀더 변환을 이용한 QR 분해의 구체적인 계산 과정을 $3 \times 3$ 행렬 $\mathbf{A}$에 대해 자세히 살펴보자.

주어진 행렬 $\mathbf{A}$는 다음과 같다:

1단계: 첫 번째 하우스홀더 변환

첫 번째 열 벡터 $\mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$에 대해, 벡터 $\mathbf{a}_1$을 단위 벡터 $\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ 방향으로 반사하는 하우스홀더 변환 행렬 $\mathbf{H}_1$을 계산한다.

우선, $\mathbf{u}_1$을 다음과 같이 정의한다:

$\mathbf{u}_1$의 크기를 계산하자:

따라서 $\mathbf{v}_1$을 다음과 같이 구할 수 있다:

하우스홀더 변환 행렬 $\mathbf{H}_1$은 다음과 같다:

여기서 $\mathbf{v}_1\mathbf{v}_1^\top$는 다음과 같이 계산된다:

따라서 $\mathbf{H}_1$는 다음과 같다:

$\mathbf{H}_1$을 $\mathbf{A}$에 적용하여 첫 번째 열을 변환하면, 다음과 같은 행렬 $\mathbf{A}_1$이 얻어진다:

이제 첫 번째 열이 목표하는 형태인 $\begin{bmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$으로 변환되었다.

2단계: 두 번째 하우스홀더 변환

다음으로, $\mathbf{A}_1$의 두 번째 열에 대해 하우스홀더 변환을 적용한다. 이때 두 번째 열의 하위 $2 \times 1$ 서브벡터 $\mathbf{a}_2' = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix}$에 대해 반사를 수행한다.

이 벡터를 단위 벡터 $\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 방향으로 반사하는 하우스홀더 변환 행렬 $\mathbf{H}_2'$를 계산한다.

벡터 $\mathbf{u}_2$를 다음과 같이 정의한다:

이제 $\mathbf{H}_2'$를 계산하여 $\mathbf{A}_1$에 적용하면 다음과 같은 행렬 $\mathbf{R}$이 얻어진다:

최종 QR 분해 결과

최종적으로, $\mathbf{Q}$ 행렬은 하우스홀더 변환 행렬의 곱으로 구성되며, $\mathbf{R}$ 행렬은 상삼각 행렬이다. 이와 같이 QR 분해가 완성된다:

여기서:

결론적으로 하우스홀더 변환을 통해 얻어진 QR 분해는 $\mathbf{A}$를 직교 행렬 $\mathbf{Q}$와 상삼각 행렬 $\mathbf{R}$의 곱으로 표현하며, 특히 수치적 안정성과 효율성이 요구되는 상황에서 유용하다.