QR 분해의 존재성

QR 분해는 임의의 실수 또는 복소수 정사각 행렬 $\mathbf{A}$에 대해, 항상 존재하는 분해이다. 행렬 $\mathbf{A}$는 직교 행렬 $\mathbf{Q}$와 상삼각 행렬 $\mathbf{R}$의 곱으로 표현될 수 있으며, 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다:

여기서 $\mathbf{Q}$는 $m \times m$ 크기의 직교 행렬이고, $\mathbf{R}$은 $m \times n$ 크기의 상삼각 행렬이다. 이 때 $\mathbf{A}$가 정사각 행렬이 아니더라도, $\mathbf{A}$는 $\mathbf{Q}\mathbf{R}$ 형태로 분해될 수 있다. 직교 행렬 $\mathbf{Q}$의 열벡터들은 서로 직교하며, $\mathbf{Q}$의 역행렬은 $\mathbf{Q}$의 전치 행렬과 같다. 상삼각 행렬 $\mathbf{R}$은 주대각선 위의 요소가 0이 아닌 값을 갖는다.

QR 분해의 유일성

QR 분해의 유일성은 행렬 $\mathbf{A}$의 형태와 행렬 $\mathbf{R}$의 주대각선 원소의 부호에 따라 결정된다. 다음과 같은 경우 QR 분해는 유일한다:

1. 정칙 행렬의 경우: $\mathbf{A}$가 $m \times m$ 크기의 정칙 행렬(즉, 행렬식이 0이 아닌 행렬)일 때, $\mathbf{Q}$는 유일하며, 상삼각 행렬 $\mathbf{R}$의 주대각선 원소는 양수이다. 이 조건 하에서는 QR 분해가 유일하게 결정된다.

2. 일반적인 경우: 만약 $\mathbf{A}$가 정칙 행렬이 아니거나, 주어진 $\mathbf{R}$의 주대각선 원소들이 음수일 경우, QR 분해는 유일하지 않을 수 있다. 예를 들어, 상삼각 행렬 $\mathbf{R}$의 주대각선 원소에 음수 부호가 있거나, 직교 행렬 $\mathbf{Q}$의 열벡터들의 부호를 바꾸는 경우도 가능하기 때문에, 이 경우에는 여러 가지 다른 QR 분해가 존재할 수 있다.

$\mathbf{R}$의 주대각선 원소가 모두 양수인 조건 하에서, QR 분해는 유일하게 결정된다. 이를 더 공식적으로 표현하면, 주어진 행렬 $\mathbf{A}$에 대해 QR 분해는 다음과 같이 표현된다:

위의 조건을 만족하는 QR 분해는 유일한다.

정방 행렬이 아닌 경우의 QR 분해 유일성

정방 행렬이 아닌 경우에도 QR 분해는 존재하지만, 유일성은 일반적인 의미에서는 보장되지 않을 수 있다. $\mathbf{A}$가 $m \times n$ 크기의 행렬이고 $m > n$인 경우, 즉 $\mathbf{A}$가 행이 더 많은 직사각형 행렬일 때, $\mathbf{Q}$는 $m \times m$ 크기의 직교 행렬이고 $\mathbf{R}$은 $m \times n$ 크기의 상삼각 행렬이 된다. 이 때 $\mathbf{R}$의 마지막 $m-n$개의 행은 0으로 채워져 상삼각 행렬의 성질을 유지한다.

이 경우에도 상삼각 행렬 $\mathbf{R}$의 주대각선 원소가 모두 양수일 때, QR 분해는 유일한다. 그러나 이 조건을 충족하지 않는 경우, QR 분해는 유일하지 않을 수 있다. 예를 들어, $\mathbf{R}$의 주대각선 원소가 음수이거나, $\mathbf{Q}$의 열벡터의 부호를 바꾸는 경우도 여러 가지 다른 QR 분해가 가능해질 수 있다.

유일성의 예외와 부호 선택

QR 분해의 유일성은 상삼각 행렬 $\mathbf{R}$의 주대각선 원소들의 부호에 따라 크게 달라질 수 있다. $\mathbf{R}$의 주대각선 원소가 양수일 때는 분해가 유일하지만, 부호가 달라지면 동일한 행렬 $\mathbf{A}$에 대해 여러 다른 $\mathbf{Q}$와 $\mathbf{R}$의 조합이 존재할 수 있다.

예를 들어, 주어진 행렬 $\mathbf{A}$에 대해 QR 분해를 수행할 때, $\mathbf{R}$의 주대각선 원소에 음수를 허용하면, $\mathbf{Q}$와 $\mathbf{R}$의 다른 조합들이 가능해진다. 이로 인해 유일성이 손상될 수 있으며, 이 경우 분해의 유일성을 확보하기 위해 추가적인 조건을 부여하거나 특정 표준을 따르는 것이 필요할 수 있다.

QR 분해의 유일성 보장 방법

QR 분해의 유일성을 보장하기 위해서는 몇 가지 추가적인 조건을 설정할 수 있다. 일반적으로 다음과 같은 조건이 유일성을 보장하는 데 사용된다:

1. 양수 주대각선 조건: $\mathbf{R}$의 주대각선 원소를 양수로 강제하는 조건은 QR 분해의 유일성을 보장하는 가장 일반적인 방법이다. 이 조건을 만족하면, $\mathbf{Q}$와 $\mathbf{R}$은 유일하게 결정된다.

2. 표준화된 직교 벡터: $\mathbf{Q}$의 열벡터들이 특정 방향성을 가지도록 표준화하는 방법도 유일성을 보장하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 그람-슈미트 정규화 과정에서 벡터들의 부호를 일정하게 유지하면 유일성이 확보될 수 있다.

3. 추가 조건 설정: 문제의 특성에 따라 추가적인 제약 조건을 설정하여 유일성을 확보할 수 있다. 예를 들어, 행렬의 특정 열벡터들이 가지는 성질을 이용하여 분해를 제한하는 방법도 가능할 수 있다.

이와 같은 조건들을 통해 QR 분해는 특정한 경우에 유일하게 결정될 수 있으며, 이를 통해 QR 분해가 실질적으로 유일하게 존재함을 보장할 수 있다.