상삼각 행렬(R)의 정의와 성질

상삼각 행렬의 정의

상삼각 행렬(Upper Triangular Matrix)이란 모든 성분이 주대각선(diagonal) 아래에 있는 행렬 요소가 0인 정사각 행렬을 말한다. 즉, $\mathbf{R}$ 이 상삼각 행렬일 때, $\mathbf{R} = [r_{ij}]$ 이라면 다음과 같은 조건을 만족한다:

$r_{ij} = 0 \quad \text{for} \quad i > j$

이는 $\mathbf{R}$ 의 모든 원소 $r_{ij}$ 가 $i > j$ 일 때 0이 된다는 의미이다. 예를 들어, 3x3 상삼각 행렬 $\mathbf{R}$ 은 다음과 같은 형태를 가진다:

$\mathbf{R} = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ 0 & r_{22} & r_{23} \\ 0 & 0 & r_{33} \end{bmatrix}$

이때, $r_{11}, r_{22}, r_{33}$ 는 주대각선 상의 원소들이며, 나머지 원소들은 0 또는 0이 아닌 값을 가질 수 있다.

상삼각 행렬의 성질

상삼각 행렬은 다양한 유용한 성질을 가지고 있으며, 이는 선형대수에서 중요한 역할을 한다. 주요 성질은 다음과 같다.

1. 행렬식(Determinant)

상삼각 행렬 $\mathbf{R}$ 의 행렬식 $\text{det}(\mathbf{R})$ 은 주대각선 원소들의 곱으로 표현된다. 즉, 다음과 같이 계산할 수 있다:

$\text{det}(\mathbf{R}) = r_{11} \cdot r_{22} \cdot \dots \cdot r_{nn}$

이 성질은 행렬식 계산을 단순화시키며, 상삼각 행렬이 역행렬을 가지기 위한 조건을 쉽게 판단할 수 있게 한다. 즉, 모든 주대각선 원소가 0이 아닐 경우에만 $\mathbf{R}$ 은 역행렬을 가지며, 이 경우 역행렬도 상삼각 행렬이 된다.

2. 역행렬(Inverse)

상삼각 행렬 $\mathbf{R}$ 이 역행렬 $\mathbf{R}^{-1}$ 을 가질 때, 이 역행렬 역시 상삼각 행렬이다. 역행렬을 구하는 과정은 다음과 같이 하향 대입법(back substitution)을 사용하여 쉽게 계산할 수 있다.

만약 $\mathbf{R}$ 이 다음과 같은 2x2 상삼각 행렬이라고 가정하자:

$\mathbf{R} = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} \\ 0 & r_{22} \end{bmatrix}$

이 행렬의 역행렬은 다음과 같다:

$\mathbf{R}^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{r_{11}} & -\frac{r_{12}}{r_{11}r_{22}} \\ 0 & \frac{1}{r_{22}} \end{bmatrix}$

이처럼 역행렬은 상삼각 구조를 유지하며 계산할 수 있다.

3. 행렬의 곱셈

두 상삼각 행렬 $\mathbf{R}_1$ 과 $\mathbf{R}_2$ 의 곱 $\mathbf{R}_1 \mathbf{R}_2$ 역시 상삼각 행렬이 된다. 이는 상삼각 행렬의 폐쇄성(closed under multiplication)을 의미하며, 다음과 같은 형태로 표현된다:

$(\mathbf{R}_1 \mathbf{R}_2)_{ij} = \sum_{k=i}^j (\mathbf{R}_1)_{ik} (\mathbf{R}_2)_{kj}$

이 성질은 상삼각 행렬을 이용한 행렬 연산에서 효율성을 높여주며, 특히 행렬 곱셈의 계산 복잡도를 줄이는 데 중요한 역할을 한다.

4. 고유값(Eigenvalues)

상삼각 행렬의 고유값은 주대각선 원소들에 의해 결정된다. 즉, 상삼각 행렬 $\mathbf{R}$ 의 고유값 $\lambda$ 는 다음과 같이 주대각선 원소들 $r_{ii}$ 의 값이다:

$\lambda_i = r_{ii} \quad \text{for} \quad i = 1, 2, \dots, n$

이 성질은 고유값 계산을 단순화시키며, 상삼각 행렬이 선형 변환에서 가지는 중요한 특성을 보여준다.

5. 삼각 행렬의 풀이법

상삼각 행렬이 포함된 선형 방정식 시스템을 푸는 것은 하향 대입법(back substitution)을 사용하여 간단히 해결할 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 시스템을 고려해보자:

$\mathbf{R} \mathbf{x} = \mathbf{b}$

여기서 $\mathbf{R}$ 은 상삼각 행렬이고, $\mathbf{x}$ 는 해를 구하고자 하는 벡터이며, $\mathbf{b}$ 는 주어진 벡터이다. 이 시스템은 다음과 같은 연립방정식으로 나타낼 수 있다:

$\begin{aligned} r_{11}x_1 + r_{12}x_2 + \dots + r_{1n}x_n &= b_1, \\ r_{22}x_2 + \dots + r_{2n}x_n &= b_2, \\ &\vdots \\ r_{nn}x_n &= b_n. \end{aligned}$

이 경우, 마지막 방정식부터 시작하여 $x_n$ 값을 먼저 구하고, 이를 위쪽 방정식에 대입하여 역순으로 $x_{n-1}, x_{n-2}, \dots, x_1$ 값을 차례대로 구한다. 이러한 과정은 상삼각 행렬의 특성을 이용해 계산을 단계적으로 간소화할 수 있다.

6. 상삼각 행렬의 축소 형태

상삼각 행렬은 다양한 형태로 나타날 수 있으며, 그 중에서 경제적인 형태로 나타내는 방법도 있다. 특히 QR 분해에서 등장하는 상삼각 행렬 $\mathbf{R}$ 의 경우, 종종 상삼각 행렬의 경제적 형태(economic form)를 사용한다. 이 형태에서는 행렬의 불필요한 0 값을 제거하고 필요한 부분만 남겨둔다.

예를 들어, $\mathbf{R}$ 이 다음과 같은 4x4 상삼각 행렬이라고 가정하자:

$\mathbf{R} = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} & r_{14} \\ 0 & r_{22} & r_{23} & r_{24} \\ 0 & 0 & r_{33} & r_{34} \\ 0 & 0 & 0 & r_{44} \end{bmatrix}$

이 행렬을 경제적 형태로 표현하면, 다음과 같은 4x4 행렬로 나타낼 수 있다:

$\mathbf{R}_{\text{econ}} = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} & r_{14} \\ 0 & r_{22} & r_{23} & r_{24} \\ 0 & 0 & r_{33} & r_{34} \\ 0 & 0 & 0 & r_{44} \end{bmatrix}$

이때, 불필요한 0 값을 명시적으로 표시하지 않고 필요한 상삼각 부분만을 유지할 수 있다. 이는 메모리 사용을 절약하고 계산 속도를 높이는 데 도움이 된다.

7. 상삼각 행렬과 다른 행렬의 관계

상삼각 행렬은 다양한 형태의 행렬과 관계를 맺고 있다. 예를 들어, 상삼각 행렬과 하삼각 행렬(Lower Triangular Matrix)의 곱은 일반적으로 전 행렬을 구성하며, 두 행렬 모두 대각 행렬(Diagonal Matrix)과 관련이 있다. 또한, 대칭 행렬(Symmetric Matrix)과의 관계에서도 상삼각 행렬은 중요한 역할을 한다.

특히, 대칭 행렬 $\mathbf{A}$ 에 대해 다음과 같은 분해가 가능하다:

$\mathbf{A} = \mathbf{R}^\top \mathbf{R}$

여기서 $\mathbf{R}^\top$ 은 $\mathbf{R}$ 의 전치 행렬이다. 이는 Cholesky 분해로 알려져 있으며, 대칭 행렬의 성질을 분석하고 활용하는 데 중요하다.