연습 문제 1: 기본 LU 분해

다음 행렬을 LU 분해하시오.

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 7 & 2 \\ 6 & 18 & -1 \end{pmatrix}
  1. 위의 행렬 \mathbf{A}를 LU 분해하기 위해서 필요한 모든 단계를 계산하시오.
  2. \mathbf{L}과 \mathbf{U} 행렬을 각각 구하고, \mathbf{L}\mathbf{U}가 \mathbf{A}와 같은지 확인하시오.

해답 1:

  1. 주어진 행렬 \mathbf{A}에 대해, \mathbf{L}과 \mathbf{U}를 구하려면 다음 단계를 따른다.

첫 번째 단계로, \mathbf{L}의 첫 열과 \mathbf{U}의 첫 행을 구한다.

\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \ell_{21} & 1 & 0 \\ \ell_{31} & \ell_{32} & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{U} = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}

우선 u_{11} = 2, u_{12} = 3, u_{13} = 1이 된다. 이제 \ell_{21}과 \ell_{31}을 계산한다.

\ell_{21} = \frac{4}{2} = 2, \quad \ell_{31} = \frac{6}{2} = 3

다음으로, \mathbf{U}의 두 번째 행을 계산한다.

\mathbf{A}_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 9 & -4 \end{pmatrix}

여기서 u_{22} = 1이며, u_{23} = 0이다. \ell_{32}는 다음과 같이 계산된다.

\ell_{32} = \frac{9}{1} = 9

마지막으로, u_{33}을 계산한다.

u_{33} = -4

결과적으로, \mathbf{L}과 \mathbf{U}는 다음과 같다.

\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 9 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{U} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}
  1. \mathbf{L}\mathbf{U}를 계산하여 \mathbf{A}와 같은지 확인한다.
\mathbf{L}\mathbf{U} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 9 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 7 & 2 \\ 6 & 18 & -1 \end{pmatrix} = \mathbf{A}

연습 문제 2: Forward Substitution

다음 연립 방정식을 Forward Substitution을 이용하여 풀어라.

\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 9 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 12 \\ 34 \end{pmatrix}

\mathbf{L}\mathbf{y} = \mathbf{b}에 대해 \mathbf{y}를 구하시오.

해답 2:

Forward Substitution을 사용하여 \mathbf{y}를 구하려면 다음 단계들을 따른다.

  1. 첫 번째 행:
y_1 = b_1 = 5
  1. 두 번째 행:
y_2 = b_2 - \ell_{21}y_1 = 12 - 2 \times 5 = 2
  1. 세 번째 행:
y_3 = b_3 - \ell_{31}y_1 - \ell_{32}y_2 = 34 - 3 \times 5 - 9 \times 2 = 34 - 15 - 18 = 1

따라서, \mathbf{y}는 다음과 같다.

\mathbf{y} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}

연습 문제 3: Backward Substitution

이제 \mathbf{U}\mathbf{x} = \mathbf{y}를 풀기 위해 Backward Substitution을 이용하시오. 여기서 \mathbf{U}는 다음과 같다.

\mathbf{U} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}

해답 3:

Backward Substitution을 사용하여 \mathbf{x}를 구하기 위해 다음 단계들을 따른다.

  1. 세 번째 행:
x_3 = \frac{y_3}{u_{33}} = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}
  1. 두 번째 행:
x_2 = y_2 - u_{23}x_3 = 2 - 0 = 2
  1. 첫 번째 행:
x_1 = \frac{y_1 - u_{12}x_2 - u_{13}x_3}{u_{11}} = \frac{5 - 3 \times 2 - 1 \times -\frac{1}{4}}{2} = \frac{5 - 6 + \frac{1}{4}}{2} = \frac{-1 + \frac{1}{4}}{2} = \frac{-\frac{3}{4}}{2} = -\frac{3}{8}

따라서, \mathbf{x}는 다음과 같다.

\mathbf{x} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{8} \\ 2 \\ -\frac{1}{4} \end{pmatrix}

연습 문제 4: Doolittle 알고리즘

다음 행렬을 Doolittle 알고리즘을 사용하여 LU 분해하시오.

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 1 \\ 20 & -7 & 12 \\ -8 & 13 & 17 \end{pmatrix}
  1. \mathbf{A}를 Doolittle 알고리즘을 사용하여 분해하는 과정을 설명하시오.
  2. 분해된 \mathbf{L}과 \mathbf{U} 행렬을 구하시오.

해답 4:

Doolittle 알고리즘은 \mathbf{L}의 대각 요소를 모두 1로 만드는 방법이다. 다음 단계를 따른다.

  1. u_{11} = 4, u_{12} = -2, u_{13} = 1

  2. \ell_{21} = \frac{20}{4} = 5, \ell_{31} = \frac{-8}{4} = -2

  3. u_{22} = -7 - (-2) \times (-2) = -7 - 4 = -11, u_{23} = 12 - (-2) \times 1 = 12 + 2 = 14

  4. \ell_{32} = \frac{13 - (-2) \times (-2)}{-11} = \frac{13 - 4}{-11} = \frac{9}{-11} = -\frac{9}{11}

  5. u_{33} = 17 - 5 \times 1 + \frac{9}{11} \times 14 = 17 - 5 + \frac{126}{11} = 12 + \frac{126}{11} = \frac{132}{11} = 12

결과적으로, \mathbf{L}과 \mathbf{U}는 다음과 같다.

\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 0 \\ -2 & -\frac{9}{11} & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{U} = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 1 \\ 0 & -11 & 14 \\ 0 & 0 & 12 \end{pmatrix}

연습 문제 5: Crout 알고리즘

Crout 알고리즘을 사용하여 다음 행렬을 LU 분해하시오.

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 6 & -2 & 2 \\ -4 & 7 & -3 \\ 2 & -5 & 8 \end{pmatrix}
  1. Crout 알고리즘의 과정을 통해 \mathbf{L}과 \mathbf{U}를 구하시오.
  2. 결과를 확인하고, \mathbf{L}\mathbf{U} = \mathbf{A}를 검증하시오.

해답 5:

Crout 알고리즘은 \mathbf{U}의 대각 요소를 모두 1로 만드는 방법이다. 다음 단계를 통해 \mathbf{L}과 \mathbf{U}를 구할 수 있다.

  1. 첫 번째 열을 사용하여 \ell_{11}, \ell_{21}, \ell_{31}을 계산한다.
\ell_{11} = 6, \quad \ell_{21} = -4, \quad \ell_{31} = 2
  1. 첫 번째 행을 사용하여 u_{12}와 u_{13}을 계산한다.
u_{12} = \frac{-2}{\ell_{11}} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}, \quad u_{13} = \frac{2}{\ell_{11}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
  1. 두 번째 열을 사용하여 \ell_{22}와 \ell_{32}를 계산한다.
\ell_{22} = 7 - \ell_{21} \times u_{12} = 7 - (-4) \times -\frac{1}{3} = 7 - \frac{4}{3} = \frac{21}{3} - \frac{4}{3} = \frac{17}{3}
\ell_{32} = -5 - \ell_{31} \times u_{12} = -5 - 2 \times -\frac{1}{3} = -5 + \frac{2}{3} = -\frac{15}{3} + \frac{2}{3} = -\frac{13}{3}
  1. 두 번째 행을 사용하여 u_{23}을 계산한다.
u_{23} = \frac{-3 - \ell_{21} \times u_{13}}{\ell_{22}} = \frac{-3 - (-4) \times \frac{1}{3}}{\frac{17}{3}} = \frac{-3 + \frac{4}{3}}{\frac{17}{3}} = \frac{-\frac{9}{3} + \frac{4}{3}}{\frac{17}{3}} = \frac{-\frac{5}{3}}{\frac{17}{3}} = -\frac{5}{17}
  1. 세 번째 열을 사용하여 \ell_{33}을 계산한다.
\ell_{33} = 8 - \ell_{31} \times u_{13} - \ell_{32} \times u_{23} = 8 - 2 \times \frac{1}{3} - \left(-\frac{13}{3}\right) \times -\frac{5}{17}

계산을 계속하면,

\ell_{33} = 8 - \frac{2}{3} - \frac{65}{51} = \frac{24}{3} - \frac{2}{3} - \frac{65}{51} = \frac{22}{3} - \frac{65}{51}

이를 통분하여 계산하면,

\ell_{33} = \frac{374}{51} - \frac{65}{51} = \frac{309}{51} = 6.06

결과적으로, \mathbf{L}과 \mathbf{U}는 다음과 같다.

\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ -4 & \frac{17}{3} & 0 \\ 2 & -\frac{13}{3} & 6.06 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{U} = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & -\frac{5}{17} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

\mathbf{L}\mathbf{U} = \mathbf{A}인지 검증하기 위해 두 행렬을 곱해보면, 주어진 \mathbf{A}와 동일한 행렬이 나옴을 확인할 수 있다.

연습 문제 6: Cholesky 분해

다음 대칭 행렬을 Cholesky 분해하시오.

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 25 & 15 & -5 \\ 15 & 18 & 0 \\ -5 & 0 & 11 \end{pmatrix}
  1. \mathbf{A} = \mathbf{L}\mathbf{L}^T의 형태로 분해하시오.
  2. \mathbf{L} 행렬을 구하고 검증하시오.

해답 6:

Cholesky 분해를 통해 \mathbf{L}을 구하기 위해서는 다음 단계를 수행한다.

  1. 첫 번째 단계에서, \ell_{11}을 구한다.
\ell_{11} = \sqrt{25} = 5
  1. 다음으로 \ell_{21}과 \ell_{31}을 구한다.
\ell_{21} = \frac{15}{5} = 3, \quad \ell_{31} = \frac{-5}{5} = -1
  1. \ell_{22}를 구한다.
\ell_{22} = \sqrt{18 - 3^2} = \sqrt{18 - 9} = \sqrt{9} = 3
  1. 마지막으로, \ell_{32}와 \ell_{33}을 구한다.
\ell_{32} = \frac{0 - (-1) \times 3}{3} = \frac{3}{3} = 1, \quad \ell_{33} = \sqrt{11 - 1^2} = \sqrt{10}

따라서, \mathbf{L}은 다음과 같다.

\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \\ -1 & 1 & \sqrt{10} \end{pmatrix}

그리고 \mathbf{L}\mathbf{L}^T를 계산하면, 주어진 \mathbf{A}와 동일한 행렬임을 확인할 수 있다.

연습 문제 7: 대각 행렬의 LU 분해

다음 대각 행렬의 LU 분해를 수행하시오.

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}
  1. 이 행렬의 \mathbf{L}과 \mathbf{U}를 구하시오.
  2. 대각 행렬의 LU 분해의 특성을 설명하시오.

해답 7:

대각 행렬 \mathbf{A}의 경우, LU 분해는 매우 간단한다. 대각 행렬은 이미 상삼각 행렬 \mathbf{U}와 하삼각 행렬 \mathbf{L}로 자연스럽게 분해된다.

  1. \mathbf{L}과 \mathbf{U}는 각각 다음과 같다.
\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{U} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}

따라서, 대각 행렬은 항상 단위 행렬 \mathbf{L}과 본래의 대각 행렬 \mathbf{U}로 분해된다.

  1. 대각 행렬의 LU 분해 특성:

대각 행렬은 LU 분해에서 가장 단순한 경우에 해당한다. 이러한 행렬의 LU 분해는 \mathbf{L}이 단위 행렬이 되고, \mathbf{U}는 원래의 대각 행렬과 동일하게 나타난다. 이는 대각 행렬이 상삼각 행렬과 하삼각 행렬의 곱으로 바로 나타날 수 있음을 의미한다.

연습 문제 8: 대칭 행렬에서의 LU 분해

다음 대칭 행렬의 LU 분해를 수행하시오.

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}
  1. \mathbf{L}과 \mathbf{U}를 구하시오.
  2. LU 분해가 가능한지 확인하고, 만약 그렇지 않다면 그 이유를 설명하시오.

해답 8:

대칭 행렬의 경우, LU 분해가 항상 가능한 것은 아니다. 그러나 이 행렬은 LU 분해가 가능한다.

  1. \mathbf{L}과 \mathbf{U}를 다음과 같이 구할 수 있다.

첫 번째 단계에서 \mathbf{L}과 \mathbf{U}의 초기 값을 설정한다.

\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \ell_{21} & 1 & 0 \\ \ell_{31} & \ell_{32} & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{U} = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}
  1. u_{11}을 먼저 구한다.
u_{11} = 4

다음으로 \ell_{21}과 \ell_{31}을 구한다.

\ell_{21} = \frac{1}{4} = 0.25, \quad \ell_{31} = \frac{2}{4} = 0.5
  1. 이제 u_{12}, u_{13}을 구한다.
u_{12} = 1, \quad u_{13} = 2
  1. 다음으로 u_{22}를 구한다.
u_{22} = 3 - 0.25 \times 1 = 2.75

이어서 \ell_{32}를 구한다.

\ell_{32} = \frac{-1 - 0.5 \times 1}{2.75} = \frac{-1.5}{2.75} = -0.545

마지막으로 u_{33}을 구한다.

u_{33} = 3 - 0.5 \times 2 - (-0.545) \times (-0.545) \times 2.75

계산하면,

u_{33} \approx 2.295

따라서 최종적으로 \mathbf{L}과 \mathbf{U}는 다음과 같다.

\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0.25 & 1 & 0 \\ 0.5 & -0.545 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{U} = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 0 & 2.75 & -0.545 \\ 0 & 0 & 2.295 \end{pmatrix}
  1. 검증:

\mathbf{L}\mathbf{U}를 계산하면 \mathbf{A}와 동일한 행렬이 나옴을 확인할 수 있다.

이로써 이 대칭 행렬은 성공적으로 LU 분해가 가능함을 알 수 있다.

연습 문제 9: 희소 행렬에서의 LU 분해

다음 희소 행렬의 LU 분해를 수행하시오.

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 10 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 7 \end{pmatrix}
  1. \mathbf{L}과 \mathbf{U}를 구하시오.
  2. 희소 행렬에서의 LU 분해의 특성과 장점을 설명하시오.

해답 9:

희소 행렬의 LU 분해는 대부분의 요소가 0인 행렬을 분해하는 과정으로, 저장 공간과 계산 시간을 절약할 수 있다.

  1. \mathbf{L}과 \mathbf{U}는 다음과 같다.
\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0.3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{7}{9} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{8} & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{U} = \begin{pmatrix} 10 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}

이 결과는 희소 행렬의 특성상 대부분의 비중요한 요소들이 0인 행렬로 나타난다.

  1. 희소 행렬에서의 LU 분해의 장점:

  2. 저장 공간 절약: 희소 행렬에서 LU 분해는 0이 아닌 요소들만을 저장하기 때문에, 메모리 사용량이 크게 줄어든다.

  3. 계산 효율성: 계산할 때도 0이 아닌 요소들에만 집중할 수 있어 연산 속도가 증가한다.
  4. 병렬 처리 가능성: 희소 행렬의 구조적 특성을 활용하여 병렬 처리가 용이하며, 이는 대규모 데이터에서 특히 유리한다.

연습 문제 10: Pivoting 전략의 중요성

다음 행렬에서 LU 분해를 수행하시오. Pivoting 전략을 사용하지 않고, 어떤 문제가 발생하는지 설명하시오.

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 1 & -3 & -1 \\ 4 & 1 & 8 \end{pmatrix}
  1. Pivoting 없이 LU 분해를 시도하시오.
  2. 발생하는 문제를 설명하고, Pivoting 전략이 왜 중요한지 논하시오.

해답 10:

  1. Pivoting 없이 LU 분해를 시도하면, 첫 번째 열의 첫 번째 요소가 0이기 때문에 문제가 발생한다. 분해를 시도하면 행렬이 특이하게 되어 결과가 정확하지 않게 된다.

  2. 첫 번째 단계에서 \ell_{21}과 \ell_{31}을 계산하려면 첫 번째 열의 첫 번째 요소를 사용해야 하지만, 이 값이 0이므로 분모가 0이 되어 분해가 불가능한다.

  3. 발생하는 문제와 Pivoting 전략의 중요성:

Pivoting 전략은 분해 과정에서 0 또는 작은 값으로 인한 수치적 불안정성을 피하기 위해 사용된다. 이 전략은 행 또는 열을 교환하여 가장 큰 절대값을 가진 요소를 사용하여 분해를 수행함으로써, 계산의 안정성을 보장한다. 이는 특히 대규모 행렬이나 희소 행렬에서 중요한 역할을 한다.

연습 문제 11: LU 분해와 행렬의 역행렬 계산

다음 행렬 \mathbf{A}의 역행렬을 LU 분해를 사용하여 구하시오.

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}
  1. \mathbf{A}를 LU 분해하시오.
  2. LU 분해를 이용해 \mathbf{A}^{-1}를 계산하시오.

해답 11:

  1. \mathbf{A}의 LU 분해를 구한다.
\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}

우선, \mathbf{L}과 \mathbf{U}를 설정한다.

\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \ell_{21} & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{U} = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{pmatrix}

첫 번째로 u_{11} = 4이고, u_{12} = 3이다.

다음으로 \ell_{21}과 u_{22}를 구한다.

\ell_{21} = \frac{6}{4} = 1.5, \quad u_{22} = 3 - 1.5 \times 3 = 3 - 4.5 = -1.5

따라서,

\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1.5 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{U} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 0 & -1.5 \end{pmatrix}
  1. 이제 LU 분해를 이용해 \mathbf{A}^{-1}를 구한다. \mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}임을 이용해, \mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}의 형태로 계산을 수행한다.

\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{LU}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}이므로, \mathbf{LU}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}가 된다. 이를 풀기 위해서는, 두 단계로 나누어 계산한다.

Step 1: \mathbf{L}\mathbf{y} = \mathbf{I}

\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1.5 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

첫 번째 열에 대해:

y_1 = 1, \quad y_2 = -1.5

두 번째 열에 대해:

y_1 = 0, \quad y_2 = 1

\mathbf{y}는 다음과 같이 나온다.

\mathbf{y} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1.5 & 1 \end{pmatrix}

Step 2: \mathbf{U}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{y}

\mathbf{U}\mathbf{A}^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 0 & -1.5 \end{pmatrix} \mathbf{A}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1.5 & 1 \end{pmatrix}

이를 계산하면,

\mathbf{A}^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}

연습 문제 12: LU 분해를 이용한 행렬식 계산

LU 분해를 이용하여 다음 행렬의 행렬식을 계산하시오.

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 2 \\ 6 & 3 & 1 \end{pmatrix}
  1. LU 분해를 수행하시오.
  2. LU 분해를 사용하여 행렬식 \text{det}(\mathbf{A})를 계산하시오.

해답 12:

  1. \mathbf{A}의 LU 분해를 구한다.

LU 분해의 결과는 다음과 같다.

\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{U} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -4 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}
  1. LU 분해를 이용하여 행렬식을 계산한다.

행렬식은 상삼각 행렬 \mathbf{U}의 대각 성분의 곱으로 구할 수 있다.

\text{det}(\mathbf{A}) = u_{11} \times u_{22} \times u_{33} = 2 \times (-1) \times 7 = -14

이로써 \mathbf{A}의 행렬식은 -14임을 알 수 있다.

연습 문제 13: Pivoting을 사용한 LU 분해

Pivoting을 포함하여 다음 행렬의 LU 분해를 수행하시오.

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 4 & 1 & 0 \end{pmatrix}
  1. Partial Pivoting을 적용한 LU 분해를 수행하시오.
  2. Pivoting 전략이 수치적 안정성에 미치는 영향을 설명하시오.

해답 13:

  1. Partial Pivoting을 적용하여 \mathbf{A}를 LU 분해한다.

먼저, 첫 번째 열에서 가장 큰 절대값을 가진 요소를 찾아 행을 교환한다.

교환 후:

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}

다음으로 LU 분해를 수행한다.

\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0.75 & 1 & 0 \\ 0 & \ell_{32} & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{U} = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 0 & -0.75 & 2 \\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}

\ell_{32}와 u_{33}을 계산하면,

\ell_{32} = \frac{2}{-0.75} = -\frac{8}{3}, \quad u_{33} = 1 - (-\frac{8}{3}) \times 2

결과적으로,

\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0.75 & 1 & 0 \\ 0 & -\frac{8}{3} & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{U} = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 0 & -0.75 & 2 \\ 0 & 0 & 17 \end{pmatrix}
  1. Pivoting 전략이 수치적 안정성에 미치는 영향:

Pivoting 전략은 수치적으로 불안정한 상황, 즉 작은 피벗 요소가 발생할 때 이를 방지하여 계산의 정확성을 유지한다. Partial Pivoting은 각 단계에서 가장 큰 절대값을 가진 요소를 피벗으로 선택하여, 가능한 한 수치적 오차를 줄이고 안정적인 계산을 보장한다. 이는 특히 큰 행렬이나 희소 행렬에서 매우 중요하다.

연습 문제 14: 블록 행렬의 LU 분해

다음 블록 행렬의 LU 분해를 수행하시오.

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \mathbf{A_{11}} & \mathbf{A_{12}} \\ \mathbf{A_{21}} & \mathbf{A_{22}} \end{pmatrix}

여기서,

\mathbf{A_{11}} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{A_{12}} = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{A_{21}} = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{A_{22}} = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 8 & 3 \end{pmatrix}
  1. 블록 행렬 \mathbf{A}를 LU 분해하시오.
  2. 블록 행렬의 LU 분해의 이점과 활용 사례를 설명하시오.

해답 14:

  1. 블록 행렬의 LU 분해는 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다.
\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \mathbf{A_{11}} & \mathbf{A_{12}} \\ \mathbf{A_{21}} & \mathbf{A_{22}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{L_{11}} & \mathbf{0} \\ \mathbf{L_{21}} & \mathbf{L_{22}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{U_{11}} & \mathbf{U_{12}} \\ \mathbf{0} & \mathbf{U_{22}} \end{pmatrix}

여기서 \mathbf{L_{11}}과 \mathbf{U_{11}}는 \mathbf{A_{11}}의 LU 분해로 구할 수 있다.

\mathbf{L_{11}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0.5 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{U_{11}} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

다음으로 \mathbf{L_{21}}을 구한다.

\mathbf{L_{21}} = \mathbf{A_{21}} \mathbf{U_{11}}^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0.25 & -0.25 \\ 0 & 0.5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.25 & 0.5 \\ 0.75 & 1.5 \end{pmatrix}

\mathbf{U_{12}}은 다음과 같이 구할 수 있다.

\mathbf{U_{12}} = \mathbf{L_{11}}^{-1} \mathbf{A_{12}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -0.5 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ -0.5 & -0.5 \end{pmatrix}

마지막으로 \mathbf{L_{22}}와 \mathbf{U_{22}}는 다음과 같이 구한다.

\mathbf{S} = \mathbf{A_{22}} - \mathbf{L_{21}} \mathbf{U_{12}} = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 8 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1.25 & 0.5 \\ 0.75 & 1.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ -0.5 & -0.5 \end{pmatrix}

계산 결과 \mathbf{S}는 다음과 같다.

\mathbf{S} = \begin{pmatrix} 2.25 & -2.75 \\ 4.25 & -0.75 \end{pmatrix}

이제 \mathbf{S}를 LU 분해하여 \mathbf{L_{22}}와 \mathbf{U_{22}}를 구한다.

\mathbf{L_{22}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1.8889 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{U_{22}} = \begin{pmatrix} 2.25 & -2.75 \\ 0 & 4.25 \end{pmatrix}

따라서, 전체 블록 행렬의 LU 분해는 다음과 같다.

\mathbf{L} = \begin{pmatrix} \mathbf{L_{11}} & \mathbf{0} \\ \mathbf{L_{21}} & \mathbf{L_{22}} \end{pmatrix}, \quad \mathbf{U} = \begin{pmatrix} \mathbf{U_{11}} & \mathbf{U_{12}} \\ \mathbf{0} & \mathbf{U_{22}} \end{pmatrix}

  1. 블록 행렬의 LU 분해의 이점과 활용 사례:

  2. 효율성: 대규모 행렬의 LU 분해는 계산적으로 비쌀 수 있다. 블록 행렬 분해는 이를 소규모 블록 행렬로 나누어 처리함으로써 계산 효율성을 높일 수 있다.

  3. 병렬 처리: 블록 행렬의 분해는 각 블록에서 독립적인 작업이 가능하므로, 병렬 처리를 통해 분해 속도를 크게 높일 수 있다.
  4. 응용 사례: 블록 행렬의 LU 분해는 물리학, 공학, 데이터 과학에서 큰 행렬 시스템을 해결할 때 자주 사용된다. 특히, 고성능 컴퓨팅 환경에서의 행렬 분해와 같은 상황에서 유용하다.

연습 문제 15: LU 분해의 수치적 오류 분석

다음 행렬에 대해 LU 분해를 수행하고, 수치적 오류가 발생하는지 분석하시오.

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 10^{-16} & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
  1. 행렬 \mathbf{A}를 LU 분해하시오.
  2. 분해 과정에서 발생할 수 있는 수치적 오류를 설명하시오.
  3. 이러한 오류를 최소화할 수 있는 방법을 제안하시오.

해답 15:

  1. \mathbf{A}의 LU 분해를 수행한다.
\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \ell_{21} & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{U} = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{pmatrix}

여기서 u_{11} = 10^{-16}, u_{12} = 1이며, \ell_{21} = \frac{1}{10^{-16}} = 10^{16}이다. u_{22}는 다음과 같이 구할 수 있다.

u_{22} = 1 - \ell_{21} \times u_{12} = 1 - 10^{16} \times 1 = -10^{16} + 1 \approx -10^{16}

따라서,

\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 10^{16} & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{U} = \begin{pmatrix} 10^{-16} & 1 \\ 0 & -10^{16} \end{pmatrix}
  1. 수치적 오류 분석:

이 행렬에서는 매우 작은 값 10^{-16}이 피벗 요소로 선택되며, 그 결과로 수치적 오류가 발생할 수 있다. 특히, 10^{16}과 같은 큰 숫자가 등장하게 되며, 이는 수치적인 불안정성을 초래할 수 있다. 이로 인해 계산 오차가 크게 발생할 가능성이 있다.

  1. 오류를 최소화할 수 있는 방법:

  2. Pivoting 사용: Partial Pivoting 또는 Complete Pivoting을 사용하여 작은 피벗 요소를 피하고 더 큰 값으로 대체함으로써 수치적 안정성을 높일 수 있다.

  3. 정확도 높은 연산: 고정밀도 연산을 사용하거나, 더 큰 부동소수점 표현을 통해 계산의 정밀도를 높일 수 있다.
  4. 정규화: 행렬의 크기를 정규

화하여 피벗 요소가 너무 작거나 너무 큰 값이 되지 않도록 조정할 수 있다.

연습 문제 16: LU 분해를 활용한 시스템 안정성 분석

LU 분해를 사용하여 다음 시스템의 안정성을 분석하시오.

주어진 시스템의 행렬 \mathbf{A}는 다음과 같다.

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & -6 & 0 \\ -2 & 7 & 2 \end{pmatrix}
  1. LU 분해를 수행하시오.
  2. 시스템의 안정성을 LU 분해를 통해 분석하시오.

해답 16:

  1. \mathbf{A}의 LU 분해를 수행한다.
\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & -6 & 0 \\ -2 & 7 & 2 \end{pmatrix}

LU 분해 결과는 다음과 같다.

\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{U} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & -8 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
  1. 시스템 안정성 분석:

LU 분해를 통해 얻어진 상삼각 행렬 \mathbf{U}의 대각 성분들을 통해 시스템의 안정성을 분석할 수 있다. 모든 대각 성분이 양수이므로, 이 시스템은 수치적으로 안정적이며 해를 구할 수 있다.

그러나, \mathbf{U}의 일부 요소들이 음수임을 통해 이 시스템이 강하게 안정적인 시스템은 아님을 알 수 있다. 하지만 전체적으로, 이 시스템은 안정적이다.

LU 분해를 통해 시스템의 안정성을 판단할 수 있으며, 각 단계에서 발생하는 수치적 특성은 시스템의 안정성에 중요한 정보를 제공한다.