병렬 알고리즘의 개요

병렬 알고리즘은 LU 분해를 포함한 행렬 계산에서 성능을 극대화하기 위해 중요한 역할을 한다. LU 분해 알고리즘을 병렬화하면 대규모 행렬 연산의 속도를 크게 향상시킬 수 있으며, 특히 현대의 멀티코어 및 다중 프로세서 환경에서 효율적인 계산을 가능하게 한다. 이 장에서는 LU 분해의 병렬화를 위한 기본 개념과 여러 가지 전략을 소개한다.

병렬 계산의 기본 개념

병렬 계산은 문제를 여러 개의 작은 작업으로 나누고, 이러한 작업을 동시에 여러 프로세서에서 실행하여 전체 연산 시간을 줄이는 방법이다. LU 분해 알고리즘에서 병렬화를 적용하기 위해서는 행렬 요소 간의 의존성, 계산 작업의 분할 방법, 작업 간의 동기화와 통신 오버헤드 등을 고려해야 한다.

LU 분해의 병렬화 가능성

LU 분해의 병렬화를 이해하기 위해서는 알고리즘의 기본 단계를 살펴보아야 한다. LU 분해는 행렬 $\mathbf{A}$ 를 다음과 같이 두 개의 삼각 행렬로 분해한다:

$\mathbf{A} = \mathbf{L} \mathbf{U}$

여기서 $\mathbf{L}$ 은 하삼각행렬이고 $\mathbf{U}$ 는 상삼각행렬이다. 기본적으로 이 분해 과정은 순차적인 계산으로 이루어지지만, 특정 작업들은 독립적으로 병렬화할 수 있다.

병렬화의 핵심은 다음 단계들에서 병렬 실행이 가능한 부분을 찾아내는 것이다:

열 소거 (Column Elimination): 각 열의 소거 과정은 서로 독립적일 수 있다. 즉, 하나의 열에서 계산된 값이 다른 열의 계산에 영향을 미치지 않는 경우, 이 계산들은 병렬로 수행될 수 있다.
전진 대입 (Forward Substitution) 및 후진 대입 (Backward Substitution): 이 단계들은 본래 순차적이지만, 일부 병렬화 전략을 통해 계산 병렬화가 가능할 수 있다.

병렬 LU 분해 알고리즘

병렬 LU 분해를 구현하는 데에는 다양한 방법이 있으며, 각각의 방법은 시스템의 아키텍처와 문제의 특성에 따라 다르다. 주요 병렬 LU 분해 알고리즘은 다음과 같다:

1. 블록 분할 방식

블록 분할 방식에서는 행렬 $\mathbf{A}$ 를 작은 블록으로 나누고, 각 블록에 대해 독립적인 LU 분해를 수행한다. 예를 들어, 행렬 $\mathbf{A}$ 를 $n \times n$ 블록으로 분할하여 각 블록에 대해 LU 분해를 병렬로 수행할 수 있다. 이 방법은 각 블록 간의 의존성을 최소화하고, 계산 속도를 크게 향상시킬 수 있다.

2. 순차적 다단계 병렬화

순차적 다단계 병렬화는 LU 분해의 각 단계를 순차적으로 병렬화하는 접근 방식이다. 예를 들어, 열 소거 단계에서는 각 열의 소거를 병렬로 처리하고, 그 후에 전진 대입과 후진 대입을 병렬로 수행할 수 있다. 이 방식은 간단하면서도 효과적인 병렬화 방법이다.

병렬 LU 분해의 최적화

병렬 LU 분해의 성능을 극대화하기 위해서는 몇 가지 최적화 기법을 적용할 수 있다. 이러한 기법들은 주로 계산량을 줄이거나, 병렬 계산의 효율성을 높이기 위한 것이다.

3. 통신 최소화

병렬 환경에서 중요한 고려 사항 중 하나는 프로세서 간의 통신 비용이다. LU 분해에서 병렬화할 때 각 프로세서가 계산을 수행한 후에 결과를 공유해야 하는 경우가 많다. 이때 통신 오버헤드를 최소화하는 것이 성능을 향상시키는 핵심이다. 통신 최소화를 위해서는 다음과 같은 방법을 사용할 수 있다:

데이터 지역성 (Data Locality): 각 프로세서가 가능한 한 동일한 데이터를 계속해서 사용하도록 하여, 데이터 전송을 최소화한다.
피봇 공유 최소화: 피봇 선택 단계에서 발생하는 통신을 줄이기 위해, 로컬 피봇 선택 전략을 활용할 수 있다.

4. 병렬 피봇 선택

LU 분해에서 피봇팅은 중요한 과정이며, 병렬 계산 환경에서도 필수적이다. 피봇 선택은 전통적으로 순차적으로 이루어지지만, 병렬 알고리즘에서는 피봇 선택도 병렬화할 수 있다.

병렬 피봇팅 (Parallel Pivoting): 여러 프로세서가 동시에 서로 다른 부분의 피봇을 선택하여, 전체 피봇팅 과정을 병렬화한다. 이때, 최적의 피봇을 선택하기 위해 병렬 피봇팅 알고리즘을 적용할 수 있다.

병렬 알고리즘의 구현 예시

병렬 LU 분해를 실제로 구현하는 방법은 사용되는 컴퓨팅 플랫폼에 따라 달라진다. 다음은 병렬 LU 분해를 구현하는 대표적인 접근 방식들이다:

1. 메시지 전달 인터페이스 (MPI)

MPI는 분산 메모리 환경에서 병렬 알고리즘을 구현하기 위해 널리 사용되는 표준 프로토콜이다. MPI를 사용하면 여러 프로세서 간에 데이터를 교환하고, 작업을 분산시킬 수 있다. 병렬 LU 분해에서는 각 프로세서가 독립적으로 작업을 수행한 후, 결과를 다른 프로세서와 공유하는 방식으로 진행된다.

2. 공유 메모리 모델 (OpenMP)

OpenMP는 공유 메모리 환경에서 병렬 계산을 수행하기 위한 프로그래밍 모델이다. LU 분해의 각 단계에서 병렬 처리를 수행하기 위해 OpenMP를 사용할 수 있다. 예를 들어, 각 열의 소거와 같은 독립적인 계산을 여러 스레드에서 동시에 수행하도록 설정할 수 있다.

병렬 LU 분해의 사례 연구

병렬 LU 분해의 성능을 실제로 평가하기 위해 다양한 사례 연구가 진행되었다. 이러한 연구들은 병렬화가 성능에 미치는 영향을 분석하고, 최적의 병렬화 전략을 도출하는 데 중점을 둔다.

1. 대규모 행렬에서의 병렬화 성능

대규모 행렬에서 LU 분해를 병렬화하면 연산 시간이 크게 줄어들 수 있다. 실제 사례 연구에서는 수백만 개 이상의 요소를 가진 행렬에서 병렬 LU 분해를 적용하여, 순차적 알고리즘에 비해 10배 이상의 속도 향상을 달성한 결과가 보고되었다.

2. 다중 GPU를 활용한 병렬 LU 분해

최근에는 GPU를 활용한 병렬 계산이 각광받고 있다. 다중 GPU 환경에서 LU 분해를 병렬화하면, 더욱 큰 성능 향상을 기대할 수 있다. GPU는 높은 처리 속도와 대규모 병렬 처리 능력을 갖추고 있어, LU 분해와 같은 복잡한 행렬 연산에 매우 적합한다.