공간 복잡도는 알고리즘이 실행되는 동안 얼마나 많은 메모리를 사용하는지를 분석하는 것이다. LU 분해의 경우, 공간 복잡도는 주로 행렬의 크기와 분해 과정에서 생성되는 추가 데이터 구조에 의해 결정된다.

입력 행렬의 공간 복잡도

LU 분해는 입력 행렬 $\mathbf{A}$를 두 개의 하위 행렬, 즉 하삼각행렬 $\mathbf{L}$과 상삼각행렬 $\mathbf{U}$로 분해하는 과정이다. 여기서 입력 행렬 $\mathbf{A}$가 $n \times n$ 크기의 정방행렬이라고 가정하면, 이 행렬 자체가 차지하는 메모리 공간은 $O(n^2)$이다.

분해 행렬의 공간 복잡도

LU 분해 과정에서는 행렬 $\mathbf{A}$를 $\mathbf{L}$과 $\mathbf{U}$로 분해한다. 분해된 후, 두 행렬 $\mathbf{L}$과 $\mathbf{U}$도 $n \times n$ 크기의 행렬이다.

이때, $\mathbf{L}$은 대각선 위의 원소가 모두 0인 하삼각 행렬이며, $\mathbf{U}$는 대각선 아래의 원소가 모두 0인 상삼각 행렬이다. 각각의 행렬이 차지하는 메모리 공간도 $O(n^2)$이다. 그러나, 많은 경우에 $\mathbf{L}$과 $\mathbf{U}$는 별도의 행렬로 저장되지 않고, 원래의 행렬 $\mathbf{A}$ 내에 분해된 결과가 덮어씌워지기 때문에 추가적인 공간 사용은 필요하지 않는다. 따라서, 이 경우 추가적인 공간 복잡도는 필요 없고, 여전히 $O(n^2)$로 유지된다.

피벗 행렬의 공간 복잡도

LU 분해에서 중요한 개념 중 하나는 피벗팅(pivoting)이다. 피벗팅을 사용하는 경우, 피벗팅 행렬 $\mathbf{P}$도 고려해야 한다. $\mathbf{P}$는 행렬 $\mathbf{A}$의 행이나 열을 재배열하는 데 사용되며, 이는 $n \times n$ 크기의 행렬이다.

피벗 행렬 $\mathbf{P}$는 대개 하나의 행이 1이고 나머지는 0인 특별한 형태의 행렬로, 메모리 내에서 저장하는 데는 $O(n)$의 공간이 필요하다. 그러나, 실제로는 피벗 정보를 행렬로 저장하기보다는 단순한 벡터로 관리하는 경우가 많아, 추가 공간 복잡도는 $O(n)$에 불과한다.

추가 데이터 구조의 공간 복잡도

LU 분해 과정에서 필요한 추가적인 데이터 구조로는, 계산 중간에 발생하는 임시 저장공간(예: 부분 행렬 또는 부분 결과)을 들 수 있다. 이러한 임시 저장공간도 공간 복잡도 분석에 포함된다.

예를 들어, Forward Substitution 또는 Backward Substitution을 수행할 때, 중간 계산 결과를 저장하기 위해 $n$-차원 벡터가 필요하다. 각 계산 단계에서 이 벡터는 새로운 값을 덮어쓰며 사용되므로, 이 추가적인 공간 복잡도는 $O(n)$이다. 이 벡터의 크기는 행렬 크기에 비해 작기 때문에 전체 공간 복잡도에 큰 영향을 미치지는 않는다.

희소 행렬의 공간 복잡도

희소 행렬(Sparse Matrix)의 경우, 공간 복잡도는 일반적인 밀집 행렬(Dense Matrix)보다 낮다. 밀집 행렬에서는 모든 원소를 저장하지만, 희소 행렬에서는 주로 0이 아닌 원소만 저장하기 때문에 효율적이다.

희소 행렬을 저장하기 위한 데이터 구조로는 CSR(Compressed Sparse Row) 또는 CSC(Compressed Sparse Column) 포맷이 주로 사용된다. 이러한 포맷에서는 0이 아닌 원소만 저장하기 때문에, $O(n^2)$의 공간이 필요하지 않고, 대신 $O(nz)$의 공간 복잡도를 갖는다. 여기서 $nz$는 0이 아닌 원소의 수를 의미한다.

병렬 처리에서의 공간 복잡도

병렬 처리 환경에서의 LU 분해는 각 프로세서나 코어가 메모리를 별도로 할당받아 작업을 수행하기 때문에, 전체적인 공간 복잡도는 늘어날 수 있다. 각 프로세서는 자신의 메모리 영역에서 작업을 수행하고, 이로 인해 메모리 중복이 발생할 수 있다.

병렬 처리가 $p$개의 프로세서에서 이루어진다고 가정하면, 각 프로세서가 $O\left(\frac{n^2}{p}\right)$의 공간을 사용하게 된다. 그러나, 병렬 작업에 필요한 동기화 및 통신 오버헤드로 인해 전체 시스템의 공간 복잡도는 더 복잡해질 수 있다.

최적화 기법에 따른 공간 복잡도

LU 분해를 최적화하기 위한 다양한 기법들이 존재하며, 이들 중 일부는 공간 복잡도에 영향을 미친다. 예를 들어, 블록 기반 LU 분해는 블록 단위로 행렬을 처리하여 메모리 캐시를 효율적으로 사용하는데, 이 경우에도 전체 메모리 사용량은 크게 변하지 않지만, 중간 블록 데이터를 저장하기 위한 임시 공간이 필요할 수 있다. 이 임시 공간은 주로 블록 크기에 따라 결정되며, 전체적으로는 $O(n^2)$의 공간 복잡도 내에 포함된다.