LU 분해는 일반적으로 임의의 정사각 행렬에 대해 적용할 수 있지만, 대각 행렬(diagonal matrix)과 삼각 행렬(triangular matrix)와 같이 특별한 형태의 행렬에 대해 매우 효율적으로 수행할 수 있다. 이 장에서는 대각 행렬과 삼각 행렬의 특성과, 이러한 행렬들에 대한 LU 분해 방법에 대해 설명한다.

대각 행렬의 LU 분해

대각 행렬은 비주대각선 요소가 모두 0인 행렬이다. 즉, \mathbf{D}가 대각 행렬이라면, 다음과 같은 형태를 갖는다:

\mathbf{D} = \begin{pmatrix} d_{11} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & d_{22} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & d_{33} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & d_{nn} \end{pmatrix}

이러한 행렬에 대해 LU 분해를 수행하는 것은 매우 간단한다. 대각 행렬 \mathbf{D}는 다음과 같은 두 개의 행렬로 분해될 수 있다:

\mathbf{D} = \mathbf{L} \mathbf{U}

여기서 \mathbf{L}은 단위 하삼각 행렬(unit lower triangular matrix)이고, \mathbf{U}는 상삼각 행렬(upper triangular matrix)이다. 대각 행렬의 경우 \mathbf{L}과 \mathbf{U}는 매우 간단하게 구성된다.

\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \end{pmatrix}
\mathbf{U} = \begin{pmatrix} d_{11} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & d_{22} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & d_{33} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & d_{nn} \end{pmatrix}

즉, 대각 행렬의 LU 분해에서는 \mathbf{L}이 단위 행렬(identity matrix)이고, \mathbf{U}는 원래의 대각 행렬 \mathbf{D}와 동일한 행렬이 된다.

삼각 행렬의 LU 분해

삼각 행렬은 주대각선을 기준으로 요소들이 특정 위치에만 있는 행렬을 말한다. 삼각 행렬에는 두 가지 종류가 있다:

상삼각 행렬 \mathbf{U}는 다음과 같은 형태를 갖는다:

\mathbf{U} = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} & \dots & u_{1n} \\ 0 & u_{22} & u_{23} & \dots & u_{2n} \\ 0 & 0 & u_{33} & \dots & u_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & u_{nn} \end{pmatrix}

하삼각 행렬 \mathbf{L}는 다음과 같은 형태를 갖는다:

\mathbf{L} = \begin{pmatrix} l_{11} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ l_{21} & l_{22} & 0 & \dots & 0 \\ l_{31} & l_{32} & l_{33} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ l_{n1} & l_{n2} & l_{n3} & \dots & l_{nn} \end{pmatrix}

상삼각 행렬의 LU 분해

상삼각 행렬의 경우, 이미 \mathbf{U}가 상삼각 행렬이기 때문에 LU 분해를 수행하기가 매우 간단한다. 상삼각 행렬 \mathbf{U}는 다음과 같이 LU 분해될 수 있다:

\mathbf{U} = \mathbf{L} \mathbf{U}

여기서 \mathbf{L}은 단위 행렬로 설정된다. 즉, 상삼각 행렬의 LU 분해는 원래 행렬이 그대로 \mathbf{U}로 사용되고, \mathbf{L}은 단위 행렬이 된다.

예를 들어, 상삼각 행렬이 다음과 같다고 가정하자:

\mathbf{U} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}

이 경우, \mathbf{L}과 \mathbf{U}는 다음과 같이 된다:

\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{U} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}

하삼각 행렬의 LU 분해

하삼각 행렬 \mathbf{L}도 마찬가지로 LU 분해가 간단히 이루어진다. 하삼각 행렬은 다음과 같이 LU 분해될 수 있다:

\mathbf{L} = \mathbf{L} \mathbf{U}

이 경우도 상삼각 행렬의 LU 분해와 동일하게, \mathbf{U}는 단위 행렬이 된다. 예를 들어, 하삼각 행렬이 다음과 같다면:

\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}

LU 분해 결과는 다음과 같다:

\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{U} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

삼각 행렬의 LU 분해의 간단함

삼각 행렬의 LU 분해가 간단한 이유는 이러한 행렬들이 이미 특수한 형태를 띠고 있어 추가적인 분해 작업이 필요하지 않기 때문이다. 이는 LU 분해의 복잡성을 크게 줄여주며, 이러한 특성을 이용하여 행렬 연산을 더욱 효율적으로 수행할 수 있다. 삼각 행렬은 실제로 LU 분해에서 중요한 역할을 하며, 더 복잡한 행렬의 분해 과정에서도 자주 사용된다.

대각 행렬과 삼각 행렬의 이러한 특성들은 LU 분해 알고리즘에서의 계산 효율성을 극대화할 수 있는 중요한 요소들로 작용한다. 다음 섹션에서는 이러한 특수한 형태의 행렬에서 LU 분해의 효율성과 응용에 대해 더 깊이 논의할 것이다.