Crout 알고리즘 - 실험 도서관

Crout 알고리즘은 LU 분해에서 $\mathbf{L}$ 과 $\mathbf{U}$ 행렬을 구하는 한 방법으로, $\mathbf{L}$ 은 하삼각행렬이고 $\mathbf{U}$ 는 대각 원소가 모두 1인 상삼각행렬로 설정된다. 이 알고리즘은 $\mathbf{A} = \mathbf{L} \mathbf{U}$ 분해를 수행하는데, 주어진 $\mathbf{A}$ 행렬에 대해 아래와 같은 과정을 거친다.

Crout 알고리즘의 기초 개념

Crout 알고리즘은 $\mathbf{A}$ 행렬을 하삼각 행렬 $\mathbf{L}$ 과 상삼각 행렬 $\mathbf{U}$ 로 분해한다. 여기서 $\mathbf{U}$ 는 대각 원소가 모두 1인 특별한 형태를 가진다. 즉, $\mathbf{U}$ 의 $u_{ii} = 1$ 이고, 나머지 $u_{ij}$ 요소들은 $i < j$ 일 때 비제로 값을 가진다.

행렬 $\mathbf{A}$ 를 다음과 같이 정의하자:

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix}$

이제 Crout 알고리즘의 목표는 다음과 같은 두 행렬 $\mathbf{L}$ 과 $\mathbf{U}$ 를 찾는 것이다:

$\mathbf{L} = \begin{bmatrix} l_{11} & 0 & \dots & 0 \\ l_{21} & l_{22} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ l_{n1} & l_{n2} & \dots & l_{nn} \end{bmatrix} , \quad \mathbf{U} = \begin{bmatrix} 1 & u_{12} & \dots & u_{1n} \\ 0 & 1 & \dots & u_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{bmatrix}$

이제, 주어진 $\mathbf{A}$ 에 대해 다음 식이 성립해야 한다:

$\mathbf{A} = \mathbf{L} \mathbf{U}$

Crout 알고리즘의 단계

Crout 알고리즘의 핵심은 $\mathbf{L}$ 과 $\mathbf{U}$ 의 요소들을 순차적으로 계산하는 것이다. 아래와 같은 과정을 통해 $l_{ij}$ 와 $u_{ij}$ 를 계산한다.

하삼각 행렬 $\mathbf{L}$ 의 계산: $l_{ij}$ 는 다음과 같이 계산된다.

$l_{ij} = a_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} l_{ik} u_{kj}, \quad \text{for } i \geq j$

이는 $\mathbf{L}$ 행렬의 $j$ 열의 원소들을 계산하는 과정이다.

상삼각 행렬 $\mathbf{U}$ 의 계산: $u_{ij}$ 는 다음과 같이 계산된다.

$u_{ij} = \frac{a_{ij} - \sum_{k=1}^{i-1} l_{ik} u_{kj}}{l_{ii}}, \quad \text{for } i < j$

여기서, $u_{ii} = 1$ 로 고정되어 있다.

Crout 알고리즘의 예제

이제 Crout 알고리즘을 적용하여 주어진 행렬 $\mathbf{A}$ 를 $\mathbf{L}$ 과 $\mathbf{U}$ 로 분해하는 과정을 단계별로 살펴보자.

예제

행렬 $\mathbf{A}$ 가 다음과 같다고 하자:

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 3 & 3 & 9 \\ 3 & 3 & 5 \end{bmatrix}$

이제, Crout 알고리즘을 사용하여 $\mathbf{A}$ 를 $\mathbf{L}$ 과 $\mathbf{U}$ 로 분해하겠다.

첫 번째 열 계산:

$l_{11} = a_{11} = 2$

$l_{21} = a_{21} = 3$

$l_{31} = a_{31} = 3$

따라서, $\mathbf{L}$ 의 첫 번째 열은 다음과 같다:

$\mathbf{L} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$u_{12}$ 와 $u_{13}$ 는 다음과 같이 계산된다:

$u_{12} = \frac{a_{12}}{l_{11}} = \frac{-1}{2} = -0.5$

$u_{13} = \frac{a_{13}}{l_{11}} = \frac{1}{2} = 0.5$

따라서, $\mathbf{U}$ 의 첫 번째 행은 다음과 같다:

$\mathbf{U} = \begin{bmatrix} 1 & -0.5 & 0.5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

두 번째 열 계산:

$l_{22}$ 는 다음과 같이 계산된다:

$l_{22} = a_{22} - l_{21} u_{12} = 3 - 3(-0.5) = 4.5$

$l_{32}$ 는 다음과 같이 계산된다:

$l_{32} = a_{32} - l_{31} u_{12} = 3 - 3(-0.5) = 4.5$

따라서, $\mathbf{L}$ 의 두 번째 열은 다음과 같다:

$\mathbf{L} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 3 & 4.5 & 0 \\ 3 & 4.5 & 0 \end{bmatrix}$

$u_{23}$ 는 다음과 같이 계산된다:

$u_{23} = \frac{a_{23} - l_{22} u_{13}}{l_{22}} = \frac{9 - 4.5(0.5)}{4.5} = 1.6667$

따라서, $\mathbf{U}$ 의 두 번째 행은 다음과 같다:

$\mathbf{U} = \begin{bmatrix} 1 & -0.5 & 0.5 \\ 0 & 1 & 1.6667 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

세 번째 열 계산:

$l_{33}$ 는 다음과 같이 계산된다:

$l_{33} = a_{33} - l_{31} u_{13} - l_{32} u_{23} = 5 - 3(0.5) - 4.5(1.6667) = -3.5$

따라서, 최종적으로 $\mathbf{L}$ 과 $\mathbf{U}$ 는 다음과 같다:

$\mathbf{L} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 3 & 4.5 & 0 \\ 3 & 4.5 & -3.5 \end{bmatrix} , \quad \mathbf{U} = \begin{bmatrix} 1 & -0.5 & 0.5 \\ 0 & 1 & 1.6667 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Crout 알고리즘의 장단점

Crout 알고리즘은 특정 형태의 행렬에 대해 매우 효율적인 LU 분해를 제공하지만, 모든 경우에 가장 적합한 것은 아니다. 이 알고리즘의 장단점을 다음과 같이 정리할 수 있다.

장점

단순성: Crout 알고리즘은 직관적이며, 구현이 비교적 간단하다.
수치 안정성: Pivoting을 적절히 사용하면 수치적으로 안정적인 결과를 얻을 수 있다.

단점

Pivoting 필요성: 특이하거나 조건이 나쁜 행렬에 대해 수치적으로 안정적인 결과를 얻기 위해 추가적인 Pivoting이 필요할 수 있다.
특정 행렬에 대한 제약: Crout 알고리즘은 모든 유형의 행렬에 대해 효율적인 것은 아니며, 특히 대각선 원소가 작은 경우 문제를 일으킬 수 있다.

Crout 알고리즘의 활용

Crout 알고리즘은 주로 다음과 같은 상황에서 활용될 수 있다.

선형 방정식의 해법

Crout 알고리즘을 통해 분해된 $\mathbf{L}$ 과 $\mathbf{U}$ 행렬은 연립 선형 방정식 $\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}$ 의 해를 구하는 데 사용될 수 있다. 다음과 같은 절차를 따른다:

먼저, $\mathbf{L}$ 과 $\mathbf{U}$ 를 사용하여 중간 변수를 구한다:

$\mathbf{L} \mathbf{y} = \mathbf{b}$

여기서 $\mathbf{y}$ 를 구하기 위해 전진 대입법(Forward Substitution)을 사용한다.

그런 다음, $\mathbf{y}$ 를 사용하여 최종 해를 구한다:

$\mathbf{U} \mathbf{x} = \mathbf{y}$

여기서는 후진 대입법(Backward Substitution)을 사용한다.

이 과정은 연립 방정식을 효과적으로 푸는 데 매우 유용하다.

행렬의 역행렬 계산

Crout 알고리즘을 사용하여 행렬의 역행렬을 계산할 수도 있다. 분해된 $\mathbf{L}$ 과 $\mathbf{U}$ 를 사용하여 다음과 같은 과정을 통해 역행렬 $\mathbf{A}^{-1}$ 을 구한다:

각 열 $\mathbf{e}_i$ 에 대해 연립 방정식 $\mathbf{A} \mathbf{x}_i = \mathbf{e}_i$ 를 푼다. 여기서 $\mathbf{e}_i$ 는 $i$ 번째 단위 벡터이다.
모든 $\mathbf{x}_i$ 를 모아 $\mathbf{A}^{-1}$ 을 구성한다.

이 방법은 $\mathbf{A}$ 의 모든 열에 대해 Crout 알고리즘을 적용하여 각각의 $\mathbf{x}_i$ 를 구함으로써 이루어진다.

Crout 알고리즘과 다른 알고리즘의 비교

Crout 알고리즘은 Doolittle 알고리즘, Cholesky 분해와 비교될 수 있다. 이들 알고리즘은 모두 LU 분해를 수행하지만, 각각의 접근 방식이 다르다.

Doolittle 알고리즘과의 비교

Doolittle 알고리즘은 $\mathbf{U}$ 행렬의 대각선 원소가 $l_{ii} = 1$ 인 상삼각 행렬로 설정된다는 점에서 Crout 알고리즘과 다르다. 반면, Crout 알고리즘에서는 $\mathbf{L}$ 행렬이 대각선 원소를 가진다. 이 차이는 구현에서의 순서와 계산 방식에 영향을 미친다.

Cholesky 분해와의 비교

Cholesky 분해는 대칭적이고 양의 정부호인 행렬에 특화된 LU 분해 방식으로, $\mathbf{L}$ 과 $\mathbf{U}$ 가 동일한 대각 원소를 가지며, $\mathbf{A} = \mathbf{L} \mathbf{L}^T$ 와 같은 형태로 나타난다. Crout 알고리즘은 Cholesky 분해와 비교해 더 일반적인 행렬에 적용될 수 있지만, 특정 조건에서 Cholesky 분해가 더 효율적이다.

Crout 알고리즘의 구현

Crout 알고리즘은 다양한 프로그래밍 언어에서 구현될 수 있다. 예를 들어, Python에서는 NumPy를 사용하여 쉽게 구현할 수 있으며, MATLAB이나 C/C++에서도 효율적으로 구현할 수 있다. 이 구현은 주로 LU 분해를 이용한 선형 시스템 해법이나 역행렬 계산에 사용된다.

다음은 Python을 사용한 간단한 구현 예시이다:

import numpy as np

def crout_decomposition(A):
    n = len(A)
    L = np.zeros_like(A)
    U = np.eye(n)

    for j in range(n):
        for i in range(j, n):
            L[i, j] = A[i, j] - sum(L[i, k] * U[k, j] for k in range(j))
        for i in range(j+1, n):
            U[j, i] = (A[j, i] - sum(L[j, k] * U[k, i] for k in range(j))) / L[j, j]

    return L, U

A = np.array([[2, -1, 1], [3, 3, 9], [3, 3, 5]], dtype=float)
L, U = crout_decomposition(A)

print("L:", L)
print("U:", U)

이 코드는 주어진 행렬 $\mathbf{A}$ 에 대해 Crout 알고리즘을 수행하여 $\mathbf{L}$ 과 $\mathbf{U}$ 를 계산하는 과정을 보여준다.