고유값과 고유벡터 계산

다음의 행렬 \mathbf{A}에 대해 고유값과 고유벡터를 구하라.

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}

특성 다항식 계산

다음의 행렬 \mathbf{B}에 대한 특성 다항식을 구하라.

\mathbf{B} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

대각화 가능성 판단

다음 행렬 \mathbf{C}가 대각화 가능한지 판단하고, 가능하다면 대각화 하라.

\mathbf{C} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}

실수 고유값과 복소수 고유값

다음의 행렬 \mathbf{D}에 대해 실수 고유값과 복소수 고유값을 구하라.

\mathbf{D} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

행렬의 대각화

다음 행렬 \mathbf{E}를 대각화하라.

\mathbf{E} = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

고유값 문제의 기초

다음 문제를 풀어 고유값을 구하라.

\mathbf{F} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{pmatrix}

특성 다항식을 통한 고유값 계산

다음 행렬 \mathbf{G}의 특성 다항식을 계산하고, 이를 이용해 고유값을 구하라.

\mathbf{G} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}

조르당 표준형

다음 행렬 \mathbf{H}의 조르당 표준형을 구하라.

\mathbf{H} = \begin{pmatrix} 6 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}

대각화된 행렬의 고유값

다음 대각 행렬 \mathbf{J}의 고유값과 고유벡터를 구하라.

\mathbf{J} = \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}

행렬의 고유벡터 구하기

다음 행렬 \mathbf{K}의 고유벡터를 구하라.

\mathbf{K} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}

단일 고유값을 갖는 행렬

다음 행렬 \mathbf{L}이 단일 고유값을 갖는지 확인하고, 그렇다면 그 고유값과 고유벡터를 구하라.

\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}

행렬의 대각화와 고유벡터의 직교성

다음 행렬 \mathbf{M}을 대각화하고, 고유벡터들이 직교하는지 확인하라.

\mathbf{M} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}

비대각화 가능 행렬의 고유값

다음 행렬 \mathbf{N}의 고유값을 구하고, 이 행렬이 대각화 가능한지 판단하라.

\mathbf{N} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

기본 연습문제에 대한 해답

고유값과 고유벡터 계산

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} $$ - **특성 다항식**: $\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0$ - **고유값**: $\lambda_1 = 5$, $\lambda_2 = 2$ - **고유벡터**: - $\lambda_1 = 5$에 대응하는 고유벡터: $\mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ - $\lambda_2 = 2$에 대응하는 고유벡터: $\mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ ### 특성 다항식 계산 $$ \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} $$ - **특성 다항식**: $\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$ - **고유값**: $\lambda_1 = 3$, $\lambda_2 = 1$ ### 대각화 가능성 판단 $$ $$\mathbf{C} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}

실수 고유값과 복소수 고유값

\mathbf{D} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

행렬의 대각화

\mathbf{E} = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

고유값 문제의 기초

\mathbf{F} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{pmatrix}

기본 연습문제에 대한 해답

특성 다항식을 통한 고유값 계산

\mathbf{G} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}

조르당 표준형

\mathbf{H} = \begin{pmatrix} 6 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}

대각화된 행렬의 고유값

\mathbf{J} = \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}

행렬의 고유벡터 구하기

\mathbf{K} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}

단일 고유값을 갖는 행렬

\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}

행렬의 대각화와 고유벡터의 직교성

\mathbf{M} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}

비대각화 가능 행렬의 고유값

\mathbf{N} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}